Материал: ЛР 1-2. Метрология, стандартизация и технические средства измерения

измерений и как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению. Эта задача является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки – ряда значений принимаемых этой величиной в независимых опытах.

Оценкой (статистической) называют всякую однозначную определённую функцию результатов измерений xi , i = 1,…,n , с помощью которой судят о значении параметра

a измеряемой величины Q .

Оценка Q параметра a называется точечной, если она

выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому должна представлять собой случайную величину.

Получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблюдения состоит из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) x1, x2,…, xn , где n – число наблюдений (объём выборки). Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением.

В качестве оценки истинного значения измеряемой величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений, равное её математическому ожиданию, в случае, когда систематические ошибки исключены

Логическим следствием оценки истинного значения измеряемой величины средним арифметическим ряда

наблюдений является оценка фактических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдения от среднего арифметического:

n −1

Осреднение по (n-1) производиться в случае, когда число измерений ограничено (конечно).

Как видим, дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобно пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

Если взять квадратный корень из дисперсии, то будем иметь дело с точечной оценкой среднеквадратичного

Эта оценка характеризует сходимость результата отдельных наблюдений, т.е. степень их концентрации относительно среднего арифметического.

В качестве погрешности точечной оценки истинного значения измеряемой величины принимается выражение

Полученные оценки (2.8, 2.12) позволяют записать итог измерения в виде

Q = X ; SX = ...; n = ...,

что, позволяет сделать некоторые выводы о точности проведённых измерений.

Результаты наблюдений как случайная величина отличается тем, что могут чаще или реже принимать те или иные значения. Другими словами, вероятности принятия случайной величиной различных значений отличаются.

Вероятностью события (принятия случайной величиной конкретного значения) называется численная мера p(x), принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая степень возможности появления в рассматриваемой ситуации (опыте).

Вероятности, с которыми данная случайная величина принимает различные значения, определяют собой в совокупности закон распределения вероятностей данной случайной величины.

При анализе погрешностей измерений наиболее часто приходиться сталкиваться с нормальным законом распределения. Наиболее важным условием его возникновения является формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсией. Нормальный закон является предельным случаем остальных известных законов распределения.

Помимо точечной оценки истинного значения измеряемой величины возможна оценка параметров с помощью интервалов, которая заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами

которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Пусть в результате n наблюдений измеряемой величины Q получили оценку действительного значения QД , равного

среднему арифметическому X . Последнее является случайной величиной, имеющей среднее квадратическое отклонение SX .

Необходимо найти интервал значений измеряемой величины, которой с заданной вероятностью накрывает истинное значение. Такой интервал называют доверительным, а заданную вероятность доверительной

Доверительный интервал и доверительная вероятность

– параметры характеризующие достоверность результатов измерений. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, определяется конкретно решаемой проблемой. Половину длинны симметричного доверительного интервала называют доверительной границей или предельной погрешностью результатов измерений при доверительной вероятности α . Доверительный интервал и предельную погрешность выражают через СКО.

Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна, а следовательно малодостоверна.

В случае малого числа измерений (2<n<20), когда распределение результатов наблюдений нормально

2

p(t) = 12π e−t2 , но дисперсия генеральной совокупности (n→∞)

неизвестна для нахождения доверительных интервалов пользуются соотношением

вычисляются на основании опытных данных, они представляют собой точечные оценки среднего арифметического (математического ожидания) и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений (1.8, 1.11).

Доказано [7], что вероятность того, что дробь Стъюдента в результате выполняемых наблюдений (измерений) примет некоторые значения в интервале (−tпр ;+tпр ) представляется выражением:

доверительной вероятности, но и от числа измерений.

В приложении 1 приведены значения tпр для некоторых

наиболее часто употребляемых вероятностей P. В приложении 2 приведены вероятности появления погрешностей по абсолютной величине не превышающих δP = tпрSX для tпр = 2;

2,5; 3 и 3,5.

Итог измерений записывается в виде: