Учебное пособие: Математический анализ в примерах и задачах
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
76
172.
0.
y
y
y
173.
0.
y
y
174.
2
9
18
0.
y
y
y
y
175.
IV
0.
y
y
176.
VI
0.
y
y
177.
6
12
8
0.
y
y
y
y
178.
0.
y
y
179.
IV
2
2
2
0.
y
y
y
y
y
180.
IV
4
8
16
16
0.
y
y
y
y
y
181.
IV
8
16
0.
y
y
y
182.
IV
2
3
2
0.
y
y
y
y
y
183.
V
8
16
0.
y
y
y
184.
V
IV
2
2
0.
y
y
y
y
y
y
Методом вариации произвольных постоянных решить сле-
дующие НЛДУ с постоянными коэффициентами.
185.
2
ctg
0.
y
y
x
186.
2
2
.
4
x
e
y
y
y
x
187.
3
1
.
cos
y
y
x
188.
2
2
.
1
x
e
y
y
y
x
189.
2
3
2
2
2
.
x
x
y
y
y
x
190.
1
4
.
y
y
x
x x
191.
2
4
4
ln .
x
y
y
y
e
x
192.
2
1
.
x
y
y
x
Определить вид частного решения НЛДУ, если известны кор-
ни его характеристического уравнения и правая часть ( )
f x – функ-
ция специального вида.
193.
2
1
2
1,
2;
( )
3.
f x
x
194.
2
1
2
0,
1;
( ) 3
3
1.
f x
x
x
195.
2
1
2
0; ( ) 10
4.
f x
x
x
196.
3
1
2
3
0,
1; ( )
3.
f x
x
197.
1
2
1,
2;
( )
(
10).
x
f x
e
x
198.
1
2
3
4
1,
0;
( )
(
10).
x
f x
e x
199.
1
2
0,
1;
( )
sin
cos .
f x
x
x
200.
2
1
2
3
4
5
6
3 ,
3 ,
1,
0;
( )
cos 3 .
i
i
f x
x
x
201.
1
2
3
4
1
,
1
,
0,
( )
( cos
sin )
x
i
i
f x
e
x
x
x
.
Пользуясь принципом суперпозиции, определить вид частного
решения следующих НЛДУ.
202.
2
2
.
x
x
y
y
y
e
e
203.
4
4
.
x
y
y
x e
204.
sin .
y
y
x
x
205.
2
2
(1 sin ) .
x
y
y
y
x e
206.
1
.
x
y
y
e
207.
2
4
sin 2 .
x
y
y
e
x
208.
4
sin
sin 2 .
y
y
x
x
209.
2
4
2 cos 4 .
y
y
x
10.6. Линейные уравнения высших порядков
77
Проинтегрировать следующие НЛДУ, найдя их частные ре-
шения методом неопределенных коэффициентов.
210.
2
1.
y
y
x
x
211.
2
4
12
6
4.
y
y
x
x
212.
5
6
3.
y
y
y
213.
3.
y
y
214.
4 .
x
y
y
e
215.
4 .
x
y
y
e
216.
2
4 .
x
y
y
y
e
217.
2
3
4
3.
x
y
y
y
e
218.
2
2
3
2
3
2
.
x
y
y
y
e
x
219.
3
3
18 .
x
y
y
e
x
220.
2
6
12
8
3
.
x
y
y
y
y
e
221.
3
1.
y
y
x
222.
IV
4 .
x
y
y
e
223.
2 sin
4 cos .
y
y
x
x
224.
6 sin 2 .
y
y
x
225.
13 sin 2 .
y
y
y
x
226.
4
sin 2 .
y
y
x
227.
cos .
x
y
y
e
x
228.
cos
cos 2 .
y
y
x
x
229.
4
( 4
4) cos
(2
6) sin
.
x
y
y
e
x
x
x
x
230.
2
2
(2 cos
4 sin ).
x
y
y
y
e
x
x
231.
