Материал: Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов специальностей. Самодурова Т.В., Андреев А.В

соответствующее число процентов от верхнего предела измерений. Если 0 находится внутри шкалы, то берется число процентов от большего по модулю пределов измерений. Класс точности позволяет определить не точность конкретного измерения, а лишь указать пределы, в которых находится значение измеряемой величины и присваивают данному типу средств измерений по результатам приемочных испытаний.

Лабораторная работа №2. Обработка результатов измерений, классы точности средств измерений

Цель работы – ознакомится с методиками обработки результатов прямых равноточных и косвенных измерений, основными метрологическими характеристиками средств измерения.

В лабораторной работе необходимо выполнить три задания. Номера вариантов заданий выбираются по последней цифре шифра студенческого билета, а сами задания в соответствии с прил. 2 (табл. П. 2.2 – П. 2.4).

Задание № 1. Найти среднее значение расстояния между ориентирами осей здания при количестве измерений равном n и доверительном интервале, в котором находится это значение, с доверительной вероятностью Рд.

Пример выполнения задания № 1

Необходимо найти среднее значение расстояния между ориентирами при пятикратном измерении, если получены следующие значения: 20,489; 20,483; 20,485; 20,488; 20,494 (м), и определить доверительный интервал, в котором находится это значение, с доверительной вероятностью Рд = 0,98.

Решение

- определим среднее значение измеренной величины по формуле (2.1):

X(20,489 + 20,483 + 20,485 + 20,488 + 20,494)/5 =20,488;

-вычислим среднее квадратическое отклонение σ по формуле (2.3):

-вычислим среднее квадратическое отклонение для среднего арифметического по формуле (2.5):

Х 0,004215 0,00188 ;

-определим по формуле (2.6) границы доверительного интервала, в кото-

ром с заданной вероятностью Рд = 0,98 и величиной коэффициента Стьюдента tс=3,75 (табл. П. 2.1) находится полученное значение:

11

I Д (X tc X ; X tc X ) = (20,488-0,007; 20,488+0,007) = (20,491;20,495)

Результат измерения можно записать в виде 20,488 ± 0,007 м при доверительной вероятности Рд = 0,98.

Задание № 2

Найти результат косвенных измерений физической величины при заданной доверительной вероятности.

Пример выполнения задания № 2

Сопротивление нагрузки определяется по закону Ома R=U/I. Показания вольтметра U = 100 В, амперметра I = 2 А. Средние квадратические отклонения

показаний: вольтметра σU = 0,5 В, амперметра σI = 0,05 А. Найти доверительные границы истинного значения сопротивления с вероятностью Рд = 0,95

Решение

Найдём среднее значение величины R исходя из средних значений величин вольтметра U и амперметра I :

R=100/2=50 Ом.

Для оценки точности полученного результата вычислим частные производные и частные погрешности измерений:

Определим доверительные границы для приборов, приняв величину коэффициента Стьюдента tс =1,96 для n=∞ (табл. П. 2.1):

U tc U 1,96 0,5 0,98 Ом;I tc I 1,96 0,05 0,098 Ом.

По формуле (2.8) рассчитаем результирующую погрешность косвенного измерения:

R ( fU )2 U 2 ( fI )2 I 2 (0,5)2 (0,98)2 ( 25)2 (0,098)2 2,5 Ом.

Следовательно, результат измерения для доверительной вероятности Рд=0,95 можно записать в виде 50±2,5 Ом.

Задание № 3

Найти, в каком диапазоне находится значение измеряемой величины, если известен класс точности прибора, диапазон показаний (шкала прибора) и показание прибора.

12

Пример выполнения задания № 3

Класс точности прибора 0,5 = 5·10 -1, шкала прибора от 0 до 200 0 С, показание прибора 124 0 С. Чему равна измеряемая величина?

Решение

Найдём предел допускаемой погрешности как 0,5 % от верхнего предела измерений (200 0 С):

200×0,5/100 = 1 0 С,

следовательно, измеряемая величина равна T= 124±1 0 C или находится в пре-

делах 123 0 С ≤ T ≤125 0 С.

3. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешность измерений – отклонение результатов измерений от истинного (действительного) значения измеряемой величины.

По характеру проявления различают следующие виды погрешностей: систематические погрешности – это погрешности, которые остаются

постоянными или изменяются по определённому закону при повторных измерениях одной и той же величины. Если причины, вызывающие эти погрешности, известны, то погрешности можно скомпенсировать введением поправок;

случайные погрешности – это погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторном измерении одной и той же величины. Влияние случайных погрешностей на результат измерения можно уменьшить увеличением числа измерений;

грубые погрешности – это "промахи", которые существенно превышают по модулю допустимые для данных измерений числовые значения погрешностей. Причинами возникновения таких погрешностей могут быть неисправные приборы, резкое нарушение внешних условий или невнимательность экспериментатора.

Грубые погрешности должны быть полностью исключены из дальнейшей обработки результатов измерений, так как они могут привести к неправильным выводам. С помощью статистических методов можно выявить результаты измерений, содержащие грубые погрешности.

Правило (метод) «трех сигм» (критерий Райта). Этот метод применя-

ется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. Согласно методу значение допустимой погрешности равно отклонению результата

измерения от истинного значения на 3 .

Результат Xi содержит грубую погрешность, и его нужно исключить из расчетов, если выполняется одно из соотношений

13

Для проверки соотношений (3.1) по результатам измерения вычисляют основные статистические характеристики:

-среднее значение (математическое ожидание) по формуле (2.1),

-дисперсию (разброс) результатов по формуле (2.4),

-среднее квадратическое отклонение в зависимости от величины n по формулам (2.2) или (2.3).

По методу «трех сигм» из ряда результатов измерений с доверительной вероятностью Рд=0,997 исключаются значения, которые находятся за предела-

ми доверительного интервала ( Х 3 ; Х 3 ). Таким образом, вероятность того, что принадлежащий к нормальной совокупности результат будет ошибочно исключен,составляет0,3%,чтосоответствуетуровнюзначимости =0,003.

Данный метод дает надежный результат при количестве измерений n 20 . Среднее значений результатов измерений X и среднее квадратическое отклонение вычисляют без учета экстремальных значений Хi.

При малом количестве измерений (n<20) для исключения грубых погрешностей применяют метод Романовского.

Предельно допустимую ошибку (максимальную крайнюю погрешность) в статистическом ряду измерений вычисляют по формуле [1]

где tp - коэффициент, зависящий от количества измерений n и довери-

тельной вероятностиРд (принимаетсяпоспециальнымтаблицам, табл.П.3.3).

В соответствии с правилом Романовского резко выделяющиеся результаты измерений Xmin или Xmах содержат грубую ошибку и исключаются из статистического ряда, если выполняются соотношения

Лабораторная работа №3. Грубые погрешности и методы их исключения

Цель работы – ознакомиться с методиками обработки результатов измерений контролируемого параметра, которые содержат грубые погрешности, для их исключения.

14

В лабораторной работе необходимо выполнить два задания. Номера вариантов заданий выбираются по последней цифре шифра студенческого билета, а задания в соответствии с прил. 3 (табл. П. 3.1 – П. 3.2).

Задание № 1. В результате измерений получено n значений случайной величины (X).

Необходимо определить резко выделяющееся значение и проверить, можно ли его исключить по правилу «трех сигм».

Пример выполнения задания № 1

В результате измерений получено двадцать значений физической величи-

ны (X): 4,2; 4,5; 5,2; 4,0; 3,8; 3,6; 3,7; 4,3; 4,2; 3,9; 3,8; 4,1; 3,6; 4,5; 3,7; 4,0; 4,4; 4,2; 3,9; 4,1.

Решение

Значение 5,2 резко отличается от остальных и вызывает сомнение. Проверим, можно ли его использовать при дальнейшей обработке результатов или следует отбросить.

Исключим результат, вызывающий сомнение, и вычислим среднее значение (математическоеожидание)оставшихсярезультатовизмеренийпоформуле(2.1):

X(4,2 4,5 4,0 4,1) /19 4,026 ,

-вычислим дисперсию по формуле (2.4):

D (4,2 4,026)2 (4,5 4,026)2 (4,0 4,026)2 (4,1 4,026)2 1,477 , - вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле (2.3):

- найдем величину 3 :

3 = 3×0,286 = 0,859.

Доверительный интервал, в котором находится результат измерения, составляет

Таким образом, значение 5,2 не входит в интервал 3 , следовательно, по правилу «трех сигм» его следует отбросить.

Задание № 2. В результате измерений получено n значений случайной величины (X). Необходимо определить резко выделяющееся значение и прове-

15