Материал: Кратные интегралы и ряды (90
Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра дискретного анализа
М. В. Ануфриенко, Г. В. Шабаршина
Кратные интегралы и ряды
Методические указания
Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по направлению
Фундаментальная информатика и информационные технологии
Ярославль 2012
1
УДК 517.37(072) ББК В161.12я73
А73
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензент:
кафедра дискретного анализа ЯрГУ им. П. Г. Демидова
Ануфриенко, М. В. Кратные интегралы и ряды: А73 методические указания / М. В. Ануфриенко, Г. В. Ша-
баршина; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2012. – 36 с.
В методических указаниях собраны материалы, которые позволят организовать аудиторную и внеаудиторную самостоятельную подготовку студентов по курсу «Кратные интегралы и ряды».
Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии (дисциплина «Кратные интегралы и ряды», цикл Б2), очной формы обучения.
УДК 517.37(072) ББК В161.12я73
©Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012
2
Введение
Стратегическим направлением модернизации и оптимизации высшего образования является увеличение времени на самостоятельную работу студентов. И это понятно: современные условия диктуют необходимость непрерывного образования, когда от студентов и в дальнейшем от выпускников университета требуется постоянное совершенствование знаний. Выпускник должен быть ориентирован на большую инициативу и самостоятельность, должен обладать способностью работать в различных рабочих командах, иметь высокую мотивацию к переобучению.
Одними из основных факторов, обеспечивающих большую эффективность процесса обучения и позволяющих достигнуть более высокого качества обучения, являются сокращение аудиторной нагрузки и все возрастающая роль самостоятельной работы студентов вместо пассивного слушания лекций. Объем самостоятельной работы студентов определяется ФГОС и учебным планом направления подготовки 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».
Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» относится к математическому и естественно-научному циклам. Это обязательный курс для студентов 2-го курса, читается в 3-м семестре. На изучение дисциплины отводится 144 часа, из которых 36 часов лекционных и 36 часов практических занятий. Остальные часы так или иначе связаны с самостоятельной подготовкой. Объем информации по этой дисциплине (полный набор вопросов приведен в приложении) весьма значителен. Отсюда совершенно естественно следует, что большая частьработыпереноситсянасамостоятельнуюподготовку.
В предлагаемых указаниях приводятся методические материалы по дисциплине «Кратные интегралы и ряды»: для каждой темы приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач, представлены варианты контрольных заданий, список экзаменационных вопросов. Все эти материалы призваны оказать помощь в организации самостоятельной работы, облегчить и оптимизировать внеаудиторную самостоятельную работу.
3
1. Функциональные последовательности и ряды
Занятие 1. Предельная функция функциональной последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей
Функциональной последовательностью fn x называется
последовательность, элементами которой являются функции. Ес- |
|
ли числовая последовательность fn x0 сходится, то говорят, |
|
что последовательность функций fn x сходится в точке x0 . |
|
Последовательность fn x , сходящуюся |
в каждой точке |
x E , называют сходящейся на множествеE . |
В этом случае на |
множестве E определена функция f , значение которой в точке x0 E равно пределу последовательности fn x0 . Эту функцию
называют предельной функцией последовательности и пишут
lim fn x f x , x E . n
Найдите предельную функцию функциональной последовательности:
Задача 1.1. |
fn (x) = |
|
|
nx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 n2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
nx n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. f x lim |
|
nx |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
0 |
0. |
||||||||||||
|
n2 x |
2 |
|
|
|
|
0 |
x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
1 |
x2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
Задача 1.2. |
fn (x) = |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n (x n x |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. При вычислении воспользуемся следствием из |
||||||||||||||||||||||||||
второго замечательного предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
a x 1 |
ln a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
lim (x |
|
1) |
(x |
|
1) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
2n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
n (x n |
x 2n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
= lim |
x |
1 |
1 |
lim x |
1 |
1 |
|
ln x ln x ln x . |
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
n 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 1.3. fn (x) = n 1 xn , |
x [0; ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
f x lim |
n 1 xn ; |
x [0; ) . Рассмотрим три |
|||||||||||||||||||||||
случая. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 xn n 1 1. |
|
|||||||||||
Если |
0 x 1, |
то |
|
xn 0, |
и |
|
|
|||||||||||||||||||
Если |
x 1, |
то |
xn |
1, |
и |
|
n 1 xn n 2 |
1. |
|
|||||||||||||||||
Если |
x 1, |
то |
x |
n |
|
|
|
|
и |
|
n |
|
x |
n |
|
n |
x |
n |
|
1 |
|
x. |
||||
, |
|
1 |
|
( xn 1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
при |
x [0;1] |
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, f (x) x; |
при |
x |
(1; ). |
|
||||||||||||||||||||||
Задача 1.4. fn (x) = n arcctg (nx2 ), |
|
|
x (0; ) . |
|
||||||||||||||||||||||
Решение. f |
x |
lim n arcctg (nx2 ), |
|
|
x (0; ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Данный предел может быть вычислен с помощью правила Лопиталя:
|
(arcctg nx2 )' lim |
|
1 x2 |
|
n2x2 |
|||||
f x lim |
|
1 n2 x4 |
lim |
|||||||
n |
( |
1 |
n |
)' |
n |
|
1 |
2 |
n 1 |
n2x4 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Задача 1.5. fn (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. f x lim (x 1) arctg xn , |
x (0; ). |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим три случая: |
|
|
|
|
|
|
||||
при x (0;1) |
xn 0 (x 1)arctg xn 0, |
|
||||||||
при x 1 |
(x 1)arctg xn 0 |
0, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
при x (1; ) |
xn |
|
|
(x 1)arctg xn (x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x12 .
1).
5