Материал: Методические указания к лабораторным работам №1-4 по дисциплине «Современные технологии обработки информации». Разинкин К.А

В пакете STATISTICA выводятся значения стандартных отклонений (St. Error of В):

и

(см. рис. Результаты регрессии).

2. Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии вы­числяются по следующим формулам:

для

для ,

где — квантиль распределения Стьюдента с (n-k) степенями свободы порядка

При доверительной вероятности =0,95, (5-2) = (используйте статистический калькулятор!)

Окончательно имеем следующие значения доверительных интервалов:

для ,

для

Таким образом, оба коэффициента регрессии и , незначимы на уров­не значимости =0,05, т. к. 95%-е доверительные интервалы для и , включают нуль.

В пакете STATISTICA (см. рис. 8) вычисляются значения t-статистик для проверки гипотезы

Рис.8. Результаты регрессии

и для проверки гипотезы

Обе гипотезы принимаются на уровне значимости соответственно:

и .

Доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений определя­ется по формуле

где и — квантили распределения с степенями свободы. При доверительной вероятности имеем (исполь­зуйте статистический калькулятор!) при п = 5 и k=2:

Таким образом доверительный интервал для дисперсии ошибок наблю­дений имеет вид

или окончательно

0,187 < < 6,75.

3. Сумма квадратов, обусловленная регрессией

(сравните результаты расчета с результатами дисперсионного анализа, рис. 9).

Рис.9. Результаты дисперсионного анализа

4. Проверяем тождество Q_y =Q_R + Q_e: 3,928 2,472 + 1,457 =3,929.

5. Проверим гипотезу о незначимости регрессионной модели по критерию Фишера.

Выборочное значение статистики Фишера F равно

Так как F_B меньше квантили распределения Фишера , то гипотеза не отклоняется: регрессионная мо­дель незначима (сравните этот результат со значениями F-статистики и p-уровня на рис. 2).

Тот же результат получим используя 95%-й доверительный интервал для : (-0,235; 1,387).

Так как 95%-й доверительный интервал для р, накрывает 0, гипотеза принимается на уровне значимости =0,05.

6. График остатков. В данном примере число остатков очень мало (п = 5) поэтому сделать какие-либо выводы о выполнении предположений регрессионного анализа по остаткам нельзя. Более того, так как регресси­онная модель незначима, то проверка этих предложений лишена смысла.

7. Вычислим статистику Дарбина—Уотсона

Для п - 5 критических значений статистики Дарбина—Уотсона в табли­це нет. Поэтому проверить гипотезу о некоррелированно­сти остатков при столь малом числе наблюдений нельзя.

6. Вычислим доверительные интервалы для предсказанных значений. Здесь надо иметь в виду, что если регрессионная модель незначима и не­адекватна результатам наблюдений, как это имеет место в данном примере, то эту модель использовать для прогноза нельзя. Мы приведем соответст­вующие расчеты, чтобы продемонстрировать только технику вычислений.

Найдем предсказанное значение Y в точках:

Границы доверительного интервала для среднего предсказанного значения (confidence limit) вычисляются по формуле

или по более общей формуле:

где — вектор-строка регрессионной матрицы А; в случае простой ли­нейной регрессии:

В данном примере, при доверительной вероятности имеем при

.

По более общей формуле

Таким образом, доверительный интервал для среднего предсказанного значения равен

Чтобы вычислить доверительный интервал для индивидуального предска­занного значения (prediction limit) оценка дисперсии должна вклю­чать еще один источник вариации — разброс относительно линии регрес­сии, определяемый дисперсией S². Таким образом, доверительный интер­вал для индивидуального значения вычисляется по формуле

или, в общем случае:

В рассматриваемом примере для индивидуального предсказанного зна­чения Y при х₀₁ = 7, получим следующие значения границ доверительного интервала

или по общей формуле

Аналогично вычисляются значения границ доверительных интервалов для среднего и индивидуального предсказанного значения Y при Соответственно, имеем:

;

Выполнение задания в пакете STATISTICA

Основные моменты статистического анализа результатов расчетов для простой линейной регрессии в пакете STATISTICA мы уже прокомменти­ровали[4].

Рассмотрим вычисление предсказанных значений и доверительных ин­тервалов для них.

Вычисления выполняются при нажатии кнопки Predict dependent vari­able (предсказанное значение зависимой переменной) в окне Multiple Reg­ression Results (рис. 10).

Рис. 10. Окно результатов множественной регрессии

Предварительно надо задать уровень значимости и вид вычисляемого доверительного интервала: Confidence limits — дове­рительный интервал для среднего предсказанного значения; или Prediction limits — доверительный интервал для индивидуального предсказанного значения.

Нажав кнопку и задав значение независимой переменной, например, 0, в таблице результатов (рис. 11) получим предсказанное значение: и 90%-е доверительные интервалы для среднего предсказан­ного значения: (3,748; 5,227).

Рис. 11. Вычисление предсказанного значения

Множественная регрессия. Пример 2.

Руководство авиакомпании по результатам анализа деяте­льности 15 своих представительств получило следующие данные за март месяц: