Материал: Мерзликин Г.Я. Основы теории ядерных реакторов. Курс для эксплуатационного персонала АЭС

Тема 6.

ДИФФУЗИЯ И РАЗМНОЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ТЕПЛОВОГО РЕАКТОРА

В полученной ранее формуле для величины эффективного коэффициента размножения в тепловом реакторе

kэ = η ε ϕ θ pз pт

есть сомножитель pт, который так же логически напрямую связан с процессом диффузии тепловых нейтронов в реакторе, как величина pз - с процессом замедления.

Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов - это доля тепловых нейтронов, избежавших утечки из активной зоны в процессе диффузии, от общего числа генерируемых в активной зоне тепловых нейтронов поколения.

Диффузия тепловых нейтронов, как и замедление эпитепловых, - это процесс пространственного их перемещения в среде активной зоны реактора. Единственной разницей этих процессов является то, что при замедлении кинетическая энергия нейтронов быстро снижается за счёт рассеяний на ядрах среды, а при диффузии величина кинетической энергии тепловых нейтронов слабо колеблется от рассеяния к рассеянию около среднего значения. В силу того, что сами ядра среды в своем тепловом движении обладают различными кинетическими энергиями, величины которых колеблются около некоторого среднего значения, определяемого термодинамической температурой среды.

А раз так, то тепловым нейтронам в процессе диффузии так же свойственно испытывать утечку из объёма активной зоны, как и эпитепловым - в процессе замедления. Хотя - явно в меньшей степени: скорости движения тепловых нейтронов во много раз меньше скоростей замедляющихся нейтронов, а возможностей для взаимодействий с ядрами среды (в частности - для поглощений) у тепловых нейтронов существенно большие, чем у эпитепловых (у подавляющего большинства ядер микросечения поглощения тепловых нейтронов существенно большие, чем сечения поглощения нейтронов любых других энергий).

Как и у замедляющихся нейтронов, утечка из активной зоны тепловых нейтронов возможна не из любой точки ее объёма, а лишь из периферийного её слоя. Тепловые нейтроны, родившиеся в результате процесса замедления в пределах этого слоя, могут покинуть активную зону раньше, чем они будут поглощены, но рождённые в более глубоких слоях тепловые нейтроны - такой возможности лишены.

Аналогичные представления и сходство в рассуждениях о процессах замедления и диффузии приводят к одинаковому выводу, касающемуся величины вероятности избежания утечки тепловых нейтронов; поэтому нет нужды повторять рассуждения, уже приводимые в начале п.5.1 для pз; по аналогии запишем сразу для величины pт:

рт = f (геометрии а.з., каких-то диффузионных свойств среды а.з.)

И если аналогичную зависимость для величины pз в п.5. удалось расшифровать: pз = f(B2; τт), - то относительно зависимости величины pт от параметра реактора B2 мы пока можем говорить лишь предположительно, а что собой представляет характеристика диффузионных свойств среды активной зоны - пока неясно.

Но начнём всё-таки с неё. Интуиция подсказывает, что эта характеристика должна быть сходной по смыслу с возрастом тепловых нейтронов, то есть она должна отражать способность среды активной зоны давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение тепловых нейтронов в процессе их диффузии в этой среде.

6.1.Закон диффузии тепловых нейтронов и длина диффузии

6.1.1.Нейтронный газ и его температура. Называть совокупность тепловых нейтронов в среде нейтронным газом имеются все формальные основания. Действительно, тепловые нейтроны по их свойствам близки к идеальному газу:

-из-за электронейтральности нейтроны не взаимодействуют друг с другом;

нейтронам принципиально чужды силы взаимодействия типа вандерваальсовых сил межмолекулярного сцепления в реальных газах, то есть сил электрической природы;

-нейтронный газ - пространственно очень разреженная совокупность частиц:

плотность нейтронов в самых энергонапряжённых реакторах по порядку величины не превышает 109 нейтр/см3, в то время как, скажем, молекулярная концентрация воды в разреженном перегретом паре составляет никак не меньше 1019 молекул/см3.

Близость свойств нейтронного газа к свойствам идеального газа даёт возможность описывать движение больших совокупностей свободных тепловых нейтронов в среде с использованием зависимостей молекулярной теории идеальных газов.

Скажем, абсолютная температура идеального газа Т - параметр его состояния, связанный с наиболее вероятной энергией молекул этого газа зависимостью Енв = kТ, где k = 8.62 .10-5 эВ/К - константа Больцмана. У тепловых нейтронов величина наиболее вероятной энергии

Енв = kTн

тоже связана с величиной температуры нейтронов пропорциональной связью с тем же коэффициентом пропорциональности k, но это не означает, что температуры среды и нейтронов - одна величина, хотя по определению тепловые нейтроны и находятся в кинетическом равновесии с ядрами среды, в которой они движутся. Положение максимума спектра тепловых нейтронов, как говорилось в п.5.6, определяется не только температурой, но и соотношением поглощающих и замедляющих свойств среды. Если бы среда не поглощала тепловые нейтроны, положения максимумов больцмановского спектра молекул и максвелловского спектра тепловых нейтронов, движущихся в этой среде, в точности совпадали бы, а, значит, совпадали бы и величины температур среды и нейтронов. Но идеальных, не поглощающих нейтроны, сред в природе нет, поэтому в реальных средах температура нейтронов Тн всегда выше, чем температура Т среды, где движутся тепловые нейтроны, и различие этих температур тем больше, чем меньше величина коэффициента замедления среды (см. формулу (5.6.4)).

6.1.2.Закон диффузии тепловых нейтронов. Из близости свойств нейтронного

иидеального газов следует, что описание интенсивности направленного переноса тепловых нейтронов в среде должно подчиняться закону газовой диффузии Фика, который, как оговорено в соответствующем разделе кинетической теории, в полной мере справедлив только для идеальных газов.

Газовая диффузия - процесс направленного переноса молекул газа, движущей силой которого является разница молекулярных концентраций газа в различных точках объёма среды. Перенос молекул направлен от зоны с большей концентрацией молекул к зоне с меньшей их концентрацией, и при длительном протекании в замкнутом объёме

он приводит к выравниванию концентраций по всему этому объёму. Так же обстоит дело и с тепловыми нейтронами, диффундирующими в среде. Разница в представлениях о газовой и нейтронной диффузии состоит только в том, что:

-при газовой диффузии молекулы сталкиваются и обмениваются кинетическими энергиями между собой непосредственно, а обмен кинетическими энергиями между тепловыми нейтронами происходит не в непосредственных столкновениях, а опосредствованно, то есть через посредство ядер среды, которые рассеивают их в процессе диффузии;

-при газовой диффузии газовые молекулы не исчезают, а при диффузии тепловых нейтронов в реальных средах происходит непрерывное их поглощение.

Применительно к диффузии тепловых нейтронов закон Фика записывают так:

В этом выражении:

R

I (r ) - вектор плотности тока диффузии тепловых нейтронов в точке среды с ко-

ординатами r (напомним: величина вектора I определяет интенсивность направленного перемещения нейтронов через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению этого вектора, за единицу времени, а сам вектор указывает направление их переноса);

Ñn(r ) - оператор Гамильтона функции n(r ) распределения плотности тепловых

нейтронов по координатам, иначе называемый в теории поля градиентом функции n в точке с координатами r . Градиент - тоже вектор, но его направление - направление

возрастания плотности нейтронов - противоположно направлению вектора I , поэтому в правой части (6.1.1) и стоит знак минус.

Скалярная величина градиента представляет собой сумму частных производных функции плотности нейтронов по координатам:

| grad n( r ) | = dn/dx + dn/dy + dn/dz,

так что в частном случае линейной диффузии, когда плотность нейтронов изменяется только вдоль одной координатной оси, величина градиента плотности нейтронов вырождается в обычную первую производную функции плотности по этой координате.

D* - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии.

Так как вектор плотности тока I имеет скалярную размерность нейтр/см2с, а градиент плотности нейтронов - нейтр/см4, то размерность коэффициента диффузии D* - см2/с.

В теории реакторов в силу большего удобства закон Фика чаще записывают не через градиент плотности тепловых нейтронов, а через градиент плотности их потока (grad Ф). Формально умножив и разделив правую часть (6.1.1) на одну и ту же величину - среднюю скорость движения тепловых нейтронов (v), получим:

сохраняет смысл коэффициента диффузии, то есть плотности тока при единич-

ной величине градиента плотности потока тепловых нейтронов.