2 sin
4 cos .
y
y
x
x
x
232.
2
4
4
3
4 sin 2 .
x
y
y
y
y
e
x
233.
IV
4 sin
8
1.
x
y
y
x
e
234.
IV
2
cos .
y
y
y
x
235.
2
cos
.
y
y
x
236.
2
4
cos
.
y
y
x
237.
sin
cos 3 .
y
y
x
x
238.
ch .
y
y
x
Найти решения НЛДУ, удовлетворяющие поставленным на-
чальным условиям.
239.
4
sin 2 ;
0
y
y
x y
y
при
0.
x
240.
;
1,
1
y
y
x y
y
при
0.
x
241.
2
4
4
3
;
0
x
y
y
y
e
y
y
при
0.
x
242.
5
6
(12
7)
;
0
x
y
y
y
x
e
y
y
при
0.
x
243.
4 cos ;
0,
1
y
y
x
x y
y
при
0.
x
244.
6
9
16
9
6;
1
x
y
y
y
e
x
y
y
при
0.
x
245.
2 ;
0,
1,
2
y
y
x y
y
y
при
0.
x
246.
IV
8 ;
1,
0,
0
x
y
y
e
y
y
y
,
0
y
при
0.
x
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
78
10.7. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
10.7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СВЯЗЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ n-го ПОРЯДКА
1
. Нормальные системы
Система обыкновенных ДУ вида
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
( ,
,
, ...,
);
( ,
,
, ...,
);
.....................................
( ,
,
, ...,
),
n
n
n
n
n
dy
f x y
y
y
dx
dy
f x y
y
y
dx
dy
f
x y
y
y
dx
(10.68)
где
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
y x
y x
y x – неизвестные (искомые) функции,
1
2
,
, ...,
n
f
f
f – известные функции, заданные и непрерывные в не-
которой области, называется нормальной системой. Число n назы-
вается порядком системы (10.68).
Если правые части системы (10.68) являются линейными
функциями от
(
1, ) :
i
y i
n
1
11
1
12
2
1
1
2
21
1
22
2
2
2
1
1
2
2
( )
( )
...
( )
( );
( )
( )
...
( )
( );
........................................................................
( )
( )
...
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
dy
p
x y
p
x y
p
x y
f x
dx
dy
p
x y
p
x y
p
x y
f x
dx
dy
p
x y
p
x y
p
x y
f x
dx
,
(10.69)
то такая система называется линейной.
Совокупность n функций
1
1
2
2
( ),
( ), ...,
( )
n
n
y
x
y
x
y
x
, (10.70)
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a, b),
называется решением системы (10.68) в интервале (a, b), если
функции (10.70) обращают (все) уравнения системы (10.68) в тожде-
ства [на интервале (a, b)]. Кривая в (n+1)-мерном пространстве
1
2
( ,
,
, ...,
),
n
x y
y
y
соответствующая (10.70), называется интегральной
кривой.
Задача нахождения решения (10.70), удовлетворяющего на-
чальным условиям
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
79
(0)
(0)
(0)
1
1
2
2
,
, ...,
n
n
y
y
y
y
y
y
при
0
x
x
, (10.71)
где
(0)
(0)
(0)
0
1
2
,
,
, ...,
n
x
y
y
y
суть заданные числа (начальные данные),
называется задачей Коши.
Теорема (достаточные условия существования и единственно-
сти решения задачи Коши). Пусть функции
1
( ,
, ...,
),
1,
i
n
f x y
y
i
n
,
в (10.68) определены и непрерывны в (n + 1)-мерной области D из-
менения переменных
1
2
( ,
,
, ...,
)
n
x y
y
y
вместе частными производ-
ными
i
k
f
x
,
1,
i
n
,
1,
k
n
. Тогда для любой точки
(0)
(0)
0
0
1
2
(
,
,
,
M x
y
y
(0)
...,
)
n
y
D
найдется интервал
0
0
x
h
x
x
h
изменения x, в ко-
тором существует и единственно решение нормальной системы
(10.68), удовлетворяющее начальным условиям (10.71).
