Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

B некоторой области Ω определено векторное поле, если каждой точке М этой области поставлен в соответствие опреде-

ленный вектор A (М).

Если A (М) – некоторое векторное поле в пространстве, то, взяв в этом пространстве какую-либо декартову систему ко-

ординат, мы можем представить A (М) как совокупность трех скалярных функций – компонент этого вектора. Эти компоненты мы будем обозначать Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z). Далее мы будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка.

Пусть в области Ω задано векторное поле A (M). Кривая L, лежащая в Ω, называется векторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с на-

правлением вектора A в этой же точке.

В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль

играет задача о нахождении векторной линии поля r , проходящей через данную точку М0. Эта задача формулируется так:

требуется найти вектор-функцию r (t), для которой выполнено

r '(t) = λ A , r (t0) = r 0, где r - радиус-вектор начальной точки М0, t0-начальный момент времени, а λ- произвольная числовая величина. Ограниченная некоторой поверхностью Σ часть про-

странства, в котором задано векторное поле A , называется векторной трубкой, если в каждой точке поверхности Σ нормаль к

поверхности Σ ортогональна вектору A в этой же точке. Изучение векторного поля (как и скалярного) существенно облегчается, если это поле обладает свойствами симметрии.

Рассмотрим частные случаи векторных полей: Плоскопа-

раллельное поле. Если для данного векторного поля A можно подобрать декартову систему координат, в которой компоненты

поля A имеют вид Р(х, у), Q(x, у), R(x, у) (т.е. не зависят от z), то

86

поле A называется плоскопараллельным. Если при этом R(x, у)

= 0, то поле A называется плоским. Векторные линии такого поля – плоские кривые (одни и те же в каждой параллельной

Осесимметрическое поле. Векторное поле будет называется осесимметрическим, если существует такая цилиндрическая система координат r, υ, z, что в каждой точке М вектор

A (M) зависит лишь от r и z, но не от υ. Иными словами, такое поле переходит само в себя при повороте вокруг оси z. Если

вектор A (М) зависит только от r, то поле называется цилиндрическим.

Одномерное поле. Векторное поле называется одномерным, если существует такая декартова система координат, в которой компоненты этого поля имеют вид Р(х), 0, 0. Векторные линии такого поля представляют собой, очевидно, совокупность всех прямых, параллельных оси х.

Рассмотрим снова некоторое скалярное поле U(М). Построив в каждой точке М вектор grad U, мы получим векторное поле – поле градиента скалярной величины U. Введем следую-

щее: Векторное поле A (М) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного по-

ля U (М): A = grad U. Само скалярное поле U называется при

этом потенциалом векторного поля A .

Если векторное поле A имеет потенциал, то этот потенци-

ал определяется полем A однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Векторные линии потенци-

ального поля A представляют собой, разумеется, линии гради-

87

гралу Аn dσ, где An – нормальная составляющая вектора

скорости A = ( Р, Q, R). Величина П называется потоком жид-

кости через поверхность Σ. Пусть A произвольное векторное поле и Σ ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл

мы назовем потоком векторного поля A через поверхность.

Пусть A - некоторое векторное поле. Поставим в соответствие каждой пространственной области Ω, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью Σ, величину

и назовем ее потоком вектора А через внешнюю сторону поверхности Σ. Мы получим аддитивную функцию области Ф(Ω). Производная функции Ф (Ω) по объему, т.е. предел (5.4) назы-

вается дивергенцией векторного поля A и обозначается div A .

Если A = (P, Q, R) – векторное поле, определенное в области Ω и такое, что функции Р, Q, R непрерывны в Ω вместе со всеми

своими первыми производными, то div A существует во всех точках этой области (в любой декартовой системе координат) и выражается формулой

Замечание. Равенство ∂Р/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = div A

принимают за определение дивергенции, но это определение менее удобно, так как оно опирается на выбор той или иной системы координат, и необходимо доказывать, что сумма ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z от выбора системы координат не зависит, а независимость от выбора системы координат выражения (5.5) очевидна.

89

Каждому векторному полю A , компоненты которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные, можно

поставить в соответствие скалярную функцию div A . Пользуясь этим понятием, формулу Остроградского можно записать так

т.е. поток вектора A через внешнюю сторону замкнутой по-

верхности Σ равен интегралу от дивергенции поля A , взятому по области, ограниченной поверхностью Σ.

Соленоидальное поле

Векторное поле, дивергенция которого тождественно равна нулю, называется соленоидальным или трубчатым. Для соленоидальных полей выполнен закон сохранения интенсивности векторной трубки.

ний) и возьмем ее отрезок, заключенный между двумя ее сечениями Σ1 и Σ2 (рис. 5.1).

Эти сечения вместе с боковой поверхностью Σ трубки образуют замкнутую поверхность Σ3. Так как поле соленоидально, т.е.

div А ≡ 0, в силу формулы Остроградского

Рис. 5.1

90