Курсовая работа (т): Магнетизм электронного газа

При таких концентрациях выполняется условие (1) и электронный газ оказывается невырожденным. В заключение, чтобы показать, насколько сильно в своем поведении идеальный невырожденный газ, подчиняющийся статистике Максвелла - Больцмана, и вырожденный электронный газ,

Время, как для невырожденного идеального газа средняя энергия Е, средняя квадратичная скорость движения v_кв и давление р являются функциями температуры и при абсолютном нуле обращаются в нуль, для вырожденного электронного газа Е,vкв и р уже при абсолютном нуле имеют огромную величину и практически не зависят (точнее очень слабо зависят) от температуры .Это как раз и указывает на то, что у вырожденного электронного газа Е, v²_кв и р имеют в подавляющей своей части нетермическую природу, на что обращалось внимание ранее; вклад же теплового движения электронов в эти величины незначителен.

2. Парамагнитный газ в магнитном поле

Рассмотрим газ, состоящий из молекул, имеющих постоянный магнитный момент μ и находящийся в однородном постоянном магнитном поле с напряженностью H.

Потенциальная энергия такой молекулы определяется формулой:

 (2.1)

где - угол между направлениями магнитного момента , и поля . Поскольку потенциальная энергия зависит только от направления , то распределение молекул в пространстве однородно.

Рассмотрим сначала классические частицы, для которых направление магнитного момента в пространстве может изменяться непрерывно, так что возможны любые его ориентации. В этом случае распределение по направлениям дается формулой Больцмана:

где dΩ = sinθ dθ dφ - элемент телесного угла. Интегрируя это выражение по φ, получим распределение по θ:

 (2.2)

Интеграл, стоящий в знаменателе равен

Найдем среднее значение проекции магнитного момента на направление поля. Очевидно, средние значения проекции момента на направления, перпендикулярные полю, равны нулю. Имеем

Подставляя значение , находим

Вводя обозначение , получим для намагничения

результат

где  представляет собой максимальное значение намагничения, достигаемое при или, функция L(x) называется функцией Ланжевена и характеризует степень ориентации элементарных магнитных моментов при заданном поле и температуре. Параметр х = μH/T=M₀H/N_AT по порядку величины представляет собой отношение средней магнитной энергии к средней энергии теплового движения.

Рассмотрим детальное поведение функции L(x) в двух предельных случаях.

Сильные поля и низкие температуры х = μН/Т >> 1. В этом случае

,(2.5)

и мы имеем явление насыщения - намагничение при сильных полях и низких температурах становится максимальным.

Слабые поля и высокие температуры x= μН/Т << 1. В этом случае, разлагая экспоненты  по степеням х до членов , получим

 (2.6)

Степень ориентации магнитных диполей мала при слабых полях и высоких температурах. Мы видим, что параметр L'(0) = ¹/₃.

Формула (2.4) является чисто классической и не учитывает квантования проекций магнитного момента. Как доказывается в квантовой механике, проекция магнитного момента электрона на направление магнитного поля может принимать лишь дискретные значения. Например, для свободной частицы со спином j она может быть равной  где μ - максимальное значение проекции магнитного момента, равное

μ_B = eh/4πmc - магнетон Бора, а j - спиновое квантовое число, которое может быть как целым так и полуцелым. Для вычисления  мы получаем теперь выражение

Сумма геометрической прогрессии под знаком логарифма равна

и для намагничения получим выражение

(2.8)

где квантовые функции Ланжевена L_j (μH/T) (они называются также функциями Бриллюэна) определяются формулой

(2.9)

и существеннозависят от j. Заметим, однако, чтовсе квантовые

функции  (сильные поля и низкие температуры), что приводит к эффекту насыщения - предельному намагничению. Действительно, при x→∞ cth ax→1 и согласно формуле (2.9) L_j(x)→1. В противоположном предельном случае х<<1 (слабые поля и высокие температуры) имеем согласно разложению (2.6)

.(2.10)

и намагничивание является слабым.

Угловой коэффициент кривой L_j(x) в начале координат равен L'(0) = (j+1)/3j и существенно зависит от j. В частности, при j =1/2v например, электронный газ) имеем

Нетрудно видеть, что классическая функция Ланжевена L(x) представляет собой предел функции L_j(x) при j→∞

2.1 Магнетизм электронного газа

Рассмотрим электронный газ, находящийся в магнитном поле с напряженностью H. Наличие поля вызывает два эффекта. Один из них -это ориентация магнитных спиновых моментов вдоль направления поля. Из формулы (2.11) при слабых полях и высоких температурах имеем

Электронный газ обладает, однако, кроме того, диамагнитным моментом, направленным в сторону, противоположную внешнему полю. Заметим прежде всего, что диамагнитный эффект имеет чисто квантовое происхождение и в классическом электронном газе он отсутствует. Это следует из того, что сила Лоренца, действующая на частицу в магнитном поле перпендикулярна направлению скорости и, следовательно, не совершает над частицей работу. Поэтому его энергия, если не учитывать потенциальную энергию спина  приводящую к парамагнитному эффекту, не зависит от поля и магнитный момент  Однако, как обнаружил в 1930 г. Л. Д. Ландау, в квантовомеханической теории магнетизма дело обстоит иначе. Дело в том, что в постоянном магнитном поле заряд двигается по винтовым линиям, ось которых совпадает с направлением поля. По этой причине движение электрона в направлении поля инфинитно и, следовательно, неквантовано. Движение же электрона в плоскости, перпендикулярной полю, происходит по окружности с лармо- ровской частотой

и,

являясь финитным, оказывается квантованным.

Как показал Л. Д. Ландау, уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле, направленном по оси Oz, определяются формулой

(2.1.1)

где - квантованные уровни "поперечной" части кинетической энергии, а  - ее неквантованная "продольная" часть. Благодаря квантованию "поперечной" энергии кинетическая энергия электрона оказывается зависящей от напряженности магнитного поля. Уровни энергии (59.1), благодаря наличию неквантованной части , образуют сплошной энергетический спектр, а число состояний с фиксированным п и продольным импульсом в интервале () равно

Запишем выражение для Ω -потенциала электронного газа следующим образом:

(2.1.2)

где символом (q) обозначена совокупность аргументов р_z, п, s (спин), от которых зависит энергия, и символ ∑_(q) означает суммирование по п и по двум направлениям спина и интегрирование по р_z:

Для дифференциала имеем согласно формуле

Выражение

,

с помощью которого число частиц, намагничение М и магнитная восприимчивость χ= М/Н могут быть найдены по формулам

Заметим, что, пользуясь формулой (2.1.1) для энергиии, мы рассматриваем совместно и диамагнитный (первый член в (2.1.1)) и парамагнитный (±|μ_BH) эффекты. В выражении (2.1.2) трудно непосредственно осуществить предельный переход Т→0, так как подынтегральное выражение становится в этом пределе разрывным.

Для наших целей важно преобразовать сумму (2.1.2) в некоторый контурный интеграл в плоскости вспомогательного комплексного аргумента λ. Приведем выражение (2.1.2) к виду

преобразовав получим

 (2.1.3)

В этой формуле уже легко совершить предельный переход T→0; интегрируя по ξ получаем

Изменив в (2.1.3) порядок интегрирования и учитывая (59.4) с заменой , находим

Отсюда следует важное свойство Ω-потенциала: зависимость от μ при температуре T однозначно определяется зависимостью Ω от μ при T = 0. Следовательно, для термодинамического описания электронного газа достаточно знать Ω (μ, H, T) при T = 0. Имеем согласно формуле (2.1.4)

Проведем в этом выражении сначала суммирование по п и по двум направлениям спина. Легко заметить, что разность μ-ε для значения квантового числа п- 1 и спина, направленного по полю, будет равна такой же разности для значения п и спина, направленного против поля (для всех значений п):

Благодаря этому все слагаемые суммы по п удваиваются, кроме члена суммы с n = 0 и спином, направленным против поля, и мы получим

причем, благодаря опущенному в этом выражении множителю , интегрирование в каждом члене суммы ведется по промежутку между двумя нулями подынтегральной функции от  до . Для значений μ в интервале , где l - целое число, выполняя интегрирование, получаем

(2.1.5)

где через  обозначен химический потенциал электронного газа в отсутствие магнитного поля и при температуре Т = 0:

Для наших целей удобнее переписать выражение (2.1.5) в виде