Лекция: Изучение корреляции сигналов

может использоваться следующая формула:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + .

Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис. 1.5.

Из формул (1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2+шумовой функцией. При больших значениях K, когда > 0, имеет место Bv(n) Bs(n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов - и их амплитуду с использованием выражения (1.6).

Рис. 1.5.

Таблица 1.

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова М?t они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и -1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n 0 не превышает 1.

2. Взаимные корреляционные функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

Bsu(?) =s(t) u(t+?) dt.

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|Bsu(?)| ||s(t)||||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-? в формуле (2.1), получаем:

Bsu(?) =s(t-?) u(t) dt = u(t) s(t-?) dt = Bus(-?).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, Bsu(?) Bsu(-?), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при ? = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.1) с постепенным увеличением значений ? означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+?)). При ?=0 сигналы ортогональны и значение B12(?)=0. Максимум В12(?) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение ?=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+?).

Рис. 2.1. Сигналы и ВКФ.

Одни и те же значения ВКФ по формулам (2.1) и (2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал ? сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. Bsu(?) = Bus(-???

Рис. 2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.

На рис. 2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при ?=0, что и фиксируется функцией Bsu. Вместе с тем функция Bsu резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака ? при увеличения значения ? от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига - функция Bsv на рис. 2.2. Если поменять местами выражения функций в (2.1), то новая функция Bvs будет зеркально повернутой относительно ?=0 функцией Bsv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

Bsu(?) =s(t) u(t+?) dt. Bus(?) =u(t) s(t+?) dt.

Взаимная корреляция зашумленных сигналов. Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

Buv(?) = Bs1s2(?) + Bs1q2(?) + Bq1s2(?) + Bq1q2(?).

Последние три члена в правой части (2.2) затухают до нуля при увеличении ?. При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

Buv(?) = Bs1s2(?) + + + .

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

Buv(?) > Bs1s2(?).

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 1.9-1.12). В частности, при ?t = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

Bxy(n) = xk yk-n.

При нормировании в единицах мощности:

Bxy(n) = xk yk-n .

Оценка периодических сигналов в шуме. Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и > 0 функция взаимной корреляции (2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

А поскольку > 0 при увеличении N, то Bup(k) > Bsp(k). Очевидно, что функция Bup(k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции Bup(k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

?su(?) = Csu(?)/?s?v.

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах ? может изменяться от -1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах ?, на которых наблюдаются нулевые значения ?su(?), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (2.4) имеется вероятность появления значений ??su(n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

3. Спектральные плотности корреляционных функций

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал ???при - < ? < :

Bs(?) = s(t), s(t-?).

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

s(t), s(t-?) = (1/2?)S(?) S?*(?) d??

Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал ? отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j??), а для сопряженного спектра на множитель exp(j??):

S?*(?) = S*(?) exp(j??).

С учетом этого получаем:

?s(?)?= (1/2?)S(?) S*(?) exp(j??) d???

= (1/2?)|S(?)|2 exp(j??) d??

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Bs(?) |S(?)|2 = Ws(?).

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(?)|2 = Bs(?) exp(-j??) d?.

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Рис. 3.1. Спектр несуществующей АКФ

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса - знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ?? порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2???с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от -Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(?T/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, а также появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы, сдвинутые во времени, имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Перепишем уравнение (3.1) в следующей форме

s(t) s(t-?) dt = (1/2?)S(?) S*(?) exp(j??) d?,

и подставим в это выражение значение ?=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s2(t) dt = (1/2?)|S(?)|2 d?.

Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области описания сигналов.

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Рис. 3.3.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр со значением W0 и с верхней граничной частотой до ?в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 3.3 с fв=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

Bs(?) = (Wo/?)cos(??) d? = (Wo?в/?) sin(?в?)/(?в?).

Интервалом корреляции сигнала ?к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой ?в первое пересечение нуля соответствует sinc(?в?) = 0 при ?в? = ?, откуда: