Материал: Кратные интегралы и ряды (90

0;

при

x (0,1],

f (x)

(x 1);

при

x (1; ).

2

Задача 1.6. fn (x) = n(

x

arctg

x

),

x [0; ) .

n

n

x

x

Решение.

f x lim n(

arctg

),

x [0; ).

n

n

n

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

arctg t t o(t2 ) при t 0

arctg

x

x

o(1) при

n .

n

n

n

lim n(

x

x

o(

1

)) lim o(

1

) n lim

o( 1

n

)

0.

n

n

n

n

n

n

n

1n

Таким

образом,

f (x) 0,

x [0; ).

Задача 1.7. fn (x) = n arctg

ln x

,

x 0.

n

Решение.

f x

lim n arctg ln x ,

x 0.

n

n

Воспользуемся заменой на эквивалентную бесконечно ма-

лую: arctg t ~ t

при

t 0.

n ln x ln x.

lim n arctg ln x

lim

n

n

n

n

Задача 1.15. f x lim

x2

1

,

x ( ; ).

n

n

Занятие 2. Равномерная сходимость

функциональных последовательностей

Последовательность функций fn x называют равномерно

сходящейся к функции f x на множестве E , если для любого

0 существует номер N такой, что для всех n N

и для всех

x E выполняется неравенство

fn x f x

.

В этом определении существенно, что номер N

не зависит

от x .

an 0

и n

x X

fn (x) f (x)

an , то fn на Х сходится

Задача 2.2. fn (x) arctg nx

,

x [0; ).

n x

arctg nx

0

arctg nx

an 0.

n x

2 n x

2 n

n x

Следовательно, последовательность сходится равномерно на

множестве 0, .

Применение производной при исследовании на равномерную

сходимость часто дает возможность вычислить

sup

fn (x) f (x)

.

x X

Задача2.3. Рассмотримпример:

fn (x) xn xn 1,

x [0;1].

Решение.

Предельная

функция f (x) 0.

Очевидно, что

fn x 0

и

f 0 f 1 0.

fn' (x) n xn 1 (n 1) xn xn 1(n nx x) 0

x

n

.

n 1

n

Так как f '

x 0 при x

, то

n

n

n 1

n

sup

fn x f x

max fn x fn xn fn

0,1

0,1

n 1