Материал: Лекции 2к4с темы 8-13 ТеорВер

Величина  = r_ху называется коэффициентом регрессии Y на Х.

Пример. Выбрать из чисел −3; 0,6; −0,6; 2 возможное значение коэффициента корреляции r_хy, если уравнение регрессии имеет вид: у = 2х − 3.

Знак r_хy совпадает со знаком коэффициента регрессии (коэффициента

при х) и следовательно, r_хy = 0,6.

Пример. Совместное распределение дискретных случайных величин Х, Y задано таблицей, содержащей вероятности p_ij событий

{Х = х_i; Y = у_j}.

Записать уравнение регрессии.

МY = 00,3 + 20,35 + 40,35 = 2,1;

М(Y ²) = 0²0,3 + 2²0,35 + 4²0,35 = 7.

DY = М(Y ²) – (МY) ² = 7 – 2,1² = 2,59;

МX= 20,55 – 20,45 = 0,2;

М(X ²) = 2²0,55 + 2²0,45 = 4.

DX = М(X ²) – (МX) ² = 4 – 0,2² = 3,96;

М(ХY) = 020,1+0(–2)0,2+220,2+2(–2)0,15+420,25+2(–2)0,1 = 1,4.

М((Х – МХ)(Y – МY)) = М(ХY – ХМY – YМХ + МХМY) =

=М(ХY) – МYМХ = = 1,4 – 2,10,2 = 0,98.

Коэффициент корреляции: М((Х–МХ)(Y–МY)) =

Существует умеренная зависимость между случайными величинами Х, Y.

Уравнение линейной регрессии: Y = МY + r_ху (Х – МХ) = 0,24х + 2,05.

Пример. Доказать, что модуль коэффициента корреляции r_xy  равен единице, если случайные величины Х, Y связаны линейной зависимостью.

Y = Х + ; МY = МХ + , DY = ²DХ, _y = _х.

r_xy = М((Х–МХ)(Y–МY)) = М((Х–МХ)(Х +  – МХ – )) =

= М(Х – МХ)² =