Материал: kompendium_po_fizike
11
Как
видно
из
формулы
для
амплитуды
вынужденных
колебаний
,
она
будет
зависеть
от
собственной
частоты
колебаний
,
частоты
внешней
периодической
силы
и
коэффициента
затухания
.
Частота
,
при
которой
амплитуда
вынужденных
колебаний
будет
максимальной
,
называется
резонансной
частотой
;
она
определяется
из
условия
2
2
0
2
р
,
при
этой
частоте
2
2
0
2
m
F
A
m
вын
.
Явление
достижения
амплитудой
вынужденных
колебаний
своего
максимального
значения
называется
резонансом
.
4.
Сложение
колебаний
,
направленных
вдоль
одной
прямой
и
во
взаимно
перпендикулярных
направлениях
Тело
может
принимать
участие
одновременно
в
нескольких
колебательных
движениях
.
Рассмотрим
простейшие
случаи
сложений
колебаний
.
Тело
принимает
участие
в
двух
колебательных
движениях
,
совершаемых
вдоль
одной
прямой
и
с
одной
частотой
:
)
cos(
1
1
1
t
A
x
и
)
cos(
1
2
2
t
A
x
.
Тогда
при
сложении
получим
:
)
cos(
)
cos(
)
cos(
2
2
1
1
2
1
t
A
t
A
t
A
x
x
x
.
Для
определения
фазы
и
амплитуды
результирующего
колебания
используем
метод
векторных
диаграмм
.
Метод
векторных
диаграмм
основан
на
том
,
что
смещение
тела
при
колебаниях
может
быть
представлено
как
изменение
с
течением
времени
проекции
вращающегося
вектора
на
некоторую
ось
.
Т
.
е
.,
если
вектор
длиной
A
совершает
вращение
вокруг
некоторой
точки
О
со
скоростью
,
то
проекция
вектора
на
некоторую
ось
ОХ
будет
A
t
A
cos
t
О
Х
Рисунок
3.
Векторное
представление
колебания
12
изменяться
по
закону
:
t
A
x
cos
(
рисунок
3).
Изобразим
на
векторной
диаграмме
вектора
,
соответствующие
колебаниям
для
1
x
и
2
x
(
рисунок
4).
Так
как
частота
колебаний
одинакова
,
то
углы
между
векторами
будут
постоянными
.
Угол
может
быть
найден
по
формуле
:
1
2
.
Тогда
амплитуда
результирующего
колебания
может
быть
найдена
по
теореме
косинусов
:
cos
2
2
1
2
2
2
1
A
A
A
A
A
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
A
A
A
A
.
Как
видно
из
последней
формулы
результат
сложения
колебаний
будет
зависеть
от
разности
фаз
колебаний
.
Рассмотрим
два
случая
:
1.
,...
1
,
0
,
2
1
2
k
k
, –
вектора
направлены
параллельно
,
тогда
амплитуда
будет
максимальной
.
2.
,...
1
,
0
,
1
2
1
2
k
k
–
вектора
направлены
антипараллельно
,
тогда
амплитуда
будет
минимальной
.
Обобщая
,
можно
сказать
,
что
разность
фаз
и
амплитуды
складываемых
колебаний
определяют
амплитуду
результирующего
колебания
.
Фаза
результирующего
колебания
будет
определяться
по
формуле
:
1
1
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
A
A
A
A
arctg
.
При
сложении
колебаний
с
примерно
равными
частотами
в
результате
образуются
колебания
с
медленно
гармонически
изменяющейся
амплитудой
–
биения
.
Тело
принимает
участие
в
двух
колебаниях
,
происходящих
во
взаимно
перпендикулярных
направлениях
,
с
одинаковой
частотой
:
)
cos(
x
x
t
A
x
и
)
cos(
y
y
t
A
y
.
В
результате
колеблющееся
тело
будет
описывать
в
пространстве
кривую
–
О
Х
1
A
1
2
A
2
A
Рисунок
4.
Векторная
диаграмма
сложения
колебаний
13
эллипс
,
определяемый
уравнением
:
)
(
sin
)
cos(
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
A
A
xy
A
y
A
x
.
В
зависимости
от
соотношения
фаз
и
амплитуд
суммируемых
колебаний
получают
частные
случаи
эллипса
:
окружность
,
отрезок
прямой
.
При
сложении
взаимно
перпендикулярных
колебаний
с
разными
частотами
получают
сложные
траектории
движения
колеблющегося
тела
–
т
.
н
.
фигуры
Лиссажу
.
5.
Сложные
колебания
.
Гармонический
спектр
сложных
колебаний
,
теорема
Фурье
.
Разложение
колебаний
в
гармонический
спектр
Колебание
,
отличное
от
гармонического
,
будем
считать
сложным
.
Согласно
теореме
Фурье
,
сложное
колебание
может
быть
представлено
в
виде
суммы
гармонических
колебаний
с
кратными
частотами
–
т
.
н
.
гармоник
:
)
cos(
...
)
3
cos(
)
2
cos(
)
cos(
)
(
0
3
3
2
2
1
1
0
k
k
t
k
A
A
t
A
t
A
t
A
A
t
x
В
этой
формуле
0
A
–
постоянная
составляющая
,
1
A
,
2
A
,
3
A
, …, –
амплитуды
1-
й
, 2-
й
, 3-
й
и
т
.
д
.
гармоник
,
,
2
,
3
, …, –
круговые
частоты
1-
й
, 2-
й
, 3-
й
и
т
.
д
.
гармоник
,
1
,
2
,
3
, …, –
начальные
фазы
1-
й
, 2-
й
, 3-
й
и
т
.
д
.
гармоник
.
Гармоника
с
минимальной
частотой
называется
основной
гармоникой
,
остальные
–
дополнительными
.
Для
данного
сложного
колебания
набор
гармоник
с
Рисунок
5.
Представление
сложного
колебания
суммой
гармонических
составляющих
14
1
A
2
A
A
2
известными
характеристиками
(
амплитудами
,
частотами
,
фазами
)
называется
спектром
.
А
сам
процесс
нахождения
гармоник
называется
спектральным
(
гармоническим
)
анализом
.
На
рисунке
5
представлен
график
сложного
колебания
,
состоящего
из
двух
гармоник
:
сплошная
линия
–
график
сложного
колебания
,
пунктирные
линии
–
графики
1-
й
и
2-
й
гармоники
.
Наиболее
удобным
преставлением
спектра
является
графическое
представление
:
по
оси
абсцисс
откладываются
частоты
гармоник
,
по
оси
ординат
–
их
амплитуды
(
рисунок
6).
6.
Механические
волны
,
их
виды
и
скорость
распространения
Под
механической
волной
понимают
механическое
колебание
,
распространяющееся
в
среде
.
Также
механическую
волну
определяют
как
перенос
энергии
в
среде
без
переноса
частиц
среды
.
Механические
волны
возникают
из
-
за
того
,
что
частицы
среды
связаны
друг
с
другом
силами
упругости
,
и
выведение
из
положения
равновесия
одной
частицы
вызывает
смещение
соседних
частиц
.
Механические
волны
можно
разделить
на
продольные
и
поперечные
,
а
также
поверхностные
.
В
продольных
волнах
колебания
частиц
среды
происходят
вдоль
направления
распространения
волны
(
волны
сжатия
и
разрежения
).
В
поперечных
волнах
колебания
частиц
среды
происходят
перпендикулярно
направлению
распространения
.
Поверхностные
волны
являются
своеобразной
комбинацией
из
продольных
и
поперечных
волн
,
быстро
затухающими
вглубь
среды
.
Звуковые
волны
в
воздухе
являются
примерами
продольных
волн
,
поперечные
и
поверхностные
волны
в
металлах
и
на
их
поверхности
являются
примерами
,
соответственно
,
поперечных
и
поверхностных
волн
.
Рисунок
6.
Спектр
колебания
,
состоящего
из
двух
гармоник
15
Скорость
,
с
которой
возмущение
распространяется
в
среде
,
называют
скоростью
волны
.
Если
волна
монохроматическая
(
т
.
е
.
может
быть
представлена
одним
гармоническим
колебанием
),
то
корректнее
её
скорость
называть
фазовой
скоростью
,
т
.
е
.
скоростью
распространения
фиксированной
фазы
колебания
в
среде
.
Если
в
некоторой
среде
возможно
образование
продольных
и
поперечных
волн
(
например
в
металле
),
то
в
таком
случае
для
данной
среды
скорость
продольных
волн
больше
скорости
поперечных
.
7.
Уравнение
волны
.
Энергетические
характеристики
волны
Уравнение
волны
описывает
смещение
)
,
(
t
x
s
в
некоторой
точке
среды
с
координатой
x
в
момент
времени
t
.
Простейшим
уравнением
волны
является
уравнение
плоской
бегущей
монохроматической
волны
,
имеющее
вид
:
v
x
t
A
t
x
s
cos
)
,
(
,
где
A
–
амплитуда
смещения
,
–
круговая
частота
колебаний
в
волне
,
v
–
фазовая
скорость
волны
.
Выражение
v
x
t
называют
фазой
волны
Множество
точек
волны
,
имеющих
одну
фазу
(
или
колеблющихся
в
одной
фазе
),
называют
волновым
фронтом
.
Длиной
волны
называют
расстояние
между
двумя
точками
волны
,
разность
фаз
для
которых
равна
2
.
Также
длина
волны
равна
расстоянию
,
которое
проходит
волна
за
время
,
равное
одному
периоду
колебаний
:
vT
.
Как
уже
упоминалось
ранее
,
механическая
волна
есть
процесс
переноса
энергии
в
среде
без
перемещения
частиц
среды
,
поэтому
волна
имеет
энергетические
характеристики
;
рассмотрим
их
:
Поток
энергии
:
Вт
t
E
/
–
отношение
энергии
,
проходящей
через
некоторую
площадку
,
ко
времени
,
в
течение
которого
она
через
эту
площадку
проходила
.