Материал: Кратные интегралы и ряды (90

Занятие 5. Степенные ряды.

Интегрирование и дифференцирование

степенныхрядов

Степенной

ряд

– это функциональный ряд

вида:

x x n ,

где c

–

это числовая последовательность,

назы-

c

n

n

n 1

0

го

ряда.

Интервал

сходимости

степенного

ряда имеет вид

x0 R, x0 R ,

где

R – радиус сходимости, значение которого

может

быть

вычислено

по

формуле

Коши–Адамара.

R 1 lim

n

cn

или R lim

cn

.

cn 1

n

n

Задача 5.1. Найти множество сходимости степенного ряда

n

x 1 .

n 1

n 2n

1

Решение. c

n

,

x 1.

Находим радиус сходимости:

n 2n

0

R 1 lim

n

1

1

R 2. Интервал сходимости имеет вид

n

2n

n

2

При x 1 имеем числовой ряд

2 n

1 n

– знакочере-

n 2n

n

n 1

n 1

вид

2

n

1

– расходящийсягармоническийряд 1 .

n 2n

n

n 1

n 1

Задача

5.2.

Разложить

в

степенной ряд

функцию

f x arctg x в окрестности точки 0.

Решение. Воспользуемся методом почленного интегрирова-

ния степенного ряда:

x

dt

. При разложении подынте-

arctg x

1 t2

0

гральной

функции

в

степенной ряд

воспользуемся

формулой

суммы

геометрической

прогрессии:

a1

a qn

n 0

1

1

q

1

1

1 t 2

1 n t2n .

1 t2

1 t2

n 0

n 0

Проинтегрируем почленно полученный степенной ряд.

x

x

n

2n

n

x

2n

n

2n 1

arctg x

t

t

dt

t

1

dt

1

1

0 n 0

n 0

0

n 0

2n

1

0

1 n x2n

1

x3

x5

x

7

2n 1

x

.

3

5

7

n 0

Полученный степенной ряд сходится на отрезке x 1;1 .

Задача 5.3. Разложить в степенной ряд функцию

f x

1

в

окрестности точки –2.

x2

Решение. Воспользуемся методом почленного дифференци-

рования ряда:

1

1

'

. а) Разложим в степенной ряд функцию

x2

1

x

f x

и б) полученный ряд продифференцируем.

x

1

n

n

1

1

2

1

а)

x 2

x 2 .

x 2

x 2

x

2

1

n 0

2

2n

n 0

2n 1

n '

2

n '

1

x

n 1

б)

x 2

2

n x 2

.

x2

2n 1

2n 1

2n 1

n 0

n 0

n 0

Задача 5.4. Найдите сумму степенного ряда

x

1 n .

n

n 1

Решение.

Ряд сходится при x 2;0 . Для нахождения его

суммы проинтегрируем степенной ряд:

'

1 n x

1 n

n x

1 n x 1 n 1 x 1 x

n 1

'

n 1

'

n 1

n

x 1

1

'

x 1

x 1 x 1

x 1

x 1

1

.

x

x

2

n 1

1

x 1

Задача 5.5. Найдите сумму ряда

xn

.

n 1 n 1

Решение.

Ряд сходится при

x 1;1 .

Продифференцируем

степенной ряд.

x

n

1

x

n 1

1

x

n

1

x

n

x

x

x

dx

x

x

dx

1

n 1 n 1

n 1 n

n 10

0

n 1

1

x

x

1

x

1

1

x ln

1

ln

1

x

dx

1

dx

1

x

.

x

1

x

x

1

x

x

x

0

0

1

Задача 5.6. Найдите сумму числового ряда.

.

2n 1

n 0 2n 1 3

Решение. Данный числовой ряд является значением степен-

x2n 1

1

ного ряда

при

x

.

2n 1

3

n 0

x2n 1

x

x

x dx

1

1 x

2n

2n

x

dx

x

ln

.

dx

n 0 2n 1

n 0 0

0 n 0

01 x2

2

1

x

При

x

1

значение предельной функции равно

ln 2

.

3

2