Курсовая работа (т): Магнетизм электронного газа

(2.1.6)

Введем следующие обозначения:

(2.1.7)

Дифференцируя выражение для функции R_a (x), получим

где δ(x)- дельта-функция Дирака. Отсюда видно, что при любых а > 1 имеет место соотношение , но при а  1 производная функции R_a(x) обращается в бесконечность при х = 2l (l - целое число), а сама R_a (x) испытывает в этих точках скачки - конечные при а = 1 и бесконечные при .

Подставляя (2.1.7) в формулу (2.1.6), получим

откуда находим

(2.1.8)

 (2.1.9)

Из формулы (2.1.8) следует

 (2.1.10)

и, используя определение (2.1.7), находим

(2.1.11)

Наконец, подставляя значение (2.1.10) в (2.1.9), получаем

(2.1.12)

Где

Формулы (2.1.10) - (2.1.12) дают в параметрическом виде зависимость  и  от  (рис. 1),

Рисунок 1- Зависимость  и  от   в параметрическом виде

т. е. от напряженности магнитного поля при температуре абсолютного нуля. Из этих формул видно, что поведение величин  и  определяется свойствами функций  и  . Так как производная функции , равная , имеет разрывы (бесконечные) в точках х=2l, то на графике рис. 1 наблюдаются характерные пики. Мы видим, что как , так и  являются осциллирующими функциями от .

С уменьшением напряженности поля H колебания химического потенциала  быстро затухают и при . химический потенциал μ практически достигает своего предельного значения .

Восприимчивость , испытывает более значительные колебания. Как видно из рис.1, в некоторых диапазонах значений H восприимчивость становится отрицательной, что свидетельствует о преобладании диамагнитного эффекта над парамагнитным. Критические поля Н = H_l при которых функции ,  испытывают разрывы производных, определяются из условия

Мы можем теперь установить связь между периодом осцилляции восприимчивости ∆H_l и напряженностью поля H'_l, при котором эта осцилляция наблюдается. Запишем формулы:

Беря разность этих выражений и учитывая относительно слабую зависимость от H' (особенно при больших l), получим

Или

откуда окончательно находим правило

которое хорошо согласуется с данными эксперимента.

Рассмотрим два предельных случая.

Случай сильных полей:

Как видно из графика на рис. 1 в области 0<x<2, что соответствует интервалу 0 <<[R_3/2(2)]^2/3=4,5^1/3, исчезают характерные для слабых полей осцилляции химического потенциала и восприимчивости и , и  монотонно убывают с ростом поля. Эта область не представляет практического интереса и едва ли достижима.

Формула (2.1.7) при 0<х<2 дает

и, используя (2.1.10)-(2.1.12), находим

Исключая из этих формул параметр х, получаем

Случай слабых полей: x>>1. Выведем асимптотические выражения для функций R_a(x) при больших значениях аргумента х. По формуле (2.1.7) имеем

Воспользуемся для оценки этого выражения формулой суммирования Эйлера

Имеем согласно этой формуле

откуда получим для больших значений х

Вычисляем по формулам (2.1.11) и (2.1.12)

Исключая х, получаем

В области низких температур  зависимость и  от магнитного поля имеет качественно тот же характер, что и при абсолютном нуле, только пики при значениях параметра x=2l c повышением температуры исчезают и заменяются плавными переходами с шириной порядка. При повышении температуры ширина этих переходных областей растет, кривые сглаживаются и характерный для сильных полей осциллирующий характер кривых смягчается.

Рассмотрим предельный случай высоких температур Т>>μ₀. В этом случае, как мы убедимся ниже, μ/T является большим по абсолютной величине отрицательным числом и. Удобно поэтому, не пользуясь общей интегральной формулой, непосредственно вычислить по формуле (2.1.2). Имеем, подставляя  из (2.1.1) и переходя к интегрированию,

Выполняя интегрирование

и суммирование

Отсюда получим

и, логарифмируя, находим химический потенциал

Последняя формулапоказывает, что действительно при T>>μ₀ и любых H является большим отрицательнымчислом.

Аналогично имеем

Исключая μ и вводя максимальное намагничивание единицы объема

,

получим

Последняя формула выведена для высоких температур с учетом как диамагнитного, так и парамагнитного эффекта. В то время как выражение (2.11) приводит к насыщению в сильных полях (кривая 1 рис. 2) (M→M₀ при H→∞), выражение (2.1.14) приводит к монотонному убыванию намагничивания М в сильных полях (кривая 2 рис. 2). Естественно, всякие следы осцилляций для величин и  при высоких температурах полностью стираются.

Рисунок 2 -Зависимость относительной намагниченности от  .

Рассмотрим в заключение этого параграфа простую физически наглядную интерпретацию эффекта де Гааза -ван Альфена. Мы будем при этом рассматривать более общую анизотропную модель металла и убедимся в том, что экспериментальное изучение осцилляции магнитной восприимчивости позволяет получить важные сведения о форме анизотропной поверхности Ферми.

Уровни энергии финитного движения электронов в магнитном поле в квазиклассическом приближении, которое для большинства металлов пригодно при любых достижимых полях, определяются правилом квантования Зоммерфельда - Бора

(2.1.15)

где  - компонента обобщенного импульса в плоскости XOY, перпендикулярная Н. Вычислим интеграл в правой части, пользуясь нормировкой вектор-потенциала

откуда

Так как координата х является циклической, то Р_х = const и  Отсюда находим

.

Интеграл по замкнутому контуру от первого слагаемого равен нулю в силу Р_х =const, и мы получаем

 - площадь сечения поверхности  = const плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля. Усkовие квантования энергии (2.1.15) принимает при этом вид

Период осцилляций восприимчивости, в зависимости от величины H^-1, определяется, очевидно, условием ∆п = 1 (при этом заканчивается заполнение новой орбитали). Отсюда находим

Осцилляционный характер зависимости восприимчивости от H смазывается наличием функциональной зависимости S от р_z . Ясно, что основной вклад в осцилляционные эффекты вносят те значения р_z , при которых  медленно меняется с изменением р_z или, иначе говоря, экстремальные сечения изоэнергетической поверхности (рис. 3).

Ясно, кроме того, что при низких температурах Т< <μ₀ существенную роль в задаче играет именно поверхность Ферми  Поэтому формула (2.1.16) позволяет, меняя направление магнитного поля и измеряя периоды осцилляций, получать сведения об экстремальных сечениях поверхности Ферми и тем самым о ее форме. Однако сложность поверхности Ферми (большое число экстремальных сечений) и ряд побочных эффектов - взаимодействие электронов с фононами, а также примесными атомами - сильно усложняют задачу восстановления формы поверхности Ферми по экспериментальным данным.