Материал: Н.Н. Акифьева. Метрология, стандартизация и сертификация

. (3.14)

Важным свойством величины является независимость ее распределения от вида выбранного теоретического закона . Распределение зависит только от и параметра , называемого числом «степеней свободы» распределения. Число «степеней свободы» равно числу интервалов минус число независимых условий, наложенных на частоты . Примером такого условия может быть

.

если требуется, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях). В случаях, когда требуется совпадение теоретического среднего значения и теоретической дисперсии со статистическим средним значением и дисперсией, накладываются еще два условия

Для распределения составлены таблицы (см. Приложение 1). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону превзойдет это значение. Эта вероятность называется уровнем значимости гипотезы и обозначается q.

Пример использования критерия - Пирсона для проверки нормальности распределения случайной погрешности рассматривается в Приложении 3.

3.3Систематические погрешности

3.3.1Обнаружение и исключение систематических погрешностей

Источниками систематических составляющих погрешности измерения могут быть все его компоненты: метод измерения, средства измерения и оператор. Знание систематической погрешности позволяет ввести соответствующую поправку в результат измерения и тем самым повысить его точность. Трудность заключается в сложности обнаружения, поскольку систематическая погрешность не может быть выявлена путем повторных измерений.

Независимо от того, к какому виду относится измерение, систематическая погрешность результата измерения оценивается по ее известным составляющим. Полная систематическая погрешность прямого измерения включает, как правило, приборную погрешность и несколько составляющих, связанных с несовершенством методики измерений, и рассчитывается по формуле:

(3.15)

где _i, – составляющая систематической погрешности прямого измерения; к – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью р (при р = 0,95, к = 1,1).

Приборные (или инструментальные) погрешности и методические погрешности не зависят друг от друга. Первые обусловлены только свойствами применяемых средств измерений, вторые – свойствами методик измерений и не зависят от свойств применяемых средств измерений. Фактор независимости этих составляющих систематический погрешности позволяет их раздельно выделить и исключить.

В практике измерений применяются несколько методов, позволяющих путем предварительного анализа или постановки специальных экспериментов оценить и исключить составляющие систематической погрешности.

Инструментальная погрешность может быть оценена как составляющая систематической погрешности в зависимости от вида, конструкции и особенности работы средств измерений.

Постоянные инструментальные систематические погрешности обычно выявляются при поверке средств измерения. Как уже отмечалось, поверка – определение погрешности средств измерения путем сравнения показаний поверяемого прибора с показаниями более точного (образцового) прибора. Обнаруженные систематические погрешности указываются в паспорте прибора, что дает возможность введения поправки в результат измерения х= х_изм - _пов.

Помимо введения известных поправок может быть проанализирована методическая погрешность – погрешность обусловленная несовершенством принципа измерений, недостаточной изученностью явления, использованием приближенных моделей для изучения физического явления. Например, при измерении температуры среды термопреобразователь вызывает искажение температурного поля, и его показания могут значительно отличаться от действительных значений температуры, соответствующих невозмущенному полю температур.

3.3.2Инструментальные погрешности

В первом приближении погрешность результата измерений можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений.

Инструментальная погрешность в данном случае определяется как арифметическая сумма наибольших возможных значений ее составляющих. Для большинства технических измерений такая оценка дает доверительный интервал с вероятностью, близкой к единице, являющейся предельной оценкой сверху искомого интервала погрешности.

Пример. Рассчитать погрешность измерения электрической мощности, рассеиваемой на электронагревателе сопротивлением R = (0,02200,0005) Ом при протекании по нему тока. Измеренное напряжение на сопротивлении составляет U = 0,760 В.

Напряжение измерялось цифровым вольтметром Ф 220/1, классом точности 0,5.

Так как Р = U²R, то максимальная инструментальная погрешность (см. п.5.4. Обработка результатов косвенных измерений):

.

Основная погрешность вольтметра типа Ф 220/1 в процентах измеряемой величины не превышает значений, определяемых по формуле

где Х_К – конечное значение рабочего диапазона измерений; Х – значение измеряемой величины

Подставляя соответствующие значения, получим

3.3.3Методические погрешности ( на примере измерения температуры термоэлектрическим преобразователем)

Рассмотрим для примера методические погрешности при измерении температуры термоэлектрическим преобразователем (термопарой), для установки которой обязательно используется защитная арматура.

Влияние теплоотвода вдоль арматуры термоприемника. Обычно термоприемник (термопара в защитной гильзе) устанавливается в канале и закрепляется на его стенках.

Рис. 3.4. Схема установки термоприемника (а)

и профиль температуры вдоль гильзы (б)

Вследствие теплоотвода к более холодной стенке температура термоприемника меняется по своей длине, а рабочая температура термоприемника будет меньше температуры протекающей среды.

Систематическую погрешность можно оценить, пользуясь одним из соотношений, полученным при решении задач теплопроводности

где: t_ср, t_ст, t_изм – температуры среды, стенки и термоприемника; - коэффициент теплоотдачи от среды с измеряемой температурой к гильзе термоприемника;  и  - коэффициент теплопроводности и толщина гильзы; l – общая длина термоприемника.

Пример. При измерении температуры газов имели место следующие значения:

температура среды t_ср = 300^оС;  = 46 Вт/(м² К); температура стенки газохода t_ст = 100^оС; =58 Вт/(м К); l = 0,15 м;  = 2 мм.

Значение систематической погрешности из-за отвода тепла составит

Следовательно, наличие чехла, благодаря отводу тепла уменьшает показания примерно на 21,8^оС, т. е. на 7,2%.

Влияние теплообмена излучением. При измерении в газовых средах вблизи термоприемника часто находятся поверхности, температура которых заметно отличается от температуры термоприемника. Между этими поверхностями и термоприемником происходит лучистый теплообмен, описываемый законом Стефана-Больцмана.

Рис 3.5. Влияние теплообмена излучением на показания термоприемника.

Так, например, систематическая погрешность измерения температуры дымовых газов, связанная с излучением к стенке газохода может быть найдена следующим образом

где: T_ср, T_ст, T_т – температуры среды, стенки и термоприемника;  - коэффициент теплоотдачи от среды к термоприемнику; С₁ – постоянная Стефана-Больцмана, _пр – приведенная степень черноты.

В случае, когда поверхность стенок много больше поверхности термоприемника, приведенная степень черноты _пр равна _тер термоприемника. Величина поверхности гильзы не имеет значения.

Пример. Горячий газ движется в кирпичном канале, имеющем температуру стенок t_ст = 100^оС (Т_ст = 373 К). В канал погружена термопара в защитной гильзе; степень черноты материала гильзы  = 0,9. Нагрев термоприемника осуществляется конвекцией с  = 50 вт/м²К. Считая газ прозрачным для лучистого теплообмена, нетрудно оценить погрешность измерения температуры. При показании термопары Т_т = 200⁰С+273 = 473К, методическая погрешность, связанная с наличием лучистого теплообмена, может быть оценена следующим образом:

град

Уменьшить погрешность измерения температуры можно, теплоизолировав газоход снаружи хорошей теплоизоляцией с тем, чтобы увеличить температуру стенки газохода.

3.4Правила округления значений погрешности и результата измерений

Рассчитывая значения погрешностей, получаем результат с большим числом знаков. Однако исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности средств измерений или методик выполнения измерений, которые указываются с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только первые две значащие цифры.

На практике установилось такое правило: если полученное число начинается с цифры равной или большей , то в нем сохраняется лишь один знак; если оно начинается с цифры меньшей 3, то в нем сохраняется два знака. В соответствии с этим правилом установлены и нормированы погрешности средств измерений: в числах 1,5 и 2,5% указываются два знака, но в числах 0,5; 4; 6% указывается один знак.

Следует придерживаться следующих правил округления значений погрешности и результатов измерений:

• погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 1 или 2, и одной, если первая 3 и более;

• результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округление результата абсолютной погрешности;

• округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления производятся с одним-двумя лишними знаками.

Округление результата измерения до последнего разряда погрешности следует производить с учетом следующих рекомендаций:

• лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются;

• если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду погрешности;

• если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше «5», то остающиеся цифры не изменяются;

• если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна или больше «5», то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу.

Пример 1. С помощью электронного потенциометра КСП класса точности 0,5 с пределом измерений 1100^оС был получен отсчет измеряемой температуры 855^оС.

Абсолютная погрешность измерения

Значение абсолютной погрешности округляется до одной значащей цифры t6^оС, и измеренное значение записывается