Материал: Кинематика. методические указания к организации самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая механика». Зульфикарова Т.В

II.КИНЕМАТИКА

2.1.Кинематика материальной точки

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных тел с геометрической точки зрения вне зависимости от вызвавших его причин.

Движение тел относительно. С точки зрения кинематики неважно, покоится выбранная система или движется, важно уметь определять положения тела в пространстве в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета, а также вычислять ее кинематические характеристики: скорость, ускорение, секторную скорость, угловые скорость и ускорение и др.

Движение материальной точки можно задать разными способами: векторным способом, координатными способами, естественным способом.

Линия, вдоль которой движется материальная точка, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение точки бывает прямолинейным или криволинейным.

Способы задания движения точки

1. Векторный способ Положение точки М в пространстве можно определить радиус-

вектором , который проводится из начала координат к исследуемой точке (рис. 2.1). При движении точки радиус-вектор изменяет свою длину и направление, следовательно,

.

2. Координатный способ.

Положение точки М в пространстве можно задать тремя координатами , которые являются скалярными уравнениями (рис. 2.2)

.

Связь между координатным и векторным способами задания движения

осуществляется уравнением (рис. 2.2)

.

6

Например, если радиус-вектор материальной точки задан уравнением

,

это означает, что точка движется относительно координатных осей согласно уравнениям , , .

3. Естественный способ Естественный способ применяется, если траектория движения точки

известная кривая. Если определить начальное положение точки на траектории и положительное направление движения (рис. 2.3), то для описания движения достаточно одного скалярного уравнения .

Определение скорости и ускорения точки

1.Векторный способ:

– вектор скорости точки в данный момент времени;

– вектор ускорения точки в данный момент времени.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории (рис 2.4).

3.Естественный способ:

–модуль скорости точки;

– вектор ускорения точки;

√– модуль ускорения;

– касательное ускорение;

– нормальное ускорение; Рис.2.5 С – центр кривизны; ρ = МС – радиус кривизны траектории.

2.2. Задача К1. Кинематика материальной точки

Материальная точка движется в плоскости xОy. Уравнения движения заданы в параметрической форме , ( и измеряются в метрах, – в секундах). Данные для расчета следует взять из табл. К1, К1а).

Таблица К1.

Определить и изобразить на чертеже траекторию движения точки, за начало движения принять момент времени . Определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t = 1с. Рассчитать радиус кривизны в соответствующей точке траектории в заданный момент времени.

В последующих расчетах потребуются знание тригонометрических

формул – – ; , а также навыки дифференцирования.

Пример решения задачи К1

Дано: Уравнения движения точки в плоскости xОy:

где x, y – в метрах, t – в секундах.

Определить и показать на чертеже уравнение траектории точки. Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени . Определить касательную и нормальную составляющие ускорения в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории в месте ее нахождения через 1с после начала движения. Показать векторы скорости и ускорения этой точки.

Решение Уравнения движения заданы в параметрической форме. Определим

уравнение траектории точки, исключив из уравнений движения параметр (время t). Для этого выразим из уравнений движения тригонометрические функции

,

возведем их в квадрат и воспользуемся тригонометрической формулой

:

.

Полученное уравнение является уравнением эллипса (рис. К1). Построить траекторию точки можно любым способом, например, по точкам, с помощью компьютера, или с использованием характерных признаков эллипса: положения его центра, длины полуосей. Укажем на траектории начальное положение точки.

Найдем на траектории положение точки М через после начала движения, определив ее координаты:

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси, учитывая дифференциальную зависимость между координатами и проекциями скорости:

9

.

Используя дифференциальную зависимость между скоростью и уско-

2.3. Кинематика плоского движения твердого тела

Плоским движением (плоскопараллельным) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в параллельных плоскостях. Поэтому задача изучения плоского движения сводится к изучению движения плоской фигуры, параллельной плоскости движения.

Плоское движение тела в механике принято представлять как сумму двух простых движений: поступательного и вращательного. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково (по одинаковым траекториям, с одинаковыми скоростями и ускорениями), поэтому такое тело можно рассматривать как материальную точку и применять к нему кинематическую теорию материальной точки. При осевом вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, такое движение характеризуется угловыми параметрами: угловым перемещением , угловой скоростью и угловым ускорением .

Векторы и всегда направлены в одну сторону вдоль оси вращения, их направление определяется правилом правого винта. Векторы и имеют одинаковое направление при ускоренном вращении и противоположно направлены при замедленном вращении.

10