Материал: Мерзликин Г.Я. Основы теории ядерных реакторов. Курс для эксплуатационного персонала АЭС

6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Полученное выра-

жение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейтронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипотезой о зависимости pт от геометрии и физических свойств среды активной зоны (от геометрического параметра В2 и квадрата длины диффузии L2), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщина периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов рт.

Для практика-реакторщика полезно запомнить качественную зависимость рт от температуры активной зоны. Эта зависимость однозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом температуры увеличивается (см.п.6.1.5), величина рт = (1 + В2L2)-1 с ростом температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.

to − → T− → Tн− → Σa ↓ → L− → L2− → pт↓.

Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов.

Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов pз = exp(-B2τт), прослеживаемая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в активной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как рт. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температуры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Ес), а потому величина рз за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замедлителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увеличиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина рз - увеличиваться. Реакторам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и рз, и рт.

Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изменения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффективными размножающими свойствами активной зоны реактора (kэ) через посредство величин рз и рт.

6.4. Геометрический параметр цилиндрического реактора без отражателя и поле тепловых нейтронов в нём

Большинство энергетических тепловых реакторов имеют цилиндрическую форму активной зоны или очень близкую к ней. Среди многих соображений при выборе формы активной зоны побеждает стремление сделать её симметричной, технологичной и

удобной для организации теплосъёма.

Геометрический параметр Вг2 критической цилиндрической активной зоны может быть с равным успехом найден и из решения уравнения критичности, и из решения волнового уравнения, но первое является трансцендентным и не разрешается относительно В2 аналитически, следовательно, при известных величинах k∞, L2 и τт из уравнения критичности можно найти только величину В2 (методом последовательных приближений), но нельзя получить удобной аналитической зависимости Вг2 от размеров активной зоны (радиуса и высоты её).

Такое выражение В2 = f(Rаз,Hаз) можно получить только после решения волнового уравнения и разрешения его относительно Вг2:

Но волновое уравнение - дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, поэтому для получения конкретного (частного) его решения надо обязательно располагать парой граничных условий.

6.4.1. Граничные условия для решения волнового уравнения. Предположим вначале для простоты, что речь идёт о гомогенной цилиндрической активной зоне, окруженной пустотой (вакуумом). Почему именно пустотой?

Дело в том, что вакуум, кроме того, что он даёт возможность сравнивать различные критические активные зоны в одинаковых условиях, является в некотором смысле абсолютным поглотителем утекающих из активной зоны нейтронов, поскольку он не содержит в себе объектов, с которыми нейтрон может столкнуться, изменить направление движения и вернуться обратно в активную зону.

Единственной точкой цилиндрической гомогенной активной зоны, о величине плотности потока тепловых нейтронов мы можем хоть что-то сказать, является центр её (середина её высоты по оси симметрии). И единственное, что мы можем сказать относительно плотности потока тепловых нейтронов в этой точке, - то, что величина Ф(r)

в ней максимальна, поскольку это - наиболее удалённая от всех границ активной зоны точка, и возможности для утечки тепловых нейтронов из неё за пределы активной зо-

ны минимальны. z

Рис.6.6. Размещение начала цилиндрической системы координат в геометрическом центре цилиндрической активной зоны.

И если поместить начало цилиндрической системы координат в центр активной зоны (рис.6.6), то первое граничное условие

Ф(r=0,z=0) = Фо = Фmax

- выглядит неопределённо, так как неясна конкретная величина этого максимума. Это же граничное условие (как условие максимума функции Ф(r,z)) можно записать более определённо:

Второе граничное условие в такой ситуации должно быть обязательно нетривиальным, то есть должно указывать на любое конкретное значение функции Ф(r,z) в ка- кой-либо точке активной зоны. Здесь мы выдыхаемся: при всем желании указать такую точку в пределах активной зоны мы не в состоянии. На действительных границах активной зоны (при r = Rаз или z = ± Hаз/2) величина плотности потока тепловых нейтронов - явно не нулевая.

Поэтому в качестве второго граничного условия вводится искусственное условие, состоящее в следующем.

Предположим, что распределения Ф(r) и Ф(z) в пределах активной зоны от центра к периферии имеет характер нелинейного уменьшения. Но, если вообразить (рис.6.7), что функция Ф(r), переходя через границу активной зоны, продолжает уменьшаться линейно, причём, с тем же угловым коэффициентом, что и на границе активной зоны, то на некотором отстоянии d от границы активной зоны линейно-экстраполированная

таким образом функция Ф(r) уменьшается до нуля.

