?к = ?/?в =1/2fв.
Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра ?в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 3.3).
Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию Wq(?) со средним значением Wq(?) ?q2, где ?q2 - дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до , АКФ шумов стремится к значению Bq(?) ?q2 при ? 0, Bq(?) 0 при ? 0, т.е. статистические шумы не коррелированны (?к 0).
Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов ? = {0, (3-5)?k}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по автокорреляции сигналов.
Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (3.1) заменой спектральной плотности сигнала S(?) на спектральную плотность второго сигнала U(?):
?su(?)?= (1/2?)S*(?) U(?) exp(j??) d??
Или, при смене порядка сигналов:
?us(?)?= (1/2?)U*(?) S(?) exp(j??) d??
Произведение S*(?)U(?) представляет собой взаимный энергетический спектр Wsu(?) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U*(?)S(?) = Wus(?). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:
Bsu(?) Wsu(?) W*us(?).
Bus(?) Wus(?) W*su(?).
В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:
U(?) = Au(?) + j Bu(?), V(?) = Av(?) + j Bv(?).
Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(?),
и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.
На рис. 3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.
Рис. 3.4. Формирование ВКФ.
Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(?). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов S(?)U*(?). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(?) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-?) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(?) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2?), а фазовые углы U*(?) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S(?) значений углов U*(?), при этом фазовые углы спектра S(?)U*(?) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси ? на определенную величину (для одинаковых сигналов - на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы S(?)U*(?) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция Bsu(t) смещается к нулевым значениям ?, в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).
Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах ? друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.
Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ является, особенно для длинных числовых рядов, в десятки и сотни раз более быстрым методом, чем последовательными сдвигами во временной области при больших интервалах корреляции. Суть метода вытекает из формул (3.2) для АКФ и (3.6) для ВКФ. Учитывая, что АКФ можно рассматривать как частный случай ВКФ при одном и том же сигнале, процесс вычисления рассмотрим на примере ВКФ для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К. Он включает:
1. Вычисление БПФ спектров сигналов x(k) > X(k) и y(k) > Y(k). При разном количестве отсчетов более короткий ряд дополняется нулями до размера большего ряда.
2. Вычисление спектров плотности мощности Wxy(k) = X*(k) Y(k).
3. Обратное БПФ Wxy(k) > Bxy(k).
Отметим некоторые особенности метода.
При обратном БПФ, как известно, вычисляется циклическая свертка функций x(k) ? y(k). Если число отсчетов функций равно К, число комплексных отсчетов спектров функций также равно К, равно как и число отсчетов их произведения Wxy(k). Соответственно, число отсчетов Bxy(k) при обратном БПФ также равно К и циклически повторяется с периодом, равным К. Между тем, при линейной свертке полных массивов сигналов по формуле (2.5) размер только одной половины ВКФ составляет К точек, а полный двусторонний размер составляет 2К точек. Следовательно, при обратном БПФ с учетом цикличности свертки произойдет наложение на главный период ВКФ ее боковых периодов, как и при обычной циклической свертке двух функций.
Рис. 3.5. В1 - линейная свертка, В2 - БПФ без продления сигналов нулями, В3 - БПФ с продлением сигналов нулями.
На рис. 3.5 приведен пример двух сигналов и значения ВКФ, вычисленные линейной сверткой (В1ху) и циклической сверткой через БПФ (В2ху). Для исключения эффекта наложения боковых периодов необходимо дополнить сигналы нулями, в пределе, до удвоения количества отсчетов, при этом результат БПФ (график В3ху на рисунке 3.5) полностью повторяет результат линейной свертки (с учетом нормировки на увеличение количества отсчетов).
На практике число нулей продления сигналов зависит от характера корреляционной функции. Минимальное количество нулей обычно принимается равным значимой информационной части функций, т.е. порядка (3-5) интервалов корреляции.
Литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая школа, 1988.
2. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. - М.: Мир, 1982. - 428 с.
3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. - СПб.: Питер, 203. - 608 с.
4. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.