Контрольная работа: Класичні задачі давнини: подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга

Відкладають на стороні  довільний відрізок  і отримують таким чином точку , як центра, радіусом  і будують конхоїду, яка має точку  своїм полюсом, пряму  - основа, відрізок  - інтервалом. Точка  перетину цієї конхоїди з колом  і визначає третю частину кута .

Легко бачити, що для кожного даного кута треба креслити конхоїду, в силу чого цей метод має лише історичний інтерес.

2.2    Побудова за допомогою равлика Паскаля

Уявімо тепер паперову поверхня, яка розташована в площині рисунка так, що край її проходить через  і точка  лежить на колі , це можна виконати нескінченною множиною способів. Точка  описує при цьому деяку криву , так званого равлика Паскаля.

З рисунка ясно, що навпаки, за допомогою равлика Паскаля можна розділити довільний кут на три частини.

Нехай даний нарисований равлик Паскаля.  і точка .

Якщо потрібно розділити кут на три частини, то проводять пряму  так, щоб тук  дорівнював даному куту. Якщо тепер проведемо через  пряму , паралельну до , то  перетне равлик Паскаля у деякій точці , причому, як видно з рисунка,

Отже, за допомогою накресленого равлика Паскаля можна ділити на три рівні частини довільний кут.

Квадратура круга

Різні способи побудови

Задача про квадратуру круга відома вже тисячі років і завжди привертала до себе увагу математиків. Вона формулюється так: побудувати квадрат, площа якого була б рівна площі даного круга.

Довгий час існували сумніви щодо вирішуваності задачі. Ці сумніви підтвердилися ще тим, що грецький геометр Гіппократ зміг перетворити квадрат на деякі «кругові луночки» - частина площини, обмежена дугами двох кіл.

На малюнку зображена «луночка» , рівновелика трикутнику  (який неважко перетворити в рівновеликий йому квадрат).

Були виказані припущення про невирішуваність задачі за допомогою циркуля та лінійки. Робили спроби довести невирішуваність задачі про квадратуру круга взагалі.

Площа круга радіуса  рівна

тобто рівна площі квадрата зі стороною , котра будується як середнє пропорційне між відрізками  і .

Якби було можливо, знаючи радіус круга , побудувати відрізок довжиною , то такий квадрат легко можна було б побудувати.

И навпаки: якби при даному  можна було б побудувати квадрат, рівновеликий кругу, то можна було б побудувати відрізок, рівний довжині кола. Насправді, якщо  - сторона квадрата, то , отже,  і шуканий відрізок будується як четвертий пропорційний відрізок до відрізків  і .

Отже, задача про квадратуру круга рівносильна до задачі про спрямлення кола, тобто побудови відрізка довжиною . При  довжина кола дорівнює . Таким чином задача про спрямлення кола призвела до вивчення властивостей числа .

Як наслідок, було доведено ірраціональність числа , але це ще не було вирішенням питання про квадратуру круга.

В ході подальших роздумів, було доведено, що, для побудови шуканого відрізка, потрібно аби  було числом алгебраїчним, а не трансцендентним. Що не так.

Таким чином нарешті була вирішена проблема квадратури крута: квадратура круга неможлива за допомогою циркуля та лінійки.

Незважаючи на те, що задача про спрямлення кола і задача про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки теоретично точно нерозв’язна, існують методи наближеного розв’язання цих задач з достатньою для практичних цілей наближеною точністю.

Якщо розділити коло точками на достатньо велику кількість достатньо малих дуг, то периметр многокутника, для якого ці точки служать послідовно вершинами, може бути прийнятий за довжину кола.

Відомо, що ще Архімед визначив, що . При такому припущенні відрізок  будується як три цілих і одна сьома діаметра даного кола. Ця побудова дає наближене розв’язання задачі з надлишком, причому відносна похибка не перевищує .

Цікавий прийом спрямлення кола за допомогою лище циркуля запропонував італійський геометр Маскероні.

Нехай  - центр даного кола,  - деяка точка, яка належить даному колу.

Будуємо чотири послідовні вершини правильного вписаного шестикутника . Нехай  - точка перетину кола  і кола . Нехай в перетині дуги  даного кола з колом  утворюється точка . Тоді довжина відрізка  рівна одній четвертій частині довжини кола з точністю до .

Виявляється, що при

Тоді як .

Оригінальний прийом спрямлення кола був запропонований польським математиком Коханським. Суть методу ясна з малюнку:

На рисунку .

Тобто відрізок  дає наближену величину довжини півкола, радіус якого .

Спосіб Коханського цікавий тим, що він відтворюється лінійкою і циркулем постійного розхилу.

Простий спосіб спрямлення кола за допомогою циркуля і лінійки запропонував Мюллер. Хід побудови легко простежити по рисунку:

ВИСНОВОК

Отже, ми розглянули три знамениті задачі давнини. Багато років світ вивчав і досліджув їх. Вони зіграли важливу роль в становленні геометрії. Ми показали, що ці задачі неможливо розв’язати лише за допомогою циркуля та лінійки.

В даній курсовій роботі ми розглянули ці задачі, причини їх виникнення і методи їх розв’язання.

В роботі було розглянуто різні методи наближених побудов задач квадратури круга, трисекції кута та подвоєння куба. Наведено детальні способи побудов нерозв’язних задач. До деяких із них наведено наслідки, задачі, які випливають з побудови даних, нерозв’язних за допомогою циркуля і лінійки, задач.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.      Адлер А. теория геометрических построений/Пер.с кем.3-у изд.Л.,1940, 232с.

.        Аксенова М.В., Храмов Г.И. Єнциклопедия по математике. М.: Аванта+, 1995, 162с.

3.      Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. 2-е изд. М, 1957, 226с.

.        Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1964. - С. 324-325.

5.      Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». - М.: Молодая гвардия, 1965. - 320 стр. с илл.

.        Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.

7.      Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. - М.: Наука, 1983. - 76 стр.

.        Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3-15.Смилга В.П. В погоне за красотой./. Н-п издание. - М.: Молодая гвардия, 1968. - 200 стр. с илл.