Материал: Кратные интегралы и ряды (90

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задания для самостоятельной работы

Найдите предельную функцию и исследуйте на равномерную сходимость функциональную последовательность на заданном множестве.

Задача 2.7.

Задача 2.8.

Задача 2.9.

Задача 2.10.

Задача 2.11.

Задача 2.12.

x x2

1 ,

x ; .

n2 x2

sin

x [1; ).

n2 x4

ln nx

x [1; ).

nx2

fn x arctg n

x (0;1].

fn x

x 0;1 .

x n

fn x n x 1 x n ,

x 0;1 .

Занятие 3. Функциональные ряды. Множество сходимости функциональногоряда

Функциональным рядом un x называется ряд суммирую-

n 1

щий функции. Функциональный ряд называется сходящимся в

точке x0 , если сходится числовой ряд un x0 . Если функцио-

n 1

нальный ряд сходится в каждой точке множества E , то он называется сходящимся на множестве E .

Найти множество сходимости функционального ряда.

1 n

Задача 3.1. 2x 1 .

n 1 n

Решение. Для любого значения переменной x ряд является знакочередующимся. Воспользуемся признаком Лейбница.

1	монотонно стремится к 0, если 2x 1 0, т. е.	x	1 .
n2x 1
			2

При остальных значениях x

последовательность

не яв-

n2x 1

ляется бесконечно малой.

n x

Задача 3.2.

n 1

Решение.

,если

n 1

n 1 2x

n 1

2x n 1 n x

x 1

x 1.

В данном случае был использован признак

сравнения с гармоническим рядом

n 1 n

Задача 3.3.

x 1.

1 xn

n 1

Решение. Определим значения переменной x , при которых выполняется необходимое условие сходимости ряда:

1. Воспользуемся признаком Коши.

1 xn

lim

1 xn

n n

Ряд сходится при x ; 1 1; .

Задача 3.4.

n 1

Решение. Воспользуемся заменой на эквивалентную, так как ряд является положительным:

Ряд сходится, если

1 1

x 4.

n 2

Задача 3.5.

n2 1

2n 1

n 1 n

5x 9

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера.

		\| cn 1 x \|
nlim
nlim			\| cn x \|
lim				n 1 2 1				:		n2	1				1			1.
lim								:										1.
n n 1 2 \| 5x 9 2n 1 \|									n2 \| 5x 9 2n 1					\|		5x 9	2
n n 1 2 \| 5x 9 2n 1 \|									n2 \| 5x 9 2n 1					\|		5x 9	2
	5x 9		1		x	9	1					8


						5	5			x 2;		5	.

Исследуем точки, в которых признак Даламбера выдает 1. При x 2 получаем ряд:

	2;	8
Функциональный ряд сходится при x	2;	5	.
		5

Задача 3.6.					cos nx	.
					2n
Решение.			n 1
					Воспользуемся		теоремой	сравнения:
cosnx	1		1	– сходится. Множеством сходимости функцио-

		;
2n	2n		2n
		n 1

нального ряда является множество всех действительных чисел.

Задания для самостоятельной работы

Задача 3.7.
Задача 3.7.	lnn 1 x2 .
n 1
Задача 3.8.	n3		cos nx		.
Задача 3.8.			nx 1		.
n 1			nx 1
Задача 3.9.
Задача 3.9.	n x n .
n 1
Задача 3.10.		2n tg		x
				x	.
				3n	.
	n 1			3n

Занятие 4. Равномерная сходимость функциональных рядов

Функциональный ряд равномерно сходится на множестве E , если последовательность его частичных сумм является равномерно сходящейся функциональной последовательностью

ui x Sn x S x или остаток ряда равномерно сходится к 0

i 1

ui x rn x 0.

i n 1

Необходимым условием равномерной сходимости функцио-

нального ряда является равномерное стремление к нулю его общего члена un x 0.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функцио-

нального ряда: если для функционального ряда un x можно

n 1

указать такой сходящийся числовой ряд an , что для всех n n0

n 1

и для всех x E выполняется неравенство un x an .

В задачах 4.1–4.7 исследовать функциональные ряды на равномерную сходимость на заданных множествах.

		nx		x 0; .
Задача 4.1.		nx	,
Задача 4.1.	1	n3 x3	,
	1	n3 x3
n 1
Решение. Ряд сходится при всех допустимых значениях пе-
ременной x , так как		n x		~	1	.
ременной x , так как		1 n3 x3		~	n2 x2	.
		1 n3 x3			n2 x2

Для доказательства неравномерной сходимости воспользуемся необходимым условием равномерной сходимости: у равномерно сходящегося ряда общий член является равномерно сходящейся к нулю последовательностью. В данном случае

n x	0	неравномерно,	так	как	при
1 n3 x3

1 ,

n 1n

1 – неверно.

1 n

Ряд сходится неравномерно на множестве x 0; .

Задача 4.2.

, x 1; .

1 n3

Решение.

n 1

Докажем

равномерную сходимость ряда

при

x [1; ) , используя признак Вейерштрасса:

Найдем

ми-

1 nx n2 x2

nx 1

1 n3 x3

n2 x2 nx 1

нимум

знаменателя

помощью

производной:

nx t;

t 2 t 1 ' 2t 1 0.

t nx 12 – локальный минимум. На промежутке nx [1; ) знаменатель строго возрастает и достигает минимума при x 1.

nx	1			1
		;			.
1 n3x3	n2 n 1
			n 1 n2 n 1

Общий член функционального ряда на промежутке [1; )

мажорируется общим членом сходящегося числового ряда. Следовательно, ряд сходится равномерно.

		n
Задача 4.3.		1		; x 0.
		3 n
	n 1		x

Решение. Ряд является знакочередующимся и сходящимся,

так как	1		0	монотонно по n для x 0.
	3 n
		x

Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся

оценкой остаточного члена лейбницевского ряда



R	1 k c	k	c	n
R	1 k c		c
n	k n 1
	k n 1

1 n c .

n n 1

Источник: https://studfile.net/preview/16724292/

– ряд расходится.

ряд также расходится.

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution