Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

причем в каждом из слагаемых имеется в виду внешняя сторона поверхности. Интеграл по поверхности Σ3 равен нулю, так как по определению векторной трубки на поверхности Σ3 направле-

ние векторного поля А перпендикулярно направлению нормали к этой поверхности, т.е. на Σ3 величина An ≡ 0 . Если теперь на сечении Σ1 направление нормали изменим на противоположное, то равенство (5.7) можно записать в виде:

т.е. поток вектора А через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.

Задача 5.4.

Найти поток векторного поля A = 2xi + (1 – 2y)j + 2zk через замкнутую поверхность S: x2+ z 2= 1 – 2y (y≥0) и z = 0

(рис. 5.2).

Решение. Поток П вычисляется по формуле

параболоида (S1 проектируется на XOZ (y=0) и представляет собой уравнение окружности

x2 + z2 = 1), а S2 – часть плоскости XOY.

91

а n с осью OY образует острый угол , т.е. является внешней нормалью к поверхности S1. D1 – проекция S1 на XOZ.

Так как на поверхности S2 (y = 0, x2+ z 2 ≤ 1) n = - j.

П = П1 + П2 = 1,5π – π = 0,5π.

Уравнение неразрывности

Выведем уравнение движения жидкости, так называемого уравнения неразрывности.

Пусть А - поле скоростей движущейся жидкости. Мы будем предполагать, что в рассматриваемой области жидкость не исчезает и не возникает. Мы будем предполагать эту жидкость

92

сжимаемой, т.е. считать плотность ρ некоторой функцией координат х, у, z и времени t.

Тогда ∂ρ/∂t = - div(ρ А ) – уравнение, связывающее между собой скорость и плотность движущейся жидкости при отсутствии источников и стоков. Оно называется уравнением неразрывности.

Если ввести вектор J = ρ А плотность потока жидкости, то уравнение неразрывности будет

Формула Остроградского на плоскости

Рассмотрим плоское векторное поле А , т.е. поле, компоненты которого в некоторой декартовой системе координат имеют вид

Дивергенция такого поля равна ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Пусть Ω - цилиндр единичной высоты, с основанием G, лежащим в плоскости Х0У, и боковой поверхностью Σ (рис. 5.3).

Запишем для области Ω формулу Остроградского, предва-

рительно заметив, что тройной интеграл от div А численно равен двойному интегралу от этого выражения по плоской области G, поток вектора (4.11) через

где n - нормаль к контуру L, а поток через верхнее и нижнее основания цилиндра Ω равен нулю (последнее вытекает из того, что вектор (5.10) перпендикулярен оси z). Отбросим теперь окончательно третью координату z, будем рассматривать (5.10) как векторное поле, заданное в плоскости ХОУ. Назовем криволинейный интеграл

L

потоком этого векторного поля через контур L. Формула (5.11), так называемая формула Остроградского для плоскости, озна-

чает, что двойной интеграл от дивергенции плоского поля A по

некоторой области G равен потоку вектора A через границу этой области. Формула (5.11) – просто эквивалент формулы Грина. Таким образом, как формула Стокса, так и формула Остроградского в плоском случае превращаются в формулу Грина.

5.4. Циркуляция векторного поля

Пусть A = (Р, Q, R) – некоторое векторное поле и L – гладкая или кусочно-гладкая кривая. Криволинейный интеграл

где Aτ – тангенциальная составляющая поля А на контуре L, которую назовем циркуляцией векторного поля А

вдоль кривой L. Если A =(Р, Q, R) – силовое поле, то его

Решение. Циркуляция вдоль кривой L вычисляется по формуле

Ц= A dl = A dl + A dl + A dl =

Задача 5.6. Найти работу силового поля A = x+ xj - k

вдоль одного витка линии L : x = cos t, y =sin t, z=2t (tє [0,2π]).

95