Учебное пособие: Математический анализ в примерах и задачах
10.6. Линейные уравнения высших порядков
71
2
3
sin
cos
x
C
x
. Интегрирование дает:
1
1
( )
ln cos
;
C x
x
C
2
2
( )
cos
;
C x
x C
3
3
( )
sin
ln tg
4
2
x
C x
x
C
и общее реше-
ние имеет вид:
1
2
3
(
ln cos
) 1 (
cos ) cos
sin
ln tg
sin
4
2
y
C
x
C
x
x
x
C
x
x
1
2
3
cos
sin
ln cos
sin
ln tg
4
2
x
C
C
x C
x
x
x
. #
2
. В некоторых случаях для НЛДУ с постоянными коэффици-
ентами удается найти частное решение методом неопределенных
коэффициентов, исходя из заранее известного вида последнего – для
НЛДУ с постоянными коэффициентами с правой частью специаль-
ного вида. Укажем эти случаи и соответствующие им виды частных
решений.
1)
( )
( )
f x
P x
, где ( )
P x – многочлен от x; в частности, это
может быть число
0
A
. Тогда: а) если число 0 не является корнем
характеристического уравнения (10.63), то частное решение НЛДУ
можно найти в виде
ч
( )
y
Q x
, (10.64)
где ( )
Q x – многочлен той же степени, что и
( )
P x , но с неопределен-
ными (подлежащими определению путем подстановки (10.64) в
НЛДУ) коэффициентами; б) если 0 есть корень уравнения (10.63)
кратности k, то
ч
( )
k
y
x Q x
. (10.64
)
2)
( )
( )
ax
f x
P x e
. Если число a не является корнем характери-
стического уравнения (10.63), то
ч
( )
ax
y
Q x e
. (10.65)
Если a – корень (10.63) кратности k, то
ч
( )
k
ax
y
x Q x e
. (10.65
)
3)
1
2
( )
( ) cos
( ) sin
ax
f x
e
P x
bx
P x
bx
, где
1
( )
P x и
2
( )
P x –
многочлены от x. Эти многочлены, в частности, могут быть числа-
ми, и один из них может быть нулем. Пусть m есть наивысшая из
степеней многочленов
1
( )
P x и
2
( )
P x . Тогда:
а) если число
a ib
не является корнем (10.63), то
ч
1
2
( ) cos
( ) sin
ax
y
e
Q x
bx Q x
bx
, (10.66)
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
72
где
1
( )
Q x и
2
( )
Q x – многочлены степени m с неопределенными ко-
эффициентами;
б) если
a ib
есть корень характеристического уравнения
(10.63) кратности k, то
ч
1
2
( ) cos
( ) sin
k ax
y
x e
Q x
bx Q x
bx
. (10.66
)
4)
1
2
( )
( )
( ) ...
( ),
m
f x
f x
f x
f
x
где
1
2
( ),
( ), ...,
( )
m
f x
f x
f
x –
функции видов, рассмотренных в пп. 1–3. Если
1
2
,
, ...,
m
y
y
y есть
частные решения, соответствующие НЛДУ с правыми частями
1
2
( ),
( ), ...,
( )
m
f x
f x
f
x , то
ч
1
2
...
m
y
y
y
y
(10.67)
является частным решением всего (исходного) уравнения (см. прин-
цип суперпозиции, п.2, § 10.6.1).
Пример 6. Проинтегрировать уравнение
2
y
y
y
y
x
x
.
1. Найдем общее решение соответствующего ему ОЛДУ.
Характеристическое уравнение
3
2
1 0
имеет различные
корни:
1
2
3
1,
,
i
i
и
общее
решение
ОЛДУ:
1
2
3
cos
sin
x
oo
y
C e
C
x C
x
. 2. Здесь
2
( )
f x
x
x
– многочлен
2-й степени. Так как число ноль не является корнем характеристиче-
ского уравнения, то частное решение ищем в виде (10.64):
2
ч
;
,
,
y
Ax
Bx C A B C
– неизвестные, подлежащие определе-
нию коэффициенты. Подставляя y в исходное НЛДУ, получаем:
2
2
(2
)
(
2
)
Ax
A B x
B
A C
x
x
, откуда, сравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравне-
ний: –
1; 2
1;
A
A B
2
0
B
A C
. Решая ее, находим:
1,
3,
1
A
B
C
и частное решение имеет вид:
2
ч
3
1
y
x
x
.
По формуле (10.59) общее решение исходного уравнения имеет вид:
2
1
2
3
cos
sin
3
1
x
y
C e
C
x C
x
x
x
. #
Пример 7. В каком виде следует искать частое решение НЛДУ
2
12
6
y
y
x
x
?
Характеристическое уравнение
3
2
0
имеет корни
1
2
3
0,
1
. Так как число 0 есть двукратный корень характе-
ристического уравнения, то частное решение следует искать по ре-
комендации (10.64
):
2
2
4
3
2
ч
(
)
y
x Ax
Bx C
Ax
Bx
Cx
.
Ответ.
4
3
2
1
2
3
5
15
x
y
C
C x C e
x
x
x
. #
10.6. Линейные уравнения высших порядков
73
Пример 8. Проинтегрировать уравнение
5
10
25
4
x
y
y
y
e
.
1. Характеристическое уравнение
2
10
25
0
имеет
двукратный корень
1
2
5
, поэтому общее решение ОЛДУ
5
1
2
(
)
x
oo
y
C
C x e
. 2. Здесь
5
( )
4
,
x
f x
e
( )
4
P x
. Так как a = –5
является корнем характеристического уравнения кратности k = 2, то
частное решение
ч
y НЛДУ ищем по формуле (10.65
):
2
5
ч
x
y
Bx e
.
Тогда
2
5
ч
(2
5
)
x
y
B
x
x e
,
2
5
ч
(2 20
25
)
x
y
B
x
x e
. Подставляя
ч
ч
,
y
y
и
ч
y
в исходное уравнение, получаем
5
5
2
4
x
x
Be
e
, откуда
2
B
и
2
5
ч
2
x
y
x e
. Общее решение исходного НЛДУ:
5
2
5
1
2
(
)
2
x
x
y
C
C x e
x e
. #
Пример 9. Найти общее решение уравнения
3
2
y
y
y
sin
x
x
.
1. Характеристическое уравнение
2
3
2
0
имеет кор-
ни
1
1
,
2
2
, поэтому
2
1
2
x
x
oo
y
C e
C e
. 2. Здесь
( )
sin
0 cos
sin
f x
x
x
x x
x
. Для определения частного решения ис-
пользуем рекомендацию (10.66). Число
a ib
i
не является корнем
характеристического уравнения. Определим m:
sup 0; 1
1
m
и, та-
ким образом,
ч
1
2
1
2
(
) cos
(
) sin
y
A x
A
x
B
B x
x
. Найдем
ч
y
и
ч
y
и подставим
ч
ч
,
y
y
и
ч
y
в заданное уравнение; получим, собрав в
левой части отдельно члены, содержащие cosx, отдельно содержа-
щие
sinx:
1
1
1
2
1
2
[(
3
)
3
2
3
] cos
A
B x
A
A
B
B
x
+
1
1
[( 3
)
A
B x
1
2
2
3
A
A
1
2
3
] sin
0 cos
sin
B
B
x
x
x
x
. Срав-
нивая отдельно выражения при cosx и при sinx слева и справа, при-
ходим к системе уравнений:
1
1
1
2
1
2
3
0;
3
2
3
0;
A
B
A
A
B
B
1
1
1
2
1
2
3
1;
2
3
3
0.
A
B
A
A
B
B
Решая, получаем
1
2
1
2
3/10;
17 / 50;
1/10;
3/ 25
A
A
B
B
и ча-
стное решение
ч
3
17
1
3
cos
sin
10
50
10
25
y
x
x
x
x
. Общее
решение запишется по формуле (10.59):
y
2
1
2
3
17
1
3
cos
sin
10
50
10
25
x
x
C e
C e
x
x
x
x
. #
Пример 10. Проинтегрировать уравнение
sin
cos 2
y
y
x
x
.
1. Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ:
0
y
y
,
2
1
0
,
1
2
,
;
i
i
1
2
cos
sin
oo
y
C
x C
x
.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
74
2. Частное решение уравнения
sin
y
y
x
(1) следует искать
в виде (10.66
), так как число
a ib
i
является простым корнем
характеристического
уравнения:
1
(
cos
sin )
y
x A
x
B
x
.
Под-
ставляя
1
y
в уравнение (1), получаем:
2
sin
2
cos
sin
A
x
B
x
x
,
откуда и
1
1
cos
2
y
x
x
. Для уравнения
cos 2
y
y
x
(2) имеем
2
cos 2
sin 2
y
A
x
B
x
– используем формулу (10.66), ибо здесь
2
a ib
i
не является корнем характеристического уравнения. Под-
ставляя
2
y в (2), находим
1
,
0
3
A
B
, так что
2
1
cos 2
3
y
x
.
Используя формулу (10.59) и принцип суперпозиции частных реше-
ний, запишем общее решение НЛДУ:
1
2
1
1
cos
sin
cos
cos 2
2
3
y
C
x C
x
x
x
x
. #
Пример 11. Найти общее решение НЛДУ
2
5
y
y
y
cos 2
x
e
x
.
1. Характеристическое уравнение
2
2
5
0
имеет
корни
1, 2
1 2i
, так что
1
2
(
cos 2
sin 2 )
x
oo
y
C
x
C
x e
.
2. Здесь ( )
(1 cos 2
0 sin 2 )
x
f x
e
x
x
и так как число
1 2
a
ib
i
является простым корнем характеристического уравнения, частное
решение надо искать в виде (10.66
):
ч
(
cos 2
sin 2 )
x
y
x A
x
B
x e
;
тогда
ч
[
2
cos 2
y
A
Ax
Bx
x
2
sin 2 ]
x
B
Bx
Ax
x e
,
ч
[( 2
3
4
4
) cos 2
y
A
Ax
B
Bx
x
( 2
3
4
4
) sin 2 ]
x
B
Bx
A
Ax
x e
.
Подставляя
ч
ч
,
y
y
и
ч
y
в исходное уравнение и сокращая на
x
e
,
получаем
4
sin 2
4
cos 2
cos 2
A
x
B
x
x
, откуда
0,
1/ 4
A
B
и
ч
0, 25
sin 2
x
y
xe
x
. Общее решение НЛДУ:
1
2
(
cos 2
sin 2 )
x
y
C
x C
x e
0, 25
sin 2
x
xe
x
. #
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на линейную зависимость в области их совмест-
ного определения системы функций.
124.
, ln
x
x
. 125.
2
1, 2, ,
.
x x 126.
2
,
,
x
x
x
e
xe
x e . 127. , 0,
x
x
e .
128. sin , cos , cos 2
x
x
x . 129.
2
2
5, cos
, sin
x
x
.
130. cos , cos(
1), cos(
2)
x
x
x
. 131.
1
,
x
x
e
e
.
132. 1, arcsin , arccos
x
x . 133. 2 , arctg
, arcctg
2
2
x
x
.
10.6. Линейные уравнения высших порядков
75
В задачах 134–139 найти определитель Вронского для указан-
ных систем функций.
134. 1, x . 135.
2
1, 2,
.
x
136.
,
.
x
x
e
xe
137.
, 2 ,
.
x
x
x
e
e
e
138. 2, cos , cos 2 .
x
x 139.
sin ,
cos
x
x
e
x e
x
.
По заданной ФСР ОЛДУ составить уравнение.
140.
1,
.
x
e
141.
2
2
cos ,
sin .
x
x
e
x e
x
142.
3
4
,
.
x
x
143.
1,
,
.
x
x e
144. 1, sin , cos .
x
x 145.
2 ,
2,
1.
x
x x
e
146.
3
5
,
.
x
x
e
e
147.
2
, sin , cos
x
e
x
x
.
Найти общее решение ОЛДУ, если известно одно частное ре-
шение.
148.
1
6
5
0,
x
y
y
y
y
e
. 149.
1
2
3
0,
.
x
y
y
y
y
e
150.
1
sin
2
0,
.
x
xy
y
xy
y
x
151.
2
1
(1
)
2
2
0,
x y
xy
y
y
x
.
152.
2
1
(ln
1)
0,
.
x
x
y
xy
y
y
x
153.
2
1
(tg
2 ctg )
2 ctg
0,
sin .
y
x
x y
x y
y
x
154.
2
1
tg
cos
0,
cos(sin ).
y
x y
x y
y
x
В приведенных ниже НЛДУ, зная одно частное решение
1
y
соответствующего ОЛДУ и угадав некоторое частное решение
2
y
НЛДУ либо применив метод вариации произвольных постоянных,
найти общее решение.
155.
2
4
1
1
3
5 ,
.
x y
xy
y
x
y
x
156.
2
1
(
1)
(
1)
,
.
x
x
x
y
xy
y
x
e
y
e
157.
2
3
1
,
cos
.
x
x
x
y
y
e
y
e
y
e
158.
2
4
3
3
2
1
(
1)
1
(
)
(2
2
)
,
.
x
x
x y
x
x
x y
y
y
x
x
159.
2
2
1
1,
sin
.
x
x
x
y
y
ye
xe
y
e
160.
2
2
1
(
1)
(2
1)
2
(2
3),
.
x x
y
x
y
y
x
x
y
x
В уравнениях 161–165 частным решением ОЛДУ является
1
1
y
. Найти их общие решения.
161.
2
2
3
(1 2
)
4
.
x
xy
x
y
x e
162.
2
tg
1.
y
y
x
163.
2
ln
ln
.
x
x y
y
x
164.
2
(2
1)
4
.
xy
x
y
x
165.
tg
cos
ctg
y
y
x
x
x
.
Проинтегрировать следующие ОЛДУ с постоянными коэффи-
циентами.
166.
6
8
0.
y
y
y
167.
2
0.
y
y
168.
2
2
0.
y
y
y
y
169.
13
12
0.
y
y
y
170.
V
10
9
0.
y
y
y
171.
2
2
0.
y
y
y