Контрольная работа: Класичні задачі давнини: подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга

Класичні задачі давнини: подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга

ВСТУП

геометричний куб кут

Багато років світ вивчає і досліджує різні проблеми. Деякі з них зіграли важливу роль в становленні геометрії. Наприклад, древні геометричні задачі, найбільш відомі з них це задачі на побудову: задача про квадратуру круга, подвоєння куба і трисекція кута. Вчені всіх часів приділили цим проблемам багато час, пропонували свої розв’язання. Врешті було доведено, що ці задачі неможливо розв’язати лише за допомогою циркуля та лінійки. З часом змінилася постановка задачі: «довести нерозв’язність» - що було великим кроком вперед. Разом з тим, пропонувалась велика кількість розв’язків за допомогою нетрадиційних інструментів. Все це призвело до виникнення абсолютно нових ідей в геометрії.

Задачі формулюються так:

·        Задача про квадратуру круга. Побудувати сторону квадрата, площа якого рівна площі даного круга.

·        Задача про подвоєння куба: побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більший, за об’єм даного.

·        Задача про трисекцію кута: розділити довільний кут на три рівні частини.

В даній курсовій роботі ми розглянемо ці задачі, причини їх виникнення і методи їх розв’язання.

РОЗДІЛ І. МЕТОДИ ПОБУДОВ ЗАДАЧ ДАВНИНИ

.        ПОДВОЄННЯ КУБА

Побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більший, за об’єм даного. Якщо  - сторона даного куба,  - шукана сторона куба, об’єм якого вдвічі більше, ніж об’єм заданого, то

Отже,

Отже, для того, щоб розв'язати задачу досить побудувати вираз .

Ця задача є частковим випадком іншої задачі:

Задача. Дано два відрізка  і . Побудувати два середніх пропорційних, тобто два відрізка  і , котрі задовольняють рівняння:

З цієї рівності випливає, що

І якщо , то

Подвоєння куба потребує побудови виразу  або графічного вираження коренів рівняння

Це рівняння третьої степені не має раціональних коренів и тому не є розв’язним в квадратних радикалах. А, отже, вираз  не може бути побудований циркулем та лінійкою.

Для вирішення цієї задачі потрібні конічні перерізи або вищі криві, які можуть бути побудовані по точкам або за допомогою нестандартних інструментів.

1.1    Побудова за допомогою конічних перерізів

Графічне розв’язання за допомогою конічних перерізів.

)        Розглянемо параболи:

координатами точки їх перетину, яка не збігається з початком, будуть числа

2)     
Побудуємо два конічні перерізи

тоді точка їх перетину, яка не співпадає з початком, має координати:

3)      Розглянемо коло

Тоді точка їх перетину, відмінна від початку, має координати

В усіх випадках знаходження середніх пропорційних зводиться до знаходження точок перетину двох конічних перерізів.

Якщо , то

Для того, щоб знайти  можна використати будь-який зі способів.

Для  останній метод є найбільш зручним. В такому випадку рівняння параболи має вигляд

вона не залежить від  і її можна побудувати.

Координатами центра в такому випадку будуть числа:

Оскільки коло проходитиме через початок координат, то немає необхідності знаходити її радіус.

1.2    Побудова за допомогою конхоїди Нікомеда

Вирішення за допомогою конхоїди Нікомеда.

)        Нікомед знайшов криву вищого степеня, яку надзвичайно просто побудувати, а використовуватись може не лише для графічного подвоєння куба, але і для трисекції кута і графічного розв’язання рівнянь третього степеня. Саму криву можна отримати наступним шляхом:

Нехай дано точку , довільну пряму  і відкладемо на ній від точки  її перетину з  відрізок . Отриманиі таким чином точки при зміні прямої  утворюють деяку криву  - конахоїду Нікомеда.

Точку  називають полюсом кривої, пряму  - її основою, а  - інтервалом.

Неважко побудувати механізм, за допомогою якого можна було б креслити цю криву.

Нікомед побудував такий механізм, який вважається найдревнішим інструментом для креслення кривих, після циркуля.

2)      Виведемо рівняння цієї кривої.

Із подібних трикутників  і  випливає, що:

або

різносторонні полюси від основи .

Положення системи координат при цьому ясно з рисунку.  -

Із рівняння видно, що це крива четвертого порядку, має свою точку  своєю подвійною точкою і скалдається з двох частин, які мають основу  спільною асимптотою. Крива більше того проходить через дві уявні циклічні точки.

)        Тепер покажемо як за допомогою цієї кривої визначити обидва середніх пропорційних між двома відрізками  і .

Два взаємно перпендикулярні відрізки  і  (з малюнку 1) нехай будуть відповідно рівні  і . І нехай

 буде серединою відрізка  і пряма  буде перпендикулярна до  так, що

Потім проведемо пряму  і паралельно їй через точку  пряму  і інтервал , вона перетне пряму  в точці  і отримаємо точку  за допомогою четвертої вершини прямокутника .

Тепер за допомогою обчислень неважко довести, що  і .

Якщо

то

4)      Якщо потрібно визначити два середніх пропорційних, то нема необхідності в побудові всієї кривої, а досить накреслити ту частину, яка за припущення містить точки перетину.

Саму точку перетину на практиці зручно знаходити за допомогою паперової смужки, на котру нанести відрізок , переміщаючи її певним чином.

Таке знаходження  за допомогою паперової смужки ні в яком разі не буде лише приблизним вирішенням задачі.

1.3    Побудова за допомогою цисоїди Діоклеса

Розв’язання за за допомогою цисоїди Діоклеса.

)        Діоклес знайшов для вирішення задачі криву, яка хоч і не може бути побудована за допомогою такого простого механізму, як конхоїда, але тісно пов’язана з розглядуваною задачею.

Нехай  буде ламаним відрізком, що має довжину 1. Проведемо через його кінці перпендикуляри  і візьмемо на  довільну точку. Цій точці  ми на  відкладемо таку точку , для якої

( приймається за одиницю)

Таким чином, якщо припустити , то .

Тепер проведемо прямі , які перетнуться в точці , яка при зміні  опише деяку криву, цисоїду Діоклеса.