Материал: l_15
Стационарное
Стационарное
уравнение
уравнение
Шредингера
Шредингера
Если гамильтониан системы не зависит от
времени
,
стационарное уравнение
Шредингера имеет вид
2
2
2
( )
( )
2
d
U
x
E
x
m dx
ψ
ψ
ψ
+
=
h
Величина
Е
имеет смысл собственного
значения энергии системы
,
а
Ψ
(x)
описывает состояние с заданной энергией
.
Оператор Гамильтона может иметь как
дискретный так и непрерывный спектр
энергий
.
Бесконечная прямоугольная яма
ψ
=
А
sin
kx
+
B
cos
kx
,
где
k
= (2
mE
/
2
)
1/2
h
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞
=
0
)
(
x
U
при
при
0
0,
x L
x
x L
< <
≤
≥
U
= ∞
U
= ∞
0
U
=
0
L
X
ψ
ψ
2
2
2
2
h
mE
dx
d
−
=
А
sin
kL
=
0
kL
=
n
π
,
n
=
1, 2, 3, …
,
2
2
2
2
2
2
2
2
mL
n
m
k
E
n
π
h
h
=
=
n
=
1, 2, 3, …
2 2
2
3
9
2
E
mL
π
=
h
2 2
2
2
4
2
E
mL
π
=
h
2 2
2
1
2
E
mL
π
=
h
3
2
3
sin
x
L
L
π
ψ
=
2
2
2
sin
x
L
L
π
ψ
=
1
2
sin
x
L
L
π
ψ
=
n
Главное
квантовое
число
.
J
,
j
Квантовое
число
полного
углового
момента
.
j
никогда
не
бывает
отрицательным
и
может
быть
целым
или
полуцелым
в
зависимости
от
свойств
рассматриваемой
системы
.
2
2 ( 1)
J
j j
=
+
h
L
,
l
Квантовое
число
орбитального
углового
момента
.
Интерпретация
этого
квантового
числа
такая
же
как
для
j
,
но
l
может
принимать
только
целые
значения
.
0,1,2,...
l
=
,
2
2 ( 1)
L
l l
=
+
h
m
Магнитное
квантовое
число
.
Проекция
углового
момента
L
на
выделенную
ось
(
обычно
ось
z
):
m
h
,
, 1,...0,...,
m l l
l
= −
−
.
Энергия
магнитного
момента
в
магнитном
поле
B
:
m B
γ
−
h
.
S
,
s
Квантовое
число
спинового
углового
момента
.
s
может
принимать
положительные
целые
и
полуцелые
значения
.
S
—
характеристика
частицы
,
определяемая
ее
свойствами
.
2
2 ( 1)
S
s s
=
+
h
P
Пространственная
четность
.
Характеризует
поведение
физической
величины
при
зеркальном
отражении
(
r
r
→ −
r
r
).
( 1)
l
P
= −
.
Квантовые
Квантовые
числа
числа
Различие
Различие
между
между
классической
классической
и
и
квантовой
квантовой
статистиками
статистиками
Две частицы
.
Два различных одночастичных
состояния
Классическая статистика
1.
Обе частицы в первом состоянии
2.
Обе частицы во втором состоянии
3.
Первая частица в первом состоянии
,
вторая
-
во втором
4.
Первая частица во втором состоянии
,
вторая
–
в первом
Статистика Ферми
Одна частица находится в первом состоянии
,
другая
–
во втором
Статистика Бозе
-
Эйнштейна
1.
Обе частицы в первом состоянии
2.
Обе частицы во втором состоянии
3.
Одна из частиц в первом состоянии
,
другая
-
во втором
1
1
ψ
(1)
ψ
(2)
2
2
ψ
(1)
ψ
(2)
1
2
ψ
(1)
ψ
(2)
1
2
2
1
ψ
=
ψ
(1)
ψ
(2) -
ψ
(1)
ψ
(2)
1
1
ψ
(1)
ψ
(2)
2
2
ψ
(1)
ψ
(2)
1
2
2
1
ψ
(1)
ψ
(2) +
ψ
(1)
ψ
(2)
2
1
ψ
(1)
ψ
(2)
Фермионы
Фермионы
.
.
Бозоны
Бозоны
.
.
Принцип
Принцип
Паули
Паули
Частицы
с
целым
(
в
том
числе
с
нулевым
)
спином
подчиняется
статистике
Бозе
-
Эйнштейна
(
γ
-
кванты
,
π
-
мезоны
,
α
-
частицы
и
др
.).
Частицы
с
целым
спином
называются
бозонами
.
Частицы
с
полуцелым
спином
подчиняются
статистике
Ферми
-
Дирака
(
электроны
,
кварки
,
нейтрино
,
протоны
,
нейтроны
,
ядра
с
нечётным
числом
нуклонов
и
т
.
д
.).
Частицы
и
ядра
с
полуцелым
спином
называются
фермионами
.
Для
тождественных
фермионов
справедлив
принцип
Паули
.
Принцип
Паули
:
в
системах
,
подчиняющихся
статистике
Ферми
-
Дирака
и
описываемых
антисимметричными
волновыми
функциями
,
не
должно
существовать
двух
тождественных
частиц
с
полностью
совпадающими
характеристиками
.
Для
системы
тождественных
фермионов
(2,1, ..., )
A
ψ
=
−
(1, 2, ..., )
A
ψ
.
Если
частицы
1
и
2
находятся
в
одинаковом
состоянии
,
тогда
)
,...,
1
,
2
(
A
ψ
и
)
,...,
2
,
1
(
A
ψ
одна
и
та
же
функция
и
ψ
=
−
ψ
, 2
ψ
=
0,
ψ
=
0,
т
.
е
.
такое
состояние
не
существует
.
Принцип
Паули
определяет
строение
электронных
оболочек
атомов
,
заполнение
нуклонных
состояний
в
ядрах
...