КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ
Содержание
Введение
1. Автокорреляционные функции сигналов
2. Взаимные корреляционные функции сигналов
3. Спектральные плотности корреляционных функций
Литература
Введение
Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов - ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.
Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).
В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.
В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.
Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.
Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" существует некоторая путаница. В математической литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" - к произвольным. В технической литературе, и особенно в литературе по сигналам и методам их обработки, часто применяется прямо противоположная терминология. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.
1. Автокорреляционные функции сигналов
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной временной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время ?:
Bs(?) =s(t) s(t+?) dt = s(t), s(t+?) = ||s(t)|| ||s(t+?)|| cos ?(?).
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига ?. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при ? = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):
Bs(0) =s(t)2 dt = Es.
АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-? в выражении (1.1):
Bs(?) = s(t-?) s(t) dt = Bs(-?).
Максимум АКФ, равный энергии сигнала при ?=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):
s(t), s(t+?) = ||s(t)||||s(t+??||cos ?(?),
cos ?(?) = 1 при ? = 0, s(t), s(t+?) = ||s(t)||||s(t)|| = Es,
cos ?(?) < 1 при ? 0, s(t), s(t+?) = ||s(t)||||s(t+?)||cos ?(?) < Es.
Рис. 1.1.
В качестве примера на рис. 1.1 приведены два сигнала - прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).
С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений ?. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +? в выражении (1.1) означает, что при увеличении значений ? копия сигнала s(t+?) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания ? обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (1.1) функции s(t-?) вместо s(t+?).
Bs(?) = s(t) s(t-?) dt.
Для финитных сигналов по мере увеличения значения величины сдвига ? временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:
= 0.
АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:
Cs(?) =[s(t)-?s][s(t+?)-?s] dt,
где ?s - среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:
Cs(?) = Bs(?) - ?s2.
АКФ сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются и анализируются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нормировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале [a, b]:
Bs(?) =s(t) s(t+?) dt.
АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:
Bs(?) ?.
АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.
АКФ периодических сигналов. Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:
Bs(?) = (1/Т)s(t) s(t-?) dt.
Математически более строгое выражение:
Bs(?) ?.
При ?=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(?0t+?0) при T=2?/?0 имеем:
Bs(?) = A cos(?0t+?0) A cos(?0(t-?)+?0) = (A2/2) cos(?0?).
Рис. 1.2.
Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ. С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах. Пример автокорреляционной функции периодического сигнала приведен на рис. 1.2.
Функции автоковариации (ФАК) вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией ?s2 сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:
|Cs(?)| ? ?s2, Cs(0) = ?s2 ||s(t)||2.
Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:
?s(?) = Cs(?)/Cs(0) = Cs(?)/?s2 cos ???).
Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига ? между отсчетами сигнала. Значения ?s(?) cos ?(?) могут изменяться от 1 (полная прямая корреляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).
Рис. 1.3.
На рис. 1.3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - ?s и ?s1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила наличие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой Cs/?s1, т.е. ФАК сигнала s(k) с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно видеть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения Сs1(0) по отношению к значению Cs(0) и несколько "размыли" функцию коэффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение ?s(?) шумовых сигналов стремится к 1 при ? 0 и флюктуирует относительно нуля при ? ? 0, при этом амплитуды флюктуаций статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увеличении количества отсчетов).
АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных ?t = const вычисление АКФ выполняется по интервалам ?? = ?t и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов n??:
Bs(n?t) = ?tsksk-n.
Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при ?t=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:
Bs(n) = sksk-n.
Множитель K/(K-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заменяется на множитель 1/(K-n).
Формула (1.10) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:
Bs(n) = sksk-n, sk-n = 0 при k-n < 0,
т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (1.10). Разницу между нормировками по формулам (1.10) и (1.11) можно наглядно видеть на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
Формулу (1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания:
Bs(n) = M{sk sk-n} .
Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.
АКФ зашумленных сигналов. Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v(k) = s(k)+q(k). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N - отсчетов, записывается в следующем виде: сигнал шум фурье корреляция
Bv(n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =
= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q(k-n)] =
= Bs(n) + M{sk qk-n} + M{qk sk-n} + M{qk qk-n}.
Bv(n) = Bs(n) + + + .
При статистической независимости полезного сигнала s(k) и шума q(k) с учетом разложения математического ожидания
M{sk qk-n} = M{sk} M{qk-n} =