Курсовая работа (т): Магнетизм электронного газа

Все эти экспериментальные факты удается объяснить в усовершенствованной модели ферромагнитного упорядочения системы коллективизированных электронов, наиболее последовательно развитой японским ученым Т. Мория. В отличие от модели Стонера, в которой считается, что электронная система является однородной, в усовершенствованной модели учитываются неоднородности намагниченности, меняющиеся в пространстве и времени (спиновые флуктуации). Эти флуктуации возникают из-за термических возбуждений спиновой системы, и их амплитуда растет при повышении температуры. Расчеты показывают, что учет спиновых флуктуаций позволяет значительно лучше описать экспериментальные данные для ферромагнетиков с коллективизированными электронами.

.4 Явление магнитной нестабильности в магнетиках с коллективизированными электронами

В последние годы широко проводятся экспериментальные и теоретические исследования явления магнитной нестабильности в магнетиках с коллективизированными электронами. Это явление обусловлено пороговым характером ферромагнетизма системы коллективизированных электронов, согласно которому ферромагнитное упорядочение возникает только при выполнении критерия Стонера .

При определенных характеристиках зонной структуры, если на зависимости плотности состояний от энергии n(E) вблизи уровня Ферми E_F имеются особенности, возможна ситуация, когда плотность состояния на уровне Ферми E_F возрастает при увеличении внешнего магнитного поля. Тогда если в нулевом поле система коллективизированных электронов находилась в парамагнитном состоянии (критерий Стонера не выполняется), то в определенном поле H_м , в котором критерий Стонера начинает выполняться, произойдет скачкообразный (метамагнитный) переход системы коллективизированных электронов из парамагнитного в ферромагнитное состояние. Такое явление носит название метамагнетизма коллективизированных электронов и наблюдается, например, в интерметаллических соединениях .

Магнитная нестабильность системы коллективизированных электронов проявляется и в редкоземельных интерметаллических соединениях RCO₂ . В этих интерметаллидах магнитная подсистема коллективизированных d-электронов находится в обменном поле, действующем со стороны редкоземельной подсистемы локализованных 4f-электронов. При низких температурах это обменное поле превышает метамагнитное поле H_м , поэтому d-электроны находятся в ферромагнитном состоянии. При повышении температуры величина обменного поля уменьшается, и при температуре T_C , когда обменное поле становится меньше H_м , система коллективизированных электронов скачком переходит в парамагнитное состояние, то есть в этих интерметаллидах переход в парамагнитное состояние является переходом первого рода.

Магнитная нестабильность может привести также к тому, что система коллективизированных электронов, парамагнитная при низких температурах, перейдет в ферромагнитное состояние при повышении температуры. Это возможно, если термические возбуждения приводят к возрастанию плотности электронных состояний на уровне Ферми и выполнению критерия Стонера. К сожалению, это интересное явление (его называют термически индуцированным ферромагнетизмом) до сих пор экспериментально не наблюдалось.

1.5 Диамагнетизм электронного газа (Диамагнетизм Ландау)

Диамагнетизм характеризуется отрицательной магнитной восприимчивостью (χ < 0) и обусловлен орбитальным движением электронов. На первый взгляд, поскольку в электронном газе устойчивые орбиты у электронов отсутствуют, диамагнетизм не должен наблюдаться в системе коллективизированных электронов. Однако выдающийся российский ученый Л.Д. Ландау в 1930 году показал, что газ коллективизированных электронов также обладает отрицательной диамагнитной восприимчивостью. Это явление носит чисто квантовый характер и возникает из-за того, что в магнитном поле квантуется движение электрона перпендикулярно полю.

На электрон, движущийся в магнитном поле со скоростью , действует сила Лоренца , где e - заряд электрона, c - скорость света. Эта сила приводит к тому, что электрон наряду с поступательным движением совершает вращательное движение в плоскости, перпендикулярной полю, с частотой (она называется циклотронной)

Движение электрона по кругу можно представить как сумму двух колебательных движений. В квантовой системе энергия колебательного движения квантуется.

Следовательно, из-за вращательного движения электронов в поле квазинепрерывный спектр электронов проводимости разбивается на отдельные дискретные уровни, называемые уровнями Ландау. Наличие уровней Ландау приводит к тому, что в системе коллективизированных электронов возникает отрицательная диамагнитная восприимчивость. В приближении свободных электронов диамагнитная восприимчивость, то есть составляет одну треть от парамагнитной восприимчивости . Учет взаимодействия электронов с решеткой приводит к нарушению этого соотношения. Полная восприимчивость металла складывается из парамагнитной и диамагнитной восприимчивости коллективизированных электронов, а также из диамагнитной восприимчивости ионного остова. В большинстве непереходных металлов, в которых заполнены все внутренние оболочки, парамагнитная восприимчивость электронного газа превышает сумму диамагнитных восприимчивостей электронного газа и ионного остова, и эти металлы являются парамагнетиками, восприимчивость которых слабо зависит от температуры. Однако имеются металлы, в которых сумма диамагнитных восприимчивостей больше, чем парамагнитная восприимчивость электронного газа. Эти металлы являются диамагнетиками. К ним относятся медь, серебро, золото, висмут, кадмий, ртуть и др.

.6. Невырожденные и вырожденные коллективы

Рассмотрим вопрос о возможном влиянии специфики частиц на свойства коллектива, как целого.

Для проявления специфики необходимо, чтобы микрочастицы "встречались" друг с другом достаточно часто. Здесь под "встречей" понимается попадание двух частиц в одно и то же состояние или по крайней мере, в достаточно близкие состояния.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная микрочастица. Мерой частоты "встреч" может служить отношение N/G. Микрочастицы будут встречаться редко, если выполняется следующее условие:

 (1)

В этом случае число различных вакантных состояний много больше числа микрочастиц: G >> N. В таких условиях специфика фермионов и бозонов проявиться, очевидно, не может, поскольку в распоряжении каждой микрочастицы имеется множество различных свободных состояний и вопрос о заселении одного и того же состояния несколькими частицами практически не возникает. Поэтому свойства коллектива, как целого, не будут зависеть от специфики микрочастиц, из которых он состоит. Подобные коллективы называются невырожденными, а условие (1) называют условием невырожденности.

Если же число состояний G оказывается одного порядка с числом частиц N, т. е. если выполняется условие:

/G>>1  (2)

то вопрос о том, как заселять состояния, поодиночке или коллективно весьма актуальным. В этом случае специфика микрочастицы проявляется в полной мере, оказывая значительное влияние на свойства коллектива как целого. Такие коллективы называются вырожденными

Вырожденные коллективы могут образовываться, очевидно, только из квантовомеханических объектов, так как только у таких объектов параметры состояния изменяются дискретно, вследствие чего число G возможных состояний может быть конечным. У классических же объектов, у которых параметры состояния меняются непрерывно число состоянии G всегда бесконечно большое, вследствие чего такие объекты могут образовывать только невырожденные коллективы.

Следует подчеркнуть, что между невырожденностью коллектива и классичностью частиц нет однозначного соответствия. Не вырожденные коллективы могут образовывать и квантовомеханические объекты, если выполняется условие (1).

1.7 Классическая и квантовые статистики

Физическая статистика, изучающая свойства невырожденных коллективов, называется классической статистикой. Ее связывают с именами Максвелла и Больцмана(статистика Максвелла-Больцмана).

Физическая статистика, изучающая свойства вырожденных коллективов, называется квантовой статистикой. Влияние специфики частиц на свойства вырожденного коллектива обусловливает существенное различие между вырожденным коллективом фермионов и вырожденным коллективом бозонов. В связи с этим различают две квантовые статистики.

Квантовую статистику фермионов связывают с именами Э. Ферми и А. Дирака (отсюда, кстати говоря, и происходит термин "фермион"). Ее называют статистикой Ферми-Дирака.

Квантовую статистику бозонов связывают с именами Бозе и A._;j Эйнштейна (отсюда термин "бозон"). Ее называют статистикой Бозе-Эйнштейна.

Из предыдущего следует, в квантовых статистиках фигурируют только квантовые объекты, тогда как в классической статистике могут фигурировать и классические, и квантовомеханичеекие объекты. Если уменьшать число частиц в коллективе или увеличивать число возможных состояний микрочастицы, то вырожденный коллектив превращается в конце концов в невырожденный. В этом случае независимо oт своей фермионной или бозонной природы коллектив будет описываться классической статистикой Максвелла - Больцмана.

парамагнетизм коллективизированный электрон статистика

1.8 Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, в следствии чего меняется характер распределения их по состояниям. Однако в интервале температур, в котором энергия kT теплового движения остается значительно ниже энергии Ферми E = Ef, тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой полосы kT, непосредственно расположенной у уровня Ферми. Электроны более глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так как энергия kT теплового движения недостаточна для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми).

В результате теплового возбуждения часть электронов, имевших энергию, меньшую Ef, переходит на уровни с энергией, большей и устанавливается новое их распределение по состояниям. Повышение температуры вызывает размытие распределения на глубину kT и появление "хвоста" распределения , располагающегося правее Ef. Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. Сам хвост описывается уже максвелловским распределением.

Произведем приближенную оценку числа ∆N. В интервале энергий от 0 до Е_F располагается N/2 энергетических уровней. Где N - число свободных электронов в металле. Упрощая задачу, можно считать, что эти уровни отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, равном

Термическому возбуждению подвигаются электроны полосы kT расположенной ниже Е_F.

В этой полосе размещается уровней, на которых располагается  электронов. Полагая, что за уровень Ферми переходит не более половины этих электронов, получим следующее приближенное соотношение для ∆N:

При комнатной темпе  поэтому ∆N/N < 1%; при Т = 1000, К∆N/N >> 1 - 2%.

Таким образом, во всем диапазоне температур, в котором электронный газ в металле является вырожденным, его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле. Тепловому возбуждению подвергается лишь незначительная доля электронов, располагающихся у уровня Ферми. При комнатной температуре эта доля составляет меньше 1% от общего числа электронов проводимости. Так как при температурах, при которых возможно существование конденсированного состояния металла, электронный газ в нем является всегда вырожденным, то рассмотренные закономерности распределения электронов в металлах остаются справедливыми практически во всех случаях.

Рассмотрим зависимость химического потенциала вырожденного газа от температуры.

Интегрируя полную функцию распределения Ферми - Дирака ƒф(E) g(E) dE по энергии, получим полное число свободных электронов в металле N.

Этот интеграл в общем случае не берется. Так как вплоть до точки плавления металла kT остается значительно меньше Ef, то уменьшение µс повышением Т оказывается настолько малым, что во многих случаях им можно пренебречь и уровень Ферми при любой температуре считать совпадающим с Ef.

Можно вычислить также среднюю энергию электронов Е вырожденного газа, поделив полную его энергию  на число электронов N.

1.9 Снятие вырождения. Невырожденный электронный газ

При выполнении критерия невырожденности (1) любой газ, в том числе и электронный, должен стать невырожденным. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Согласно (1), газ является невырожденным, если средняя плотность заполнения состояний частицами значительно меньше единицы. Так как функция распределения ƒ(Е) как раз и выражает среднюю плотность заполнения состояний частицами, то условие невырожденности (1) можно записать так: ƒ(Е) " 1 Функция Ферми-Дирака будет существенно меньше единицы если слагаемое  , стоящее в ее знаменателе, окажется не больше единицы:

  (5)

Это неравенство должно выполняться для всех состояний, в том числе, и для состояния с Е = 0:

(6)

Из (6) следует, что для невырожденного электронного газа, удовлетворяющего критерию (5), -µ должна быть величиной положительной и существенно большей kT:

µ > kT  (7)

Сам же химический потенциал µ должен быть величиной отрицательной и по абсолютному значению большей kT.

При выполнении условия (5) единицей в знаменателе Ферми - Дирака можно пренебречь и получить следующее выражение для функции распределения невырожденного электронного газа:

  (8)

Сравнение (8) с распределением Максвелла-Больцмана показывает, что невырожденный электронный газ описывается распределением Максвелла - Больцмана, как и любой другой невырожденный газ.

В металлах, где концентрация свободных электронов очень высока ("10²⁸ м^-3), электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии и описывается распределением Ферми-Дирака.

С невырожденным электронным газом приходится иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках являющихся основой всей современной полупроводниковой электроники. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в металлах и колеблется в зависимости от содержания активных примесей от 10¹⁶-10¹⁹ до 10²³ -10²⁴ м^-3 .