ГОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

A.B. Арсентьев А.В. Строгонов Д.С. Шацких

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2011

УДК 22.183.4

Арсентьев А.В. Моделирование технологических процессов: учеб. пособие / A.B. Арсентьев, А.В. Строгонов, Д. С. Шацких. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. 82 с.

В учебном пособии рассматривается моделирование технологических процессов в современной микро- и наноэлектронике.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 210100 «Электроника и микроэлектроника», специальности 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», дисциплине «Математическое моделирование технологических процессов и интегральных микросхем».

Предназначено студентам очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word for Windows и содержится в файле УчебпособиеМодТехПроц.doc.

Табл. 1. Ил. 7. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. С.И. Рембеза

Рецензенты: кафедра физики полупроводников и микроэлектроники Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Н. Бормонтов); д-р техн. наук, проф. М.И. Горлов

© Арсентьев А.В., Строгонов А.В., 

Шацких Д.С., 2011

© Оформление. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011

Введение

Математическое моделирование сначала полупровод­никовых приборов, а затем и технологических процессов микроэлектроники, открывшееся пионерской работой Гумме-ля в 1964 г., к настоящему времени прошло стадию первона­чальных научных исследований и всё больше становится рабо­чим инструментом как для проектировщиков, так и для тех­нологов. В настоящее время в дополнение к уже имеющимся и уже зарекомендовавшим себя прикладным программным пакетам на рынке появляются новые, и перед их потенци­альными покупателями-специалистами микроэлект­рон­ной отрасли возникает задача выбора пакета с необходи­мы­ми возможностями и по приемлемой цене, поскольку программ­ная продукция на мировом рынке стоит дорого. Введение настоящего курса в учебный план специальности 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника» имеет целью ознакомить студентов с основными идеями машинного моделирования, апробированными и используемыми в современной микроэлектронике.

При изучении настоящей дисциплины основное вни­мание в моделировании как технологических процессов, так и полупроводниковых приборов уделено методу конечных разностей, а с методами конечных элементов, граничных эле­ментов и Монте-Карло дается общее ознакомление.

Данную дисциплину нельзя считать законченной и устоявшейся в связи с тем, что с уменьшением размеров интегральных элементов, ростом их быстродействия и с развитием возможностей микроэлектронной технологии могут стать необходимыми новые физические идеи и численные методы. Однако мы рассчитываем, что идеи и методы, изложенные в настоящем пособии, сохранят свою актуальность в прикладных разработках и серийном полупроводниковом производстве в течение 5-7 лет.

Процесс проектирования современных БИС и СБИС достиг того уровня, когда натурные эксперименты на макетах не только стали экономически невыгодными, но и не гарантируют эффективной работы реальной БИС. Отсюда вытекает настоятельная необходимость сквозного математического моделирования на всех основных этапах проектирования: "технология - элемент - схема".

Моделирование основных технологических процессов позволяет решать задачи получения профиля примесей, электрофизических характеристик полупроводниковых слоев и топологии проектируемых элементов, что, в свою очередь, обеспечивает исходными данными для решения задач проектирования элементов схемы.

Моделирование физических процессов в интегральных структурах позволяет получить основные электрические характеристики элементов, необходимых для основных эксплуатационных параметров проектируемой схемы.

Следует отметить также, что математическое моделирование физических процессов является мощным инструментом фундаментальных научных исследований как в области создания принципиально новой элементной базы, так и для разработки перспективных технологических процессов.

Математической моделью (ММ) какого-либо объекта называется любое математическое описание, отражающее со­сто­я­ние или поведение объекта с требуемой степенью точнос­ти. Сам процесс получения модели и расчет с ее помощью требуемых характеристик называется математическим моделированием. В литературе часто встречается близкий по смыслу термин «симулирование», под которым понимается получение количественных результатов на ЭВМ.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Универсальность ММ оценивается по числу решаемых с помощью этой модели задач проектирования.

Точность ММ определяется по относительной или абсолютной погрешности моделируемых параметров, то есть характеризует разницу между истинным значением и значением, вычисленным по этой модели.

Адекватность ММ – это способность модели отобра­жать поведение объекта в заданной области с требуемой точностью. Обычно адекватность ММ определяется величиной этой области. Но при оценке адекватности рассматриваются лишь те свойства модели, которые необходимы проектировщику на данном конкретном этапе.

Экономичность ММ определяется затратами вычисли­тель­ных ресурсов при моделировании. Количественная оценка экономич­ности ММ чаще всего определяется как число машин­ных операций, затраченных на расчет одного выходно­го параметра. Дополнительно указываются требуемые расхо­ды оперативной памяти. Такая оценка экономичности поз­во­ля­ет сравнивать модели, реализованные на различных ЭВМ.

Указанные выше противоречивые требования к ММ на практике удовлетворяют обычно компромиссно путем использования не единой, а множества различных моделей, объединенных в так называемые библиотеки моделей, каждая из которых ориентирована на решения достаточно узкого класса задач проектирования.

Из всего многообразия уравнений в частных производных рассмотрим лишь те, которые используются при моделировании типовых технологических процессов и элементов ИС. К таким уравнениям в первую очередь относится уравнение эллиптического типа, которое может быть записано в виде

(1.1)

Уравнения эллиптического типа возникают в следующих типовых задачах моделирования:

• распределение поля и потенциала в диэлектрических пленках (уравнение Лапласа);

• равновесное распределение зарядов, поля, потенциала в различных слоях полупроводниковых элементов (уравнение Пуассона);

• равновесное распределение температуры в силовых полупроводниковых приборах.

Второй по распространенности тип уравнений – уравнения параболического типа:

(1.2)

Этот тип уравнения встречается при решении следую­щих задач:

•моделирование процессов окисления и диффузии (2-е уравнение Фика);

•моделирование эпитаксиального наращивания полу­проводниковых слоев;

•моделирование нестационарных режимов работы по­лупроводниковых приборов (уравнение непрерывности).

Математическая постановка задачи моделирования на основе вышеприведенных уравнений включает в себя форму­лировку начальных (гиперболические уравнения ) и гранич­ных условий (гиперболические и эллиптические уравнения). В общем случае различают три типа граничных условий:

•граничное условие первого рода (условие Дирихле):

(1.3)

•граничное условие второго рода (условие Неймана):

(1.4)

•граничное условие третьего рода (условие Робина):

(1.5)

1. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (МКР) исторически один из первых методов, но он не потерял до сих пор популярности в силу своей относительной простоты. В основе метода лежит переход от непрерывного множества к дискретному.

Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых сеткой или решеткой, а само множество точек сетки называется ее узлами. Узлы, лежащие внутри области определения аргументов, называются внутренними, узлы, принадлежащие границам области – граничными.

Функции непрерывного аргумента рассматриваются здесь как функции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки. Эти функции называются сеточными функциями. Основной оператор в МКР – разностный оператор, который заменяет дифференциальный оператор.

Таким образом, исходная система дифференциальных уравнений в МКР сводится к системе алгебраических уравнений, которую принято называть конечно-разностной схемой задачи. Эффективность такого перехода определяется следующими свойствами разностных схем: согласованность, точность, устойчивость, эффективность.

Разностная схема называется согласованной, если погрешность аппроксимации убывает при измельчении сетки, то есть, по существу, это свойство сводится к требованию, чтобы в пределе при стремлении к нулю величины шагов сетки построенная разностная алгебраическая система уравнений совпадала с исходной дифференциальной.

Точность численного решения определяется двумя основными источниками ошибок: ошибки округления, зависящие от длины разрядной сетки ЭВМ, и ошибки аппроксимации, возникающие в результате замены дифференциального оператора разностным. В зависимости от последних конечно-разностные схемы подразделяются на схемы второго порядка точности – наиболее распространенные схемы обычной точности, и схемы более высокого порядка, которые называются схемами повышенной точности.

Устойчивость – более тонкое свойство, и в первом приближении разностная схема считается устойчивой, если на каждом последующем шаге вычислительной процедуры любая из ошибок не возрастает. Если обозначить через εⁿ – значение ошибки на n-шаге, а соответственно через εⁿ⁺¹ – на n + 1, то тогда из очевидного равенства

Вышеприведенное определение можно записать в виде условия для так называемого множителя перехода G

При определении критериев устойчивости широко распространенным является метод Неймана, как наиболее простой и надежный. Однако метод применим, строго говоря, лишь для линейных задач. На практике используются различные модификации этого метода, позволяющие учесть и оценить нелинейности как самой задачи, так и граничных условий.

Эффективность разностной схемы чаще всего оценивается числом операций (всех или только арифметических, или только умножений и делений), затрачиваемых на обработку одного узла схемы.

В общем случае алгоритм моделирования, строящийся на основе МКР, состоит из 3-х основных процедур:

•построение сетки;

•переход к сеточным функциям и аппроксимация дифференциальных операторов разностными;

•решение полученной системы алгебраических уравнений.

1.1. Построение сетки

Для одномерной задачи сетка, представляющая в данном случае множество точек х_i при i=0,...n, строится путем разбиения области изменения аргумента [x₀, x_n] на n отрезков. Графически такая сетка может быть представлена в виде отрезка прямой линии (рис. 1.1). Расстояние между двумя соседними узлами сетки h_i=x_i+1-x_i называется шагом сетки

Рис. 1.1. Одномерная сетка

Сетка называется регулярной (равномерной), если шаг сетки h_i, постоянен.

Для многомерной задачи построение сетки проводится аналогично по каждому аргументу раздельно и, возникающие при этом ячсйки сетки представляют собой разнообразные плоские фигуры (двухмерная задача) или, соответственна, объемные фигуры (трехмерная задача). Примеры основных вариантов двухмерной сетки представлены на рис. 1.2. Наиболее распространенной формой двухмерной сетки является прямоугольная (рис. 1.2а).

Рис. 1.2. Наиболее распространенные варианты сеток: а - прямоугольная, б - косоугольная, в – треугольная

Выбор типа сетки и ее размеров зависит от геометрии моделируемого объекта, а также от требований к точности и экономичности конструируемой модели. Под оптимальной подразумевают сетку, обеспечивающую заданную точность моделирования при минимальном числе узлов. В общем виде проблема построения оптимальной сетки не решена.

1.2. Построение разностных операторов

Множество узлов сетки, используемых для описания разностного оператора, называют шаблоном этого оператора. Вид шаблона определяется типом математического уравнения, требуемой точностью и конкретным численным методом. В качестве примера приведены на рис. 1.3 несколько наиболее распространенных шаблонов для эллиптического уравнения.

Рис. 1.3. Варианты шаблонов для эллиптического уравнения:

а) 3‑точечный шаблон одномерной задачи для разностной схемы обычной точности; б) 5‑точечный шаблон одномерной задачи для разностной схемы повышенной точности; в) 5‑точечный шаблон типа "крест" двухмерной задачи для разностной схемы - обычной точности.

Для любого варианта шаблона конечно-разностный оператор может быть получен следующими основными методами:

•разложением функции в ряд Тейлора;

•интерполяцией функции полиномами;

•методом контрольного объема, основанном на учете законов сохранения, описывающих физику строящейся модели. Разностные схемы, построенные по этому методу, принято называть консервативными.

1.3. Метод разложения в ряд Тейлора

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

с двухточечными линейными краевыми условиями