Материал: Моделирование технологических процессов. учеб. пособие. Арсентьев А.В., Строгонов А.В

Согласно алгоритму прогонки для этой системы вычислим значения прогоночных коэффициентов:

При из первого уравнения получаем:

При из второго уравнения находим:

Из третьего уравнения находим:

При из последнего четвертого уравнения находим:

2. Фундаментальная система уравнений диффузионно-дрейфовой модели (фсу ддм)

Как известно, физико-математическую основу для синтеза моделей структур элементов интегральных схем на структурно-физическом уровне составляет фундаментальная система уравнений (ФСУ) полупроводника. Однако решение ее в общем виде представляет большие математические трудности. Это приводит к необходимости использования того или иного приближения.

Наиболее просто ФСУ полупроводника записывается в диффузионно-дрейфовом приближении. Следует отметить, что это приближение является корректным лишь при небольших отклонениях системы от термодинамического равновесия и в случае, когда полупроводниковая структура невырождена, а ее характерные размеры достаточно велики по сравнению с фундаментальными длинами. Другими словами, область применимости диффузионно-дрейфовых моделей оказывается весьма ограниченной и, кроме того, постоянно сужается в связи с ростом степени интеграции элементов ИС. Вместе с тем, благодаря своей простоте, диффузионно-дрейфовая модель является наилучшей отправной точкой для ознакомления с методами и алгоритмами построения математических моделей элементов современных ИС.

ФСУ полупроводника в общем случае состоит из уравнения Пуассона, уравнений непрерывности для электронов и дырок и кинетического уравнения Больцмана. В диффузионно-дрейфовом приближении решение кинетического уравнения дает простые выражения для плотностей токов электронов и дырок в виде суммы плотностей диффузионного и дрейфового токов этих носителей заряда. Поэтому ФСУ в диффузионно-дрейфовом приближении содержит не кинетическое уравнение Больцмана, а результат его решения - выражения для плотностей токов электронов и дырок.

ФСУ полупроводника в диффузионно-дрейфовом приближении имеет вид:

где (2.1) - уравнение Пуассона;

(2.2) - уравнения непрерывности для электронов и дырок;

Δ - оператор Лапласа;

– потенциал электрического поля;

ε₀ – электрическая постоянная;

ε - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводникового кристалла;

n, p, N_a , N_d - концентрации свободных электронов, дырок, ионизированных акцепторов и доноров, соответственно;

RG_n(p) = R_n(p) – G_n(p) – темп рекомбинации-генерации электронов (дырок), соответственно.

J_n, J_p – плотности токов электронов и дырок определяемые выражениями:

(2.3)

(2.4)

где D_n, D_p – коэффициенты диффузии электронов и дырок;

μ_n, μ_p – подвижности электронов и дырок;

Е – напряженность электрического поля.

Вид для выражений темпа рекомбинации-генерации определяется действующим механизмом этих процессов. К основным механизмам рекомбинации-генерации носителей заряда можно отнести:

1. рекомбинацию-генерацию Шокли-Рида-Холла (через ловушечный уровень):

, (2.5)

где n, p - концентрации, в общем случае, неравновесных свободных электронов и дырок, соответственно;

n_i = (n₀ p₀)^1/2 – концентрация равновесных электронов (дырок) в собственном полупроводнике (n₀, p₀ – концентрации равновесных электронов и дырок, соответственно)

τ_n0 = (α_nN_t)^-1, τ_p0 = (α_pN_t)^-1 –характеристические времена, определяемые коэффициентами захвата неравновесных электронов (α_n) и дырок (α_p) ловушками с концентрацией N_t; (при записи выражения (2.5) сделано предположение, что уровень ловушки совпадает с уровнем Ферми в собственном полупроводнике, т.е. расположен вблизи середины запрещенной зоны).

2. Оже-рекомбинацию (при больших концентрациях свободных носителей заряда):

, (2.6)

где A_n, A_p - коэффициенты Оже-рекомбинации.

Важно отметить, что выражения (2.5),(2.6) справедливы только в установившемся режиме (т.е. при продолжительной стационарной генерации неравновесных носителей заряда, когда начинает выполняться равенство RG_n = RG_p). Поэтому при моделировании переходных процессов, строго говоря, следует использовать более общие выражения для темпов рекомбинации-генерации.

2.1. Набор независимых переменных для фсу

Если в уравнения непрерывности (2.2) подставить выражения для плотностей токов (2.3),(2.4) и темпов рекомбинации-генерации носителей заряда (2.5), (2.6), а также

учесть, что Е = - grad φ (в отстуствии магнитного поля), то получим систему из трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными: электростатическим потенциалом φ, концентрацией свободных электронов n и свободных дырок p.

Набор независимых переменных {φ, n, p} представляет

собой один из трех возможных наборов независимых переменных, относительно которых может решаться ФСУ полупроводника. В качестве других независимых переменных

можно выбрать либо электростатический потенциал φ и квазипотенциалы Ферми для электронов φ_n и дырок φ_p , либо электростатический потенциал φ и экспоненты квазипотенциалов Ферми для электронов Φ_n=exp(–φ_n) и дырок Φ_p=exp(φ_p).

Однако относительно двух последних наборов переменных ФСУ записана неявно. Для явного вида требуется выразить концентрации электронов и дырок через электростатический потенциал и квазипотенциалы Ферми.

Полагая, что полупроводниковая структура невырождена и, следовательно, справедливо распределение Больцмана для носителей заряда, концентрацию равновесных электронов и дырок можно записать в виде:

, (2.7)

где N_c, N_ν – эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, соответственно;

E_c, E_ν – энергии, соответствующие дну зоны проводимости и потолку валентной зоны, соответственно;

F – уровень Ферми;

k – постоянная Больцмана;

T – термодинамическая температура.

Учитывая, что в собственном полупроводнике концентрация равновесных свободных электронов и дырок одинакова и равна

,

перепишем выражения (2.7) в виде:

, (2.8)

где F_i – уровень Ферми в собственном полупроводнике.

Выражения (2.8) справедливы, только если полупроводник находится в равновесии. При нарушении равновесия концентрация электронов n уже не равна n₀, а концентрация дырок p ≠ p₀ и, кроме того, n₀ p₀ ≠ n_i². Для сохранения формы записи для концентраций неравновесных носителей заряда в виде (2.8) вводят понятие квазиуровней Ферми для электронов F_n и дырок F_p, которые не совпадают между собой. Итак, если полупроводник находится в неравновесном состоянии, выражения для концентраций неравновесных электронов и дырок принимают вид:

(2.9)

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике F_i зависит от положения потолка валентной зоны E_ν и дна зоны проводимости E_c(F_i ≈ (E_c + E_ν)/2), которые могут изменяться в соответствии с пространственным измене-

ни­ем электростатического потенциала φ. Тогда можно записать F_i = F_i0 – eφ. Выберем в качестве точки отсчета энергий положение уровня Ферми в собственном полупроводнике F_i0, т.е. F_i0 = 0. Тогда F_i = – eφ.

Обозначим через φ_T тепловой потенциал, равный kT/e.

Тогда выражения для концентраций носителей заряда (2.9) принимают вид:

, (2.10)

где φ_n = -F_n /e, φ_p = -F_p /e – квазипотенциалы Ферми для электронов и дырок, соответственно.

Используя полученные выражения для n и p (2.10) сов-

местно с соотношением Эйнштейна D_n(p) = μ_n(p) φ_T (которое

справедливо для невырожденного полупроводника), выраже­ния для плотностей токов носителей заряда (2.3), (2.4) можно представить в более простом виде:

(2.11)

Подставляя вместо концентраций и плотностей токов носителей заряда их выражения через электростатический потенциал и квазипотенциалы Ферми (2.10), (2.11), можно записать ФСУ явно относительно наборов переменных

{φ, φ_n, φ_p} или {φ, Φ_n , Φ_p}.

Использование в качестве независимых переменных

наборов {φ, n, p} и {φ, Φ_n, Φ_p} нежелательно, поскольку фун-

кции n, p, Φ_n, Φ_p экспоненциально зависят от своих аргументов, и диапазон изменения их значений в пределах рассматриваемой полупроводниковой структуры может быть весьма значительным (десятки порядков), что обусловливает увеличение вычислительных погрешностей в процессе итерационного решения ФСУ. В принципе, эти погрешности могут быть уменьшены за счет увеличения числа итераций, но это приведет и к увеличению продолжительности счета. Поэтому предпочтительнее решать ФСУ относительно переменных {φ, φ_n, φ_p}. В дальнейшем мы будем рассматривать ФСУ именно относительно этого набора переменных.

Итак получаем 3 основных видов набора независимых переменных: