Материал: Кратные интегралы и ряды (90

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вычисление предельной функции

Вычислите интегралы с параметром

	Задача 9.3. I								1					xdx				R..
									0								,
									0			1 2x2					,
	Решение. Отдельно рассмотрим случаи а) 0																									и б) 0.
	а) При 0 интеграл имеет вид:1 xdx																					x2		1	1 .
																						x2		1
																						2
																		0				2		0	2
	б)				2			2																0	1 2
	б)
1	xdx			1			x			t						1		1	2x	2	dx		1				dt
	xdx			1			x			t						1			2x		dx		1				dt
	2 x2			dt 2 2x												2 2							2 2
01	2 x2			dt 2 2x												2 2		01 2 x2					2 2			1	t
		1	ln 1 2 x2							1 ln 1 2 .
			ln 1 2 x2							1 ln 1 2 .
		2 2								0				2	2 2
														2		при			0
				ln 1												при			0
								2					2
	Ответ: I							2
				1					при 0.
									при 0.
				2
							dx
	Задача 9.4.										.
	Задача 9.4.					e x					.
				0		e x

Решение. Интеграл является несобственным и сходящимся при 0 .

lim

A dx

lim

A 0 e

Ответ: I 1 при 0 .

lim	1	1	1	.

	e A	e0
A

Задача 9.5. arcsin x dx

Решение.

1			u arcsin x				dv dx						1
1			u arcsin x				dv dx
	arcsin x dx		du				v x		x arcsin x
	arcsin x dx								x arcsin x
													0
0	1			1 2 x2
0				1 2 x2
		x dx				1	1 2x2	1			1	2
		x dx				1		1			1	2
														.
														.
	0	1 2x2			2			0		2			2
	0	1 2x2			2			0		2			2

Ответ: I 2 2 при 0 .

Задания для самостоятельной работы

Задача 9.6. Найти , если ln 1 x dx .

0 x

Занятие 10. Нахождение множества сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра

Задача 10.1. При каких интеграл 1 cos x dx сходится?

0 x

Решение. Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и является неотрицательной. Сравним наш интеграл с инте-

1 dx

, который сходится при 1. Так как при x 0 от-

гралом

0 x

ношение функции 1 cosx и

стремится к

1 , приходим к

x 2

выводу: наш интеграл сходится про 3.

Ответ:

cos x

dx сходится при 3.

arctg x

Задача10.2. Исследоватьнасходимость

dx .

1 x2 ex 1

Решение. Так как интеграл имеет две особенности, разобьем его на два интеграла.

так как подынтегральная функция положительная и бесконечно большая при x . Если 0 , то сходимость интеграла мож-

но доказать, сравнивая его с интегралом вида: dx , который

1 x

сходится при 1.

			arctg x		2		.
			arctg x		2
	1 x2 ex 1			x	2
					2
2)		1	arctg x			dx		. В зависимости от значения инте-

			1 x2 ex 1
		0	1 x2 ex 1

грал может оказаться обычным интегралом Римана или несобственным.

Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и неотрицательна. Определим функцию, эквивалентную ей в нуле.

arctg x

1 x

1 x2 ex 1

Интеграл сходится при 1 1

Множество сходимости интеграла

arctg x

опреде-

1 x2 ex 1

ляетсякакпересечение промежутковсходимостиинтегралов1) и2).

Ответ:			arctg x	dx сходится при 0 2.

		1	x2 ex 1
	0	1	x2 ex 1

Задания для самостоятельной работы

Определите множество сходимости интегралов.

Задача 10.3.

x sin x

dx .

1 x3

Задача 10.4.

3 2x

dx .

x 2

Исследование несобственных интегралов

на равномерную сходимость по параметру

Интеграл вида

f , x dx I равномерно сходится по па-

раметру на множестве Y 0, A ,

A A

неравенство

f , x dx

выполнено для Y .

sin x

Задача 10.5. Доказать,

что

интеграл

dx является

равномерно сходящимся при ; .

0 1 x2

Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса.

Интеграл

f , x dx сходится равномерно на множестве Х,

если:

и f , x dx являетсясходящимся.

f , x

F x

sin x

сходится,

так как

;

1 x2

при x ,

1 .

Интеграл является равномерно сходящимся по признаку Вейерштрасса.

Задача 10.6. Самостоятельно докажите равномерную сходи-

мость интеграла ln 3 xdx при 0;2 .

3 x

Задача 10.7. Вычислить I – предельную функцию инте-

грала arctg 2xdx 0 . 0 x 1 x

Решение. Несложно доказать по признаку Вейерштрасса, что интеграл является равномерно сходящимся по параметру.

Найдем производную предельной функции, продифференци-

	I '		dx	. Вы-
ровав подынтегральную по .	I '	0	1 x2 1 2 x2	. Вы-

числим полученный интеграл методом разложения на простые дроби:

	1										2				1								1
	1														1								1			.
1 x2 1 2 x2																										.
																		2 2 2 x2
								2 1 1 2 x										2 2 2 x2
								2								dx				1 dx
			'
			I	2 1									1 2x2						2			1 x2
	2 arctg x											0							2		0
										arctgx
										arctgx
																												.
2											2													2	2 2		2 1	.
2	1										2							2 1						2	2 2		2 1
						0								0
						0								0
I		d							ln 1 c . Константа c может быть оп-
I		2 1					2		ln 1 c . Константа c может быть оп-
ределена из условия: I 0 0																	ln 0 1 c 0										c 0.
															2
Ответ: I					ln 1 .
				2
Задача 10.8. Самостоятельно вычислите предельную функ-
цию интеграла arctg ax arctg bx dx																	методом интегрирования по
				0							x
параметру.				0
параметру.														b
Указание:			arctg ax arctg bx											b		d				.
								x					a
								x					a			1 x 2
															30

Источник: https://studfile.net/preview/16724292/

Если 0 , то интеграл расходится,

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution