Материал: Математический анализ

6

С

ОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ЛЕКЦИИ ПРАКТИЧЕСКИЕ 

ЗАНЯТИЯ 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 

СТУДЕНТ

А

№ 

зан. 

Тема, осн

о

в

ные во

пр

осы 

№ 

зан.

Тема, осн

о

в

ные во

пр

осы 

Тема, осн

о

в

ные во

пр

осы 

Бюджет 

времени 

Тема 1. По

нятие фун

к

ции 

1 

Элементы

 теории множес

тв и

 мате

матической логики. Счетные и несчет

ные множества. Мн

ожества н

а

тураль

ных, целых, рациональных и действи

тельных чисел. Операции мат

е

матиче

ской логики. 

Общее понятие фу

нкции. Функция 

одной переменной. Способы задан

и

я 

функций: аналитиче

ский, графический,

табличный. График функции. Свойства 

функций одной переменной: четность, 

монотонность, выпуклость,

 п

е

риодич

ность. 

Функциональные зависимости в эко

номике: функции полезности, однофак

торные производственные фу

нкции, ли

нейные функции спроса и предложения, 

линейная функция издержек и кривая

средних издержек.  

1 

Операции над множествами. Логи

ческие операции.

Элементарные функции: ли

нейная функция, парабола, ги

пербола, с

тепенная функция, по

казательная, логарифмичес

к

ая 

функция, многочлен

ы

. 

4 

Тема 2. Числовые последовательности 

2 

Числовые последовательности, пре

дел посл

едователь

н

ости, монотонные,

ограниченные посл

едовательн

ости.

 Гео

метрическая и арифметические про

грессии. 

2 

Вычисление предела последова

тельности.

 Простые и сложные про

центы. 

Паутинообразная модель рын

ка одного товара.  

4 

7 

Простые и сложные проценты. Нара

щенные суммы. Дисконтирование. Рас

чет стоимости акций и облигаций.  

Тема 3. Теория пр

ед

елов 

3 

Предел функции. Бесконечно малые и 

беск

о

нечн

о больши

е

 функции. Беск

о

нечно малые и предел функции. Основ

ные свойства пределов. Сравнение бес

конечно малых.  

Первый и второй замечательные пре

делы. 

3 

Вычисление пределов функци

й. 

Контрольное задание 

10 

Тема 4. Непрер

ывно

с

ть функций 

4 

Непрерывность функции в точ

ке и на 

множеств

е. Классификация точек раз

рыва.  

Примеры непрерывных и разрывных 

функций в экономике: функции издер

жек, зависимость н

а

логовой ставки от 

дохода. 

Асимптоты графика функци

и. Асим

птотическ

ое п

о

ведение функ

ций спрос

а

(кривые Торнквиста).

4 

Исследова

ние функций на непре

рывность и точки разрыва. Опреде

ление аси

м

птот гра

ф

ика фун

кции. 

Решение задач.

4 

Тема 5. Производная

 и дифференциал 

5 

Производная функц

ии и ее геометри

ческий смысл. Предельные отношения в

экономике (предельные издер

ж

ки, пре

дельная и

 средняя производительность 

труда, эластичность выпуска по труду). 

Дифферен

цируемость функци

и, пер

вый дифференциал.

Свойства производн

о

й.  

Производные осн

о

вных элементар

ных функций. Пр

оизводная сл

ожной 

5 

Вычисление произв

одных и диф

ференциа

л

ов функ

ций. Уравнение 

касательной. Приближённые вычис

ления.   

Контрольное задание 

4 

8

функции и неявно заданн

ых функций.

Инвариантность

 первого дифференциа

ла. 

6 Свойства

дифферен

цируемых 

функ

ций. Лем

м

а Ферма. Теоремы

 Ролля и 

Лагранжа.  

Правило Лопиталя раскрытия неоп

ределенностей. 

Формула Тейлора. Разложен

ие эле

ментарных функций по формуле Тей

лора. Формула Маклорена. 

6 

Применение произв

одных к вы

числению предел

о

в. Разл

ожение

функций по формуле Тейлора и

Маклорен

а

. Линеаризация сложных 

зависимостей. 

Контрольное задание 

4 

Тема 6. Пр

иложения

 про

и

звод

ной 

7 

Монотонн

ость функции. Условия мо

нотонн

о

сти. Экстремум функции. Необ

ходимые и достаточные условия экс

тремума.  