В кинетической теории нейтронов доказано, что величина этого коэффициента D определяется рассеивающими свойствами среды с учётом анизотропии рассеяния тепловых нейтронов на её ядрах, то есть:

Таким образом, в развёрнутом виде закон диффузии тепловых нейтронов:

6.1.3. Время диффузии тепловых нейтронов. Под временем диффузии tд пони-

мается среднее время от момента рождения теплового нейтрона до момента его поглощения.

Путь теплового нейтрона от точки рождения до точки поглощения

Точка рождения ТН (точка, в которой замедляющийся нейтрон «пересёк» Ес )

В течение времени диффузии тепловой нейтрон в среде пробегает ломаный путь, равный среднему пробегу до поглощения в рассматриваемой среде λa = 1/Σa. А поскольку тепловой нейтрон проходит этот путь со средней скоростью v, время, за которое он его проходит:

Для получения представлений о порядке величины tд в различных средах подсчи-

таем её для для стандартных нейтронов (v = 2200 м/с).

Вводе при нормальных условиях (Σa » 0.02 см-1): tд = 1/(2.2 .105 .0.02) » 2.3 .10-4 c;

Вграфите (γ = 1.6 г/см3, Σa » 3 . 10-4см-1): tд = 1/(2.2 .105 . 3 .10-4) » 0.015 c;

Втопливной композиции UO2 плотностью γ = 10 г/см3 при обогащении x = 2% (Σa » 0.36 см-1) tд = 1/(2.2 .105 . 0.36) » 1.26 .10-5 c.

Как видим, время диффузии тепловых нейтронов - величина, значительно большая времени замедления их до теплового уровня в тех же средах (см.п.5.7). Чем больше поглощающих материалов присутствует в активной зоне теплового реактора, тем меньше величина времени диффузии тепловых нейтронов, а, значит, - меньше среднее

время жизни поколения нейтронов в реакторе.

6.1.4. Длина диффузии. Ранее вскользь отмечалось, что диффузионная характеристика среды активной зоны, определяющая величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов, должна быть связана со среднеквадратичным пространственным смещением тепловых нейтронов в процессе диффузии таким же образом, как возраст тепловых нейтронов связан со среднеквадратичной длиной замедления. К этому подталкивает почти полная аналогия представлений о процессах замедления и диффузии.

По определению кинетической теории нейтронов:

Квадрат длины диффузии тепловых нейтронов в среде - шестая часть среднего квадрата удаления теплового нейтрона в момент его поглощения от точки его рождения в этой среде.

И поскольку полученное в кинетической теории значение среднего квадрата пространственного смещения теплового нейтрона при диффузии:

___

lт2 = 2/Σa Σtr,

то величины квадрата и самой длины диффузии будут равны:

Как видим, квадрат длины диффузии L2 - такая же и по смыслу, и по размерно-

сти (см2) характеристика диффузионных свойств среды, какой является возраст теп-

ловых нейтронов τт - характеристика замедляющих свойств среды. Длина диффузии среды L (и её квадрат) характеризует её способность давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение теплового нейтрона от точки рождения до точки его поглощения.

Поэтому каждому конкретному веществу в нормальных условиях (при t = 20оС или Т = 293К и нормальном атмосферном давлении) свойственна своя, стандартная длина диффузии, например:

-у воды (Н2О) Lo = 2.714 см;

-у графита (С) Lo = 51.2 см;

-у бериллия (Ве) Lo = 22.1 см;

-у оксида бериллия (ВеО) Lo = 30.0 см;

- у тяжёлой воды (D2O) Lo = 171 см и т.д.

Стандартные длины диффузии большинства материалов, используемых в реакторостроении, приводятся в справочниках по ядерным константам.

6.1.5. Зависимости длины диффузии веществ от температуры и давления. Так как величины макросечений поглощения и транспортного равны произведениям соответствующих микросечений на ядерную концентрацию:

Σa = σa N и Σtr = σtr N,

то выражение для квадрата длины диффузии однородного вещества можно представить в таком виде:

В правой части выражения (6.1.8а) влиянию температуры подвержены две величины - микросечения поглощения σ a и ядерной концентрации N.

Величина микросечения поглощения ядер любого вещества с ростом температуры

падает

так как с ростом температуры вещества приблизительно пропорционально величине температуры Т растёт и температура нейтронов Тн.

Ядерная концентрация жидкого или газообразного вещества с ростом температуры падает, твёрдого вещества - практически не изменяется.

Температурное уменьшение σa и N в соответствии с (6.1.8а) приводит к одно-

значному увеличению длины диффузии. Схематически это выглядит так: