Курсовая работа (т): Магнетизм электронного газа

Магнетизм электронного газа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО "СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Термодинамика, статистическая физика, физика конденсированного состояния, физическая кинетика"

на тему:"Магнетизм электронного газа"

Выполнил:

Доманов Андрей Вячеславович

студент 4 курса

группы Ф101-А1

Ставрополь, 2013 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Магнетизм коллективизированных электронов

.1 Статистика электронного газа

.2 Парамагнитизм коллективизированных электронов

.3 Ферромагнетизм в системе коллективизированных электронов

.4 Явление магнитной нестабильности в магнетиках с коллективизированными электронами

.5 Диамагнетизм электронного газа (Диамагнетизм Ландау)

.6 Невырожденные и вырожденные коллективы

1.7 Классическая и квантовые статистики

.8 Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

.9 Снятие вырождения. Невырожденный электронный газ

Глава 2. Парамагнитный газ в магнитном поле

.1 Магнетизм электронного газа

Заключение

Список литературы

Введение

В данной курсовой работе будет подробно рассказано о магнитных свойствах металлов и сплавов, в которых ответственные за магнетизм электроны коллективизированы и их можно рассматривать как электронный газ. Показано, что особенности магнитного поведения таких магнетиков обусловлены квантовыми характеристиками газа коллективизированных электронов.

На протяжении ряда десятилетий повышение функциональной сложности и быстродействия электронных систем достигалось увеличением плотности размещения и уменьшением размеров элементов. При переходе к размерам элементов порядка десятков нанометров возникает новая ситуация, состоящая в том, что квантовые эффекты (размерное квантование, туннелирование, интерференционные эффекты) оказывают главное влияние на физические процессы в наноструктурах и функционирование приборов на их основе.

Разработка наноструктурированных материалов с заданными свойствами, предназначенных для применения в современной электронике, требует анализа свойств, основных физических процессов, присущих объектам нанометровой геометрии и системам пониженной размерности.

1. Магнетизм коллективизированных электронов

Магнитные свойства твердых тел определяются главным образом магнитными моментами содержащихся в них электронов. В твердых телах электроны могут находиться в двух различных состояниях. В непроводящих веществах (диэлектриках) все электроны локализованы на соответствующих атомах. В металлах, сплавах, интерметаллических соединениях и т.д. наряду с локализованными электронами имеются электроны, которые отрываются от атомов (ионов) и коллективизируются. Эти электроны легко двигаются в кристаллической решетке, обусловливая высокую проводимость.

Можно представить металл как решетку из ионов, омываемую газом коллективизированных электронов (электронов проводимости). В простейшей модели свободных электронов (ее называют моделью Друде-Лоренца) можно не учитывать взаимодействия электронов друг с другом, так как в первом приближении силы отталкивания между электронами компенсируются в среднем силами притяжения между электронами и ионами, и рассматривать газ свободных электронов как газ невзаимодействующих частиц.

Магнитные свойства электронного газа обусловлены тем, что электрон обладает собственным магнитным моментом m_e , связанным, как это следует из квантовой механики, собственным спиновым механическим моментом электрона S_e соотношением

Так как спин электрона, g-фактор электрона g_e = 2, то магнитный момент электрона .

Первоначально предпринимались попытки для описания магнитных свойств металлов представлять электронный газ как классический газ магнитных стрелок (магнитных диполей). Однако экспериментальные данные показывают, что такой подход не является верным. Так, например, П. Ланжевен, рассматривая газ невзаимодействующих магнитных диполей, получил для магнитной восприимчивости такого парамагнетика закон Кюри.

Восприимчивость классического парамагнетика меняется с температурой по гиперболическому закону, что хорошо согласуется с экспериментальными данными для многих непроводящих парамагнетиков.

В то же время магнитная восприимчивость большинства металлов и сплавов почти не зависит от температуры. Эти особенности магнитных свойств металлов были объяснены в 1928 году швейцарским ученым В. Паули, который показал, что электронный газ нельзя рассматривать в классическом приближении, а необходимо учитывать, что электроны являются квантовыми объектами и подчиняются квантовой статистике Э. Ферми, отличающейся от классической статистики Л. Больцмана.

1.1 Статистика электронного газа

Квантовый характер электрона, и в частности наличие у него спинового механического момента, приводит к тому, что для электронного газа должен выполняться принцип Паули, согласно которому в квантовой системе, состоящей из частиц с полуцелыми спинами (именно такими являются электроны), в каждом энергетическом квантовом состоянии может находиться не более двух частиц (в нашем случае электронов) с противоположно направленными спинами. Таким образом, в системе из N электронов в металле даже при 0 K, когда тепловые возмущения отсутствуют, заняты N /2 низших энергетических уровней от наинизшего уровня с нулевой энергией до уровня с энергией Ферми (этот уровень носит название уровня Ферми), на каждом из которых находятся два электрона с противоположными спинами. Этим квантовый газ коренным образом отличается от классического газа, в котором при T = 0 K все частицы находятся в наинизшем энергетическом состоянии с нулевой энергией.

Для того чтобы определить распределение электронов по энергиям, воспользуемся соотношением для связи кинетической энергии электрона с его скоростью u и импульсом p, которые имеют одинаковый вид в классической и квантовой механике.

К разным уровням энергии электронов необходимо отнести те уровни, энергетическое расстояние между которыми удовлетворяет квантовомеханическому принципу неопределенности, согласно которому состояние квантовых частиц можно различить, только если произведение разности их координат D_x, D_y, D_z на их импульсы Dp_x , Dp_y , Dp_z не меньше постоянной Планка h.

Так как мы интересуемся только импульсами электронов, а не их положением в объеме металла V, то для плотности квантовых энергетических состояний n (числа состояний, приходящихся на единичный интервал энергии) получится соотношение:

При повышении температуры уровень Ферми размывается, так как из-за термических возбуждений заполняются электронные состояния, лежащие выше уровня Ферми.

Плотность электронов в металле ≈ 1022-1023 см- 3, откуда, учитывая, что масса электрона m_e = 9,1091* 10^{- 28} г, а постоянная Планка h = 6,62056 * 10^{- 27} эрг * с, находим E_F ≈ 10^-13-10^-14 эрг. Если сравнить эту величину с тепловой энергией E_т = k_БT, получаем, что энергия Ферми соответствует температуре (ее называют температурой Ферми T_F) 10⁴-10⁵ K. При температуре порядка T_F возникает значительное количество термически возбужденных электронов, которые описываются классической статистикой Больцмана.

Таким образом, из приведенных оценок видно, что квантовый характер поведения электронного газа сохраняется до весьма высоких температур. Отметим, что рассмотренная выше картина остается принципиально такой же, если учесть взаимодействие коллективизированных электронов с ионным остовом кристаллической решетки, то есть отказаться от приближения свободных электронов. Более сложной становится только зависимость плотности электронных состояний от энергии.

.2 Парамагнетизм коллективизированных электронов

До сих пор анализировались свойства электронного газа в нулевом магнитном поле. Рассмотрим поведение коллективизированных электронов при H≠0. При этом необходимо учитывать, что на каждом энергетическом уровне находятся два электрона с противоположно ориентированными спинами: по полю (отмечается знаком +) и против поля (отмечается знаком-). В поле энергии этих электронов различаются из-за вклада энергии взаимодействия магнитного момента электрона с магнитным полем (зеемановская энергия)

Таким образом, энергетическая зона в поле разбивается на две подзоны с разной энергией. Энергия электронов со спином по полю ( + ) уменьшается, а энергия электронов со спином против поля ( - ) возрастает и часть электронов из энергетически невыгодной подзоны ( - ) перейдет выгодную ( + ). Таким образом, в магнитном поле число электронов N+ со спином по полю больше, чем число электронов N- со спином против поля, и в поле возникает магнитный момент M_p, определяемый разностью числа электронов в различных подзонах:

В слабых полях расщепление подзон невелико, и можно приближенно считать, что изменение числа электронов в подзонах равно .

Выше отмечалось, что магнитная восприимчивость металлов в первом приближении не зависит от температуры. Физически этот результат обусловлен тем, что магнитный момент электронного газа создают только высокоэнергетические электроны, лежащие вблизи уровня Ферми, а так как энергия Ферми высока (температура Ферми T_F равна 10⁴-10⁵ ), термические возбуждения слабо влияют на поведение системы электронов проводимости.

До сих пор рассматривали коллективизированные электроны как газ свободных электронов и не учитывали взаимодействие между ними. Однако электроны являются заряженными частицами, и между ними существует электростатическое взаимодействие. В квантовой механике показывается, что в это взаимодействие наряду с классической кулоновской энергией дает вклад так называемая обменная энергия, зависящая от взаимной ориентации спинов электронов друг относительно друга.

Если коэффициент обменного взаимодействия I положителен, то, обменное взаимодействие стремится ориентировать спины (а следовательно, и магнитные моменты) электронов параллельно друг другу. В результате обменное взаимодействие ведет к усилению парамагнетизма. Как показывают расчеты, магнитная восприимчивость обменно усиленного парамагнетика возрастает по сравнению с восприимчивостью свободного электронного газа.

1.3 Ферромагнетизм в системе коллективизированных электронов

Выше указывалось, что положительное обменное взаимодействие приводит к возрастанию магнитной восприимчивости системы коллективизированных электронов. Для магнитной восприимчивости обменно усиленного парамагнетика с коллективизированными электронами следует, что, если обменное взаимодействие достаточно велико, восприимчивость стремится к бесконечности. Это означает, что обменное взаимодействие приводит к самопроизвольному (в нулевом магнитном поле) ферромагнитному упорядочению в системе коллективизированных электронов.

Обменное взаимодействие приводит к тому, что при отсутствии поля энергия подзон со спинами + и - становится различной, часть электронов переходит из одной подзоны в другую и возникает магнитный момент, равный разности моментов электронов в подзонах. Ситуация в этом случае полностью аналогична рассмотренному выше поведению парамагнетика в магнитном поле , если учесть, что в ферромагнетике роль внешнего поля выполняет эффективное поле обменного взаимодействия (молекулярное поле).

Условия возникновения ферромагнетизма в системе коллективизированных электронов носит название критерия Стонера по имени ученого, впервые его выведшего.

Таким образом, ферромагнетизм в системе коллективизированных электронов является пороговым явлением - он возникает только при выполнении критерия Стонера , то есть при сравнительно больших величинах параметра обменного взаимодействия I и плотности состояний на уровне Ферми n(E_F). Физическая причина такой ситуации заключается в том, что при возникновении ферромагнитного упорядочения повышается кинетическая энергия электронной системы, так как часть электронов, переходя из одной энергетической подзоны в другую, занимает более высокие энергетические уровни. Поэтому ферромагнетизм возникнет только в том случае, если обменная энергия достаточно высока, чтобы скомпенсировать это возрастание кинетической энергии.

Различаются слабые и сильные ферромагнетики с коллективизированными электронами. Слабыми называются ферромагнетики, в которых спонтанное расщепление подзон в эффективном молекулярном поле сравнительно невелико (меньше, чем энергетическая ширина зоны) и некоторое количество электронов остается в подзоне со спином ( - ) . В таких ферромагнетиках в поле магнитный момент возрастает, так как возрастает расщепление подзон и часть оставшихся электронов из подзоны ( - ) переходит в подзону ( + ).

В сильных ферромагнетиках расщепление подзон больше и все электроны в нулевом внешнем поле находятся в подзоне ( + ) . В этом случае внешнее поле не влияет на число электронов в подзонах и магнитная восприимчивость такого ферромагнетика равна нулю.

Как уже отмечалось, для возникновения ферромагнетизма в системе коллективизированных электронов необходимо, чтобы плотность энергетических состояний на уровне Ферми n(E_F) была достаточно велика. Обычно это осуществляется в металлических соединениях переходных 3d-элементов (железо, никель, кобальт, марганец и т.д.). В атомах этих металлов имеется не полностью заполненная электронная 3d-оболочка. В металлах 3d-электроны наряду с внешними валентными электронами коллективизируются, так как перекрываются волновые функции 3d-электронов соседних атомов и образуется система коллективизированных электронов, состоящая из 3d-электронов и s-электронов наружных электронных слоев. Так как плотность энергетических состояний 3d-электронов на уровне Ферми достаточно высока, критерий Стонера выполняется и возникает ферромагнитное упорядочение. Широко известные ферромагнетики железо, никель, кобальт являются ферромагнетиками с коллективизированными электронами. Такую же природу имеет ферромагнитное упорядочение в сплавах и интерметаллидах 3d-переходных металлов.

Интересно отметить, что в отличие от ферромагнетизма 3d-металлов ферромагнитное упорядочение редкоземельных металлов, сплавов и соединений описывается в модели локализованных магнитных моментов. Это обусловлено тем, что в атомах редких земель не полностью заполненная 4f-оболочка находится ближе к ядру атома, поэтому в металлах и сплавах волновые функции 4f-электронов не перекрываются и они остаются локализованными на атомах.

Описанная выше простая модель ферромагнетизма коллективизированных электронов (ее называют моделью Стонера), качественно правильно отражая многие магнитные свойства 3d-металлов и сплавов, сталкивается со значительными трудностями при количественном сопоставлении с экспериментальными данными. Например, известно, что разрушение ферромагнетизма должно происходить при температуре Кюри T_C , когда энергия участвующих в ферромагнетизме электронов сравнима с энергией теплового движения. Для ферромагнетиков с коллективизированными электронами ферромагнетизм обусловлен высокоэнергетическими электронами с энергией порядка энергии Ферми E_F , то есть

Кроме того, в модели Стонера магнитная восприимчивость в парамагнитной области при T > T_C не зависит от температуры, как в обычных парамагнетиках с коллективизированными электронами, в то время как во многих реальных 3d-ферромагнетиках она меняется с температурой по закону Кюри-Вейсса, характерному для ферромагнетиков с локализованными моментами