Материал: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Модели безопасности компьютерных систем» для студентов специальности 090301 «Компьютерная безопасность». Гончаров И.В., Остапенко А.Г

Практическое задание №3 Числа с фиксированной и плавающей запятой

Цель практической работы заключается в изучении способов работы и методов представления чисел с фиксированной и плавающей запятой.

Задачи практического задания:

рассмотреть способы представления чисел с фиксированной и плавающей запятой в ЭВМ;

изучить алгоритм нормализации числа с плавающей точкой;

изучить алгоритм сложения чисел с плавающей точкой;

изучить алгоритм умножения чисел с плавающей точкой.

Теоретические сведения

В ЭВМ числа представлены в двоичной форме и под число отводится N разрядов. N-разрядное двоичное число называют машинным словом. Диапазон представления чисел можно расширить за счет использования машинных слов двойной и тройной длины. Но увеличение длины слова не может разрешить всех проблем представления чисел. Рассмотрим как обращаться с дробной частью числа, как представлять очень большие и очень маленькие числа.

В зависимости от типа ЭВМ, используют две формы представления чисел [4]:

числа с плавающей запятой (точкой), которые сокращенно называются ЧПЗ;

числа с фиксированной запятой (ЧФЗ), которые подразделяются по месту фиксации запятой на:

- слева от СЗР (дробные |X| < 1);

-справа от МЗР (целые).

19

Числа с фиксированной запятой

Используют два варианта представления целых чисел - со знаком и без знака. В последнем случае все разряды служат для представления модуля числа. В ЕС-ЭВМ реализуются оба этих варианта в формате слова и полуслова.

Рис. 5. Формат представления целых чисел в мини- и микро-ЭВМ

Рассмотрим диапазон представления чисел с фиксированной запятой (только целых чисел, т.е. точка фиксирована справа от МЗР). Если в разрядной сетке N разрядов, то под модуль числа отводится N-1 разряд (число со знаком). Самое большое по модулю число, записанное в такой сетке, имеет вид:

При записи отрицательных чисел в дополнительном коде наибольшее по модулю отрицательное число - это -2N-1. Но модуль этого числа при такой же разрядной сетке (N бит) получить уже нельзя. Поэтому диапазон представления десятич-

20

ных чисел N-разрядным двоичным числом определяется следующим выражением:

-2N-1X 2N-1-1

В табл. 3 приведены диапазоны представления десятичных чисел 8-, 16- и 32разрядными двоичными числами.

Таблица 3 Диапазоны представления десятичных чисел 8-, 16- и 32разрядными двоичными числами

В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным возможностям машинах. Подобные ЭВМ применяют в системах передачи данных, для управления технологическими процессами, для обработки измерительной информации в реальном масштабе времени, для построения кодирующих и декодирующих устройств в каналах связи. В ЭВМ общего назначения основным является представление чисел с плавающей запятой.

Числа с плавающей запятой

Представление чисел в виде ЧПЗ позволяет избавиться от операции масштабирования при вычислениях, поскольку диапазон представляемых чисел существенно расширяется по сравнению с ЧФЗ. Однако, в большинстве ЭВМ общего назначения, для целых чисел сохраняется возможность представления в виде ЧФЗ. Операции с ЧФЗ всегда выполняются за

21

меньшее время, чем операции с ЧПЗ. В частности, к операциям с целыми числами сводятся операции над кодами адресов (операции индексной арифметики).

Представление чисел с плавающей запятой в общем случае имеет вид:

где q - мантисса (правильная дробь со знаком), p - порядок (целое число со знаком),

S - основание,

SP - характеристика.

В ЭВМ q и p представлены в системе счисления с основанием S в соответствующей двоичной кодировке. Знак числа совпадает со знаком мантиссы. Порядок может быть как положительным так и отрицательным и определяет положение точки в числе X. Арифметические действия над ЧПЗ требуют, помимо действий с мантиссами, определенные операции над порядками (сравнение, вычитание и др.) [1].

При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в ЭВМ нормализованным числом с наибольшей возможной точностью. Число называется нормализованным, если мантисса q удовлетворяет условию: 1>|q| 1/S, т.е. старший разряд мантиссы в S-ричной системе счисления отличен от нуля, иначе число ненормализованно. Так, например, в десятичной системе счисления число 0.00726*10-3 - ненормализовано, а число 0.726*10-5 - нормализовано.

Пусть r старших разрядов S - ричной мантиссы равны нулю. Тогда нормализация состоит из:

-сдвиг мантиссы на r разрядов влево;

-уменьшение PСМ на r единиц;

-в r младших разрядов мантиссы записываются 0.

При этом число не изменяется, а условия нормализации выполняются.

22

Пример:

Нормализовать двоичное число. Ненормализованное двоичное число:

001*0.010=(21*0.25)(10)=0.5(10) p q

Нормализованное двоичное число:

Pнорм=p-1; q - сдвиг на 1 разряд влево

000*0.100=(20*0.50)(10)=0.5(10)

pнорм qнорм

Сложение (вычитание) ЧПЗ

Требуется вычислить Z=X Y, при условии, что |X||Y|. Формальное выражение для выполнения этой операции можно записать следующим образом:

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1.Производится выравнивание порядков. Порядок меньшего по модулю числа принимается равным порядку большего, а мантисса меньшего числа сдвигается вправо на число S-ричных разрядов, равное разности (Px-Py), т.е. происходит денормализация.

2.Производится сложение (вычитание) мантисс, в результате чего получается мантисса суммы (разности).

3.Порядок результата равен порядку большего числа.

4.Полученный результат нормализуется.

23