Контрольная работа: Класичні задачі давнини: подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга

2)      Виведемо рівняння цієї кривої (малюнок 2).

Рівняння прямої

а прямої

Виключивши  з обох рівнянь отримаємо

Це і є рівняння цисоїди.

3)      Властивість, яка може бути використана для побудови.

Побудуємо на  півколо і припустимо, що кут . Нехай пряма  перетинає півколо не тільки в точці , а ще в деякій точці , тоді .

Для того, щоб довести це, досить тільки показати, що обидва відрізки мають різні за довжиною проекції на прямій

Проекція відрізка  на  є

Проекція відрізка  (абсциса точки ) може бути знайдена, якщо в рівнянні припустити  і потім визначити .

Ми знайдемо, що

що і є доведенням теореми.

1.4    Побудова за допомогою двох прямих кутів

Розв’язання за допомогою двох прямих кутів.

Нехай дано дві взаємно перпендикулярні прямі , нехай  - довільна точка на  і  - прямокутна ламана лінія, вибрана так, що  і  лежать на , а  і  - на . Тоді:

тобто  і  будуть двома середніми пропорційними між  і .

)        Якщо  і  дані, то згідно з вищесказаним,  і  можна визначити, побудувавши прямокутну ламану лінію . Дві вершини її  дані, а інші дві  мають бути побудовані.

Цього можна домогтись лише наближеними методами, побудувавши криву помилок для точки  або .

Для цього через  проводять довільну пряму 1, в точці її перетину з  проводять перпендикуляр 2 і опускають з  перпендикуляр на 2. Його очка перетину  з прямою 2 це точка кривої помилок.

Аналогічно визначаємо і другу точку

Завжди можна точки  і  визначити так, щоб вони лежали близько до прямої . Тоді криву помилок на цій короткій відстані можна розглядати як майже пряму.

2)      Якщо є два рухомі прямі кути, то задача може бути строго розв’язана.

Треба лише обидва прямих кути розташувати на площині рисунка так, щоб вони дотикались вздовж одного катета, і щоб другий катет одного кута проходив через , а другий катет другого кута - через . Вершина першого кута повинна лежати на , а другого на .

Правильного розміщення кути досягають після короткого переміщення, в результаті чого виходить строге розв’язання запропонованої задачі.

Якщо

то

Таким чином, якщо

то

2.     
ТРИСЕКЦІЯ КУТА

геометричний куб кут

Задача про трисекцію кута - ще одна з задач давнини. Поділом кута на три рівні частини також займалось багато математиків. Але і ця задача також не була вирішена за допомогою циркуля та лінійки. Однак, якщо не обмежуватись лише цими інструментами, то задачу можна побудувати. Звичайно, цей розв’язок не буде задовольняти поставлені умови повністю, але це, очевидно, буде певним математичним здобутком.

В ході розв’язання цієї задачі було відкрито цілий ряд дуже важливих та цікавих кривих. Наприклад, спіраль Архімеда..

Нехай

Нехай

та

тоді

при цьому

тобто

З цього випливає простий метод трисекції кута , метод яким найпростіше можна виконати за допомогою паперової площини.

Нехай дано . Опишемо навколо  двільним радіусом  коло , яка перетне сторони кута в точках  і .

Нанесемо тепер на край паперової площини відрізок , помістимо паперову площину в площину рисунка так, щоб край її проходив через , точка  лежала на  і точка  на .

Тоді вже

Правильне положення паперової площини вдається знайти з повною строгістю після деякого її переміщення.

Трисекція кута вказаним шляхом виконується строго.

Метод є не тільки корисним, але й теоретично цікавий, так як з нього можна вивести цілий ряд методів трисекції кута.

2.1   
Побудова за допомогою конхоїди Нікомеда

Трисекція кута за допомогою конхоїди Нікомеда.

Щоб надати паперовій площині  правильне положення можна: край її прикладати до , точку  поміщають на пряму  і переміщати паперову площину до тих пір, поки  не потрапить на коло . При цьому переміщення точки  опише конхоїду , для якої  буде полюсом,  - основою,  - інтервалом.

Точка перетину  з  і буде шуканою точкою . Звідси випливає застосування конхоїди для трисекції кута.

На рисунку креслять також пряму , паралельну до .

Нехай тепер даний буде довільний кут .