Отстояние (d) от границы активной зоны в вакуум, на котором линейноэкстраполированная на границе активной зоны функция распределения плотности потока тепловых нейтронов обращается в нуль, называется длиной линейной экстраполяции.

Условная цилиндрическая поверхность, эквидистантно отстоящая от поверхности реальной цилиндрической активной зоны на длину линейной экстраполяции, называет-

ся экстраполированной границей активной зоны.

Величины полуразмеров реальной цилиндрической активной зоны, увеличенные на длину линейной экстраполяции, называют экстраполированными полуразмерами

активной зоны:

Ф ( r )

Действительные границы активной зоны

Касательная к графику Ф(r) на границе активной зоны

r

Длина линейной экстраполяции d

Экстраполированные границы активной зоны

Рис.6.7. К понятию длины линейной экстраполяции, экстраполированных границ и экстраполированных размеров активной зоны.

Кинетическая теория даёт простую формулу для длины линейной экстраполяции:

Учитывая сказанное, второе граничное условие звучит просто:

На экстраполированных границах активной зоны величина плотности потока

6.4.2. Результат решения волнового уравнения для цилиндрической гомоген-

ной активной зоны. Если записать волновое уравнение в цилиндрической системе ко-

ординат, начало которой совпадает с центром активной зоны, и решить его при обозначенных выше граничных условиях, то интеграл этого уравнения будет иметь вид:

Выражение (6.4.7) означает, что:

- распределение величины плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны (в точках равноудаленных от оси симметрии на расстояние r) подчиняется закону косинуса:

где Фоr = Ф(z=0, r) - значение плотности потока тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности радиуса r на середине высоты активной зоны (рис.6.8):

Рис.6.8. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны по оси симметрии и на разных отстояниях от оси.

z

Рис.6.9. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по радиусу цилиндрической гомогенной активной зоны на разных уровнях по её высоте.

-распределение плотности потока тепловых нейтронов по радиусу актив-

ной зоны (в плоских круговых поверхностях на любой фиксированной высоте z над (или под) центром активной зоны) подчиняется закону функции Бессе-

ля первого рода нулевого порядка:

где Фоz = Ф(z,r=0) - значение плотности потока тепловых нейтронов на оси симметрии активной зоны на высоте z (рис.6.9).

Функция Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действительного аргумента x появляется при решении волнового уравнения в цилиндрической системе координат. Начальный участок графика этой функции (при изменении x в пределах от 0 до 2.405) напоминает график функции косинуса в пределах от 0 до π/2: при x = 0 Io = 1, а при x = 2.405 Io = 0 (рис.6.10). Более того, значения этих функций при значениях аргумента x в указанных интервалах их с точностью до + 2% совпадают.

I0(x) 1.0

0.5

0

- 0.5

Рис.6.10. График функции Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действительного аргумента.

В связи с тем, что график Io(x) пересекает ось абсцисс при xo = 2.405, это значение аргумента называют первым корнем (или первым нулём) функции Бесселя первого рода нулевого порядка.

Функция Io(x), наряду с другими бесселевыми функциями, приводится в графическом и табличном виде в справочниках по специальным функциям.

Характер косинусоидально-бесселевского распределения плотности потока тепловых нейтронов в цилиндрической гомогенной активной зоне действителен (совпадает с реальным) для любых точек активной зоны, исключая точки, лежащие в пределах относительно тонкого приграничного слоя толщиной ~ 2λtr среды активной зоны, где действительный характер распределения Ф(z,r) несколько отклоняется от аналитического в сторону увеличения.

Учитывая, что транспортные макросечения сред активных зон ВВЭР не превышают нескольких см -1, соответствующие им величины длины линейной экстраполяции d оказываются не выше 1 см. Поэтому распределение Ф(z,r) в цилиндрических гомогенных активных зонах с размерами более 1 м фактически определяется не столько

величиной d, сколько действительными размерами активной зоны.

Этот вывод справедлив и для гетерогенных тепловых реакторов.

6.4.3. Выражение для геометрического параметра цилиндрической активной зоны. Это выражение получается путём подстановки решения волнового уравнения (6.4.7) в равенство (6.4.1). После преобразований получается: