Материал: Моделирование технологических процессов. учеб. пособие. Арсентьев А.В., Строгонов А.В

где непрерывны на отрезке [a, b].

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого разобьем основной отрезок [a, b] на n равных частей длины h (шаг).

Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения в точках деления искомой функции (рис. 1.4) и ее производных обозначим соответственно через , . Введем также обозначения:

Рис. 1.4. Значения в точках деления искомой функции и ее производных

Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями для внутренних точек отрезка [a, b], будем иметь

Для концевых точек и , чтобы не выходить за пределы отрезка [a, b], можно положить

Однако, если функция достаточно гладкая, то более точные значения дают формулы

и

Действительно, полагая, например, и и используя формулу Тейлора, будем иметь:

Отбросив последние слагаемые в разложении в ряд Тейлора, от которых зависит точность конечно-разностного шаблона, получаем следующую систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Отсюда находим, что

Сложив уравнения, находим

Рассмотрим теперь более общий случай, то есть с учетом слагаемых третей степени:

Из первого уравнения данной системы вычтем второе уравнение и найдём значение первой производной функции:

Отсюда выражаем

Рассмотрим систему с учетом слагаемых четвертой степени:

Сложив первое уравнение со вторым находим

Рассмотрим теперь более частный случай. Разложим в ряд Тейлора функции и :

Пусть . Тогда система примет вид:

Домножив первое уравнение на 4 и вычтя затем из полученного уравнения второе, получим следующее:

Отсюда найдём выражение для первой производной :

Рассмотрим более общий случай. Разложив функции и в ряд Тейлора, получаем следующую систему уравнений:

Полагаем, что , тогда систему примет вид:

Первое уравнение умножим на 4 и вычтем из него второе уравнение. Будем иметь:

Из этого уравнения находим значение первой производной :

Для пятиточечного шаблона будем иметь

Например рассмотрим уравнение:

В первом уравнении перенесем в правую часть. Получаем следующую систему:

1.4. Построение разностных операторов путем интерполяции функции полиномами

Пусть тогда первая и вторая производные:

Выразим значения первой и второй производной, через значение самой функции:

В качестве неосновных функций выберем полиномы 1-ой, 2-ой и 3-ей степени

В результате получаем следующую систему:

Находим из данной системы значения коэффициентов

Сложив 2-ое уравнение с 3-м получим:

Подставляя во второе уравнение получим:

Следовательно, .

Получаем следующее выражение для первой производной:

Таким же образом находим значения первой производной в крайней левой и крайней правой точках: