Учебное пособие: Математический анализ в примерах и задачах
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
66
Найдем у
2
:
(ln
1)
2
2
ln .
dx
x
x
e
y
x
dx
x
x
Поэтому общим ре-
шением уравнения будет
1
2
ln
y
C x C
x
. #
2
. Неоднородные уравнения (НЛДУ). Приведем теорему о
структуре общего решения НЛДУ.
Теорема 4. Общее решение НЛДУ (10.53) есть сумма общего
решения (10.55) ОЛДУ (10.54) и любого частного решения
ч
y НЛДУ
(10.53):
1 1
ч
...
n n
y
C y
C y
y
. (10.59)
Все решения НЛДУ содержатся в формуле (10.59).
Приведем одно свойство решений НЛДУ (принцип суперпози-
ции решений): если правая часть НЛДУ (10.53) состоит из несколь-
ких слагаемых и для НЛДУ с той же левой частью и правой частью,
равной каждому из этих слагаемых в отдельности, мы можем найти
частное решение, то сумма последних будет частным решением все-
го уравнения (10.53).
Для нахождения общего решения НЛДУ (обычно) применяют
метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), кото-
рый всегда дает возможность найти общее решение уравнения
(10.53), если известна фундаментальная система решений соответ-
ствующего ему ОЛДУ (10.54). Этот метод заключается в том, что
решение уравнения (10.53) ищется в том же виде, что и решение
(10.55) ОЛДУ (10.54):
1
1
2
2
( )
( )
...
( )
,
n
n
y
C x y
C x y
C x y
(10.60)
только здесь
1
2
( ),
( ), ...
( )
n
С x C x
C x – некоторые непрерывно диффе-
ренцируемые функции от x, подлежащие определению. Эти функ-
ции определяются из системы
1 1
2 2
1 1
2 2
(
2)
(
2)
(
2)
1 1
2 2
(
1)
(
1)
(
1)
1 1
2 2
...
0;
...
0;
.......................................
...
0;
...
( ).
n n
n n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
С y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
C y
f x
(10.61)
Решая систему (10.61) как алгебраическую, находят производ-
ные
i
С
от искомых функций; далее интегрированием восстанавли-
вают и сами эти функции.
10.6. Линейные уравнения высших порядков
67
Пример 8. Зная, что функции
1
cos
( )
x
y x
x
и
2
sin
( )
x
y x
x
об-
разуют фундаментальную систему решений ОЛДУ
2
0
y
y
y
x
(см. задачу 150), найти общее решение уравнения
2
xy
y
xy
x
.
1. Общее решение соответствующего ОЛДУ запишем в виде
(10.55):
1
2
cos
sin
.
x
x
y C
C
x
x
2. Найдем общее решение НЛДУ:
а) нетрудно в данном случае подобрать частное решение: y =1. По
формуле (10.59) записываем общее решение:
1
cos x
y
C
x
2
sin
1;
x
C
x
б) найдем общее решение НЛДУ по методу вариа-
ции произвольных постоянных [формула (10.60)], для чего соста-
вим систему (10.61) (исходное уравнение следует привести к ви-
ду
(10.53),
поделив
его
на
x):
1
2
cos
sin
0;
x
x
С
C
x
x
1
2
cos
sin
1.
x
x
C
C
x
x
Отсюда найдем:
1
2
sin ,
cos .
C
x
x C
x
x
Интегрируя, получаем
1
1
( )
cos
sin
;
C x
x
x
x C
2
( )
sin
C x
x
x
2
cos
.
x C
По формуле (10.60) запишем общее решение НЛДУ:
1
2
cos
sin
( cos
sin
)
( sin
cos
)
x
x
y
x
x
x C
x
x
x C
x
x
1
2
cos
sin
1.
x
x
C
C
x
x
#
Пример 9. Проинтегрировать уравнение
2
(1
)
1 0
x y
xy
y
,
зная что соответствующее ОЛДУ имеет частное решение
1
( )
y x
x
.
1. Найдем общее решение ОЛДУ
2
(1
)
0
x y
xy
y
(см.
замечание 2). Найдем
2
y
:
2
1
2
2
xdx
x
e
y
x
dx
x
2
2
1
dx
x
x
x
2
2
2
1
1
1
1
1
.
1
1
d
x
x
x
x
x
x
x
Общее решение ОЛДУ:
2
1
2
1
oo
y
C x C
x
. 2. Найдем общее ре-
шение НЛДУ: а) очевидно, что y = 1 есть частное решение и по
формуле (10.59) общее решение НЛДУ:
2
1
2
1
1
y
C x C
x
;
б) найдем общее решение по методу вариации произвольных посто-
янных. Составим систему (10.61), приведя исходное уравнение к ви-
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
68
ду (10.53):
2
1
2
1
2
2
2
1
1
0;
.
1
1
x
С x С
x
C
C
x
x
Решим
систему алгебраически:
1
2
2
1,
.
1
x
C
C
x
Интегрируя, найдем:
1
1
( )
,
C x
x C
2
2
2
( )
1
C x
x
C
и общее решение НЛДУ
2
2
2
1
2
1
2
(
)
1
1
1
1.
y
x C x
x
C
x
C x C
x
#
10.6.2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
n-го
ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассматриваем уравнение (10.54), считая в нем коэффициенты
const (
1, )
i
p
i
n
. Это уравнение имеет ФСР
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
y x
y x
y x ,
определенную
(
,
)
x
и состоящую из степенных, показа-
тельных и тригонометрических функций. Ей соответствует общее
решение
1 1
2 2
...
n n
y
C y
C y
C y
в области
,
,
x
y
(
1)
, ...,
n
y
y
,
т.е. задача Коши однозначно решается при
любых начальных условиях (10.41).
ФСР ОЛДУ строится по методу Эйлера: частное решение
ОЛДУ ищем в виде
x
y
e
, (10.62)
где
– некоторое постоянное число (действительное или ком-
плексное), подлежащее определению. Для его определения состав-
ляется характеристическое уравнение
1
1
1
...
0
n
n
n
n
p
p
p
. (10.63)
Структура ФСР зависит от вида корней
1
2
,
, ...,
n
уравне-
ния (10.63).
1. Все корни характеристического уравнения (10.63) различны
и действительны. ФСР в этом случае имеет вид:
1
1
,
x
y
e
2
2
, ...,
n
x
x
n
y
e
y
e
и общее решение запишется по формуле
(10.55):
1
2
1
2
...
n
x
x
x
n
y
C e
C e
C e
.
2. Все корни (10.63) различны, но среди них имеются комп-
лексные. Пусть
1
i
– комплексный корень; тогда
2
i
–
тоже корень (10.63). Этим двум корням соответствуют два линейно
независимых частных решения
1
2
cos
,
sin
x
x
y
e
x y
e
x
. Если
корни
1
и
2
чисто мнимые:
1, 2
i
, то им соответствуют ли-
нейно независимые решения
1
2
cos
,
sin
y
x y
x
. Корням
10.6. Линейные уравнения высших порядков
69
1, 2
i
в формуле общего решения (10.55) соответствует вы-
ражение вида
1
2
(
cos
sin
)
x
e
C
x C
x
, а чисто мнимым корням
1, 2
i
отвечает сумма
1
2
cos
sin
C
x C
x
.
3. Среди корней характеристического уравнения (10.63) име-
ются кратные корни.
а) Пусть
1
– действительный k-кратный корень. Тогда ему со-
ответствует
k
линейно
независимых
частных
решений
1
1
1
1
,
, ...,
x
x
x
k
e
xe
x
e
, а в формуле (10.55) – выражение вида
1
1
1
2
(
...
)
x
k
k
e
C
C x
C
x
.
б) Если
1
i
есть комплексный корень (10.63) кратнос-
ти k, то ему и сопряженному с ним корню
2
i
той же кратно-
сти соответствуют 2k линейно независимых частных решений вида
1
1
cos
,
cos
, ...,
cos
,
sin
,
sin
, ...,
sin
.
x
x
k
x
x
x
k
x
e
x xe
x
x
e
x
e
x xe
x
x
e
x
В формуле общего решения (10.55) этим корням соответствует вы-
ражение вида
1
1
1
2
1
2
2
[
...
cos
...
sin
]
x
k
k
k
k
k
k
e
C
C x
C x
x
C
C
x
C x
x
.
Паре чисто мнимых корней
1, 2
i
кратности k отвечает сумма
1
1
1
2
1
2
2
(
...
) cos
(
...
) sin
k
k
k
k
k
k
С
С x
C x
x
C
C
x
C x
x
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
3
2
0
y
y
y
.
Характеристическое уравнение (10.63) имеет вид
2
3
2
0
, откуда
1
2
1,
2
– действительные различные
числа. Общее решение (см. п. 1):
2
1
2
x
x
y
C e
C e
. #
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
2
0
y
y
y
.
Уравнение (10.63):
3
2
2
0
имеет корни
1
2
3
1,
0
. Корни действительные, причем один из них:
1
–
двукратный. Общее решение имеет вид [см. п. 3,а)]:
1
2
3
(
)
x
y
e
C
C x
C
. #
Пример 3. Найти общее решение уравнения
2
5
0
y
y
y
.
Характеристическое уравнение
2
2
5
0
имеет корни
1, 2
1 2i
. Следовательно (см. п. 2), функции
1
cos 2 ,
x
y
e
x
2
sin 2
x
y
e
x
составляют ФСР, а общее решение имеет вид:
1
2
(
cos 2
sin 2 )
x
y
e
C
x C
x
. #
Пример 4. Найти частное решение уравнения
3
3
0
y
y
y
y
,
удовлетворяющее начальным условиям: (0) 1,
(0)
2,
(0)
3
y
y
y
.
Характеристическое уравнение
3
2
3
3
1 0
имеет един-
ственный корень
1
кратности k = 3. ФСР имеет вид [см. п. 3,а)]:
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
70
2
1
2
3
,
,
x
x
x
y
e
y
xe
y
x e
; следовательно,
2
1
2
3
(
)
x
y
C
C x C x e
–
общее решение.
Для определения произвольных постоянных найдем производные:
2
2
1
2
3
1
2
3
[
(
1)
(
2 )],
[
(
2)
(
4
2)]
x
x
y
e C
C x
C x
x
y
e C
C x
C x
x
.
Подставляя в ,
y y
и y
начальные данные, получим систему:
1
1
C
,
1
2
2
C
C
,
1
2
3
2
2
3
C
C
C
, откуда находим
2
3
1,
0
C
C
.
Искомое частное решение:
(1
)
x
y
x e
. #
Пример 5. Найти общее решение уравнения
V
IV
2
2
y
y
y
4
2
0
y
y
y
.
Характеристическое уравнение
5
4
3
2
2
2
4
2 0
или
2
2
(
2)(
1)
0
имеет корни
2
– простой и
i
–
пара двукратных мнимых корней. Общее решение [см. п. 3,б)]:
2
1
2
3
4
5
(
) cos
(
) sin
x
y
C e
C
C x
x
C
C x
x
. #
Пример 6. Проинтегрировать уравнение
IV
4
8
y
y
y
8
4
0
y
y
.
Уравнение (10.63) представимо в виде
2
2
(
2
2)
0
,
имеет
двукратные
комплексные
корни
1
2
1 i
,
3
4
1 i
и, следовательно, общее решение [см. п. 3,б)]:
1
2
3
4
cos
) sin
x
y
e
C
C x
x
C
C x
x
. #
НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1º. НЛДУ с постоянными коэффициентами – уравнение (10.53),
в котором коэффициенты
const (
1, )
i
p
i
n
, при помощи метода
вариации произвольных постоянных всегда может быть проинтег-
рировано в квадратурах от элементарных функций, ибо, как только
что было показано, соответствующее ему ОЛДУ (10.54) с постоян-
ными коэффициентами имеет ФСР, состоящую из элементарных
функций.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
tg
y
y
x
.
ФСР соответствующего ОЛДУ
0
y
y
, полученная по
методу Эйлера, состоит из функций:
1
2
3
1,
cos ,
sin
y
y
x y
x
. Для
нахождения общего решения НЛДУ воспользуемся методом вариа-
ции произвольных постоянных. Составим систему (10.61):
1
2
3
2
3
2
3
cos
sin
0;
sin
cos
0;
cos
sin
tg ,
C
C
x C
x
C
x C
x
C
x C
x
x
откуда алгебраическим путем определим:
1
2
tg ;
sin ;
C
x C
x