Совокупность n функций
1
( ,
, ...,
) (
1, )
i
i
n
y
x C
C
i
n
, (10.72)
определенных в некоторой области изменения переменных
1
,
, ...,
n
x C
C
и имеющих непрерывные частные производные по x,
называется общим решением (10.68) в области D изменения пере-
менных
1
2
( ,
,
, ...,
)
n
x y
y
y
, в каждой точке которой имеет место су-
ществование и единственность решения задачи Коши, если система
(10.72): 1) является решением системы (10.68) на некотором интер-
вале действительной оси, где
x
точки
1
( ,
( ),...,
( ))
n
x y x
y x
D
;
2) какие бы начальные условия (10.71) ни задать,
1
2
,
, ...,
n
С C
C
та-
кие, что эти начальные условия будут удовлетворены.
Решение (10.70), в каждой точке которого имеет место суще-
ствование и единственность решения задачи Коши, называется ча-
стным решением. Решение, в каждой точке которого нарушается
единственность решения задачи Коши, называется особым.
Функция
1
( ,
, ...,
)
n
x y
y
, определенная и непрерывная вместе
с частными производными
1
,
, ...
n
x
y
y
в некоторой области D
изменения переменных и принимающая
( , )
x
a b
постоянное
значение при подстановке в нее произвольного решения системы,
называется первым интегралом нормальной системы (10.68):
1
( ,
, ...,
)
n
x y
y
C
, (10.73)
если
1
, ...,
n
y
y
– решение (10.68), а С – произвольная постоянная.
Следующая теорема устанавливает условия того, что функция
1
( ,
, ...,
)
n
x y
y
является первым интегралом системы (10.68).
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
80
Теорема. Для того чтобы функция
1
( ,
, ...,
)
n
x y
y
была пер-
вым интегралом системы (10.68), необходимо и достаточно, чтобы
было выполнено условие
1
1
( ,
, ...,
)
0
n
k
n
k
k
f
x y
y
x
y
. (10.73
)
Если известны n независимых первых интегралов
1
,...,
n
системы (10.68), то ее решение может быть найдено из системы
1
1
1
1
( ,
,...,
)
,
...............................
( ,
,...,
)
.
n
n
n
n
x y
y
C
x y
y
C
В этом случае ни одно из уравнений не является следствием осталь-
ных.
Приведем критерий независимости системы функций
1
( , ...,
),
1,
i
n
f x
x
i
n
: для ее независимости требуется, чтобы якоби-
ан
0
i
j
f
x
.
2
. Системы ДУ в симметрической форме
Система вида
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( ,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
n
n
n
n
n
dx
dx
dx
X x x
x
X
x x
x
X
x x
x
(10.74)
называется системой ДУ в симметрической форме. Если в точке
(0)
(0)
(0)
1
2
(
,
, ...,
)
n
x
x
x
хоть один из знаменателей
1
2
,
, ...,
n
X
X
X отличен
от нуля, то в окрестности этой точки систему (10.74) можно заме-
нить
нормальной
системой
из
n-1
уравнений.
Пусть
(0)
(0)
1
(
, ...,
)
0
n
n
X
x
x
. Тогда
1
1
1
1
2
2
,
, ...,
n
n
n
n
n
n
n
n
dx
X
dx
X
dx
X
dx
X
dx
X
dx
X
. (10.75)
Каждый интеграл (первый интеграл) системы (10.75) называется
интегралом (первым интегралом) системы (10.74). Система (10.74)
имеет не более чем n – 1 независимых интегралов. Совокупность n –
1 независимых первых интегралов системы (10.74) называют общим
интегралом этой системы.
Всякую нормальную систему (10.68) можно записать в виде
(10.74)
1
2
1
2
...
1
n
n
dy
dy
dy
dx
f
f
f
. (10.76)