Материал: Нов.ПМС-2

56 

n

X

X

X

,..,

,

2

1

в  объединенной  последовательности  и 

обозначим ее W. Это и