Задача максимизации пр

ибыли при 

заданной налоговой 

ставке. 

Выпуклость графика функции. Точки 

перегиба. Полное исследован

и

е функ

ции и построение графика с помощью 

дифферен

циального исчисления. Гра

фики гиперболы, логистической кривой.

7 

Исследова

ние функций с помощью 

производн

ых.

Моделирование налоговых по

ступлений в бюд

жет.

 Кривая 

Лаффера.

Контрольн

ое задание 

4 

Тема 7. Функции мно

гих пер

еменных

8 

Функция несколь

ких переменных как 

функция от точки в линейном простран

стве. 

Графическое и аналитическое описа

ние функции нескольких переменных.

Пространственный график функции 

двух переменных. Ли

нии и поверхности 

уровня. 

Многофак

торные п

р

оизводственные 

8 

Область определения, предел и 

непрерывность функции нескольких 

переменных.

Решение з

а

дач 

10 

9 

функции (мультипликативная, Кобба 

— 

Дугласа). Изокванты. 

Многомер

ные бюджетные множества.

Предел и

 непреры

вность

 функции 

нескольких переменных.

Тема 8. Ча

стные про

и

зводн

ые 

9 

Полное и частные приращения функ

ции. Частные производные.  

Средняя и предельная производи

тельность труда и фондоотдача. Коэф

фициенты эластичности

 выпуска по 

труду и фондам. 

Дифферен

цируемость функци

и не

скольких переменных, первый диффе

ренциал, его геометр

ический смысл. 

Производная по нап

равлению. Гради

ент, его геометрический и эк

ономиче

ский смысл: определение направления 

наискорейшего экономического роста 

(спада). 

Производные и дифференциалы 

высших по

рядков.  

Формула Тейлора д

л

я функц

ии не

скольких переменных.

9 

Вычисление частных производных

производн

о

й по направлению и гра

диента функции. Разложение функ

ции нескольких пе

ременных по  

формуле Тейлора. Локальная ли

неаризация сложных экономических 

зависимостей 

Контрольное задание 

4 

Тема 9. Эк

стремумы функций  многих переменных 

10 

Необходимые условия экстремума.

Достаточн

ое усл

о

ви

е для слу

чая двух 

независимых переменных.  

Оптимиза

ция затрат, прибыли для 

многопродуктовой фирмы. 

Условный экстремум. Метод множи

телей Лагранжа, экономический смысл 

множител

ей Лагранжа.  

10 

 Исследов

а

ние функций несколь

ких переменных. на безусловный и   

условный экстремум  

Контрольное задание 

4 

10

Оптимиза

ция функции полезности 

при наличии ограничений.

Те

м

а

 10. 

Неопре

деленный

интегра

л

11. Понятие 

неопределенного 

интеграла 

и его св

ойства. Осн

о

вные приемы интег

рирования

: замена переменной, интег

рирование

 по частям.  

11 

Вычисление неопределенного ин

теграла Интегрирование простейших 

рациональных функций. Рационали

зация интегрируемой функции 

. Интегралы, не выражающие

ся в элементарных функциях 

(интеграл Пуассона и др.). 

Контрольн

ое задание 

4 

Тема 11.О

п

ред

еленн

ый инт

е

гр

ал 

12 

Выпуск продукции за определенное 

время при заданном законе мгновенной

мощности производства. Определенный 

интеграл как предел интегральных 

сумм. Свойства определенного интегра

ла: линейность, аддитивность, теорема о 

среднем.  

Среднее з

н

ачение функции. Средняя 

производительность труда, средняя

фондоотдача.  

Приближенное вычисление опреде

ленного интеграла.  

Интеграл с переменным верхним 

приделом.  

Формула Ньютона — Лейбница. За

мена переменной и интегрирование по 

частям в определен

н

ом интег

рале. Гео

метрические приложения: площадь фи

гуры, объем тела по площадям попереч

ных сечений.

12 Вычисление 

 определенного интеграла. 

Контрольное задание 

4 

Тема 12. Несобствен

н

ые  и кратные интегралы 

13. 

Сходимость несобственных интегра

лов, признаки сравнения. 

Изменение отдачи технологии во 

времени, совокупная отдача. 

Вычисление несобственных

 и 

кратных интегралов интегралов. 

Решение з

а

дач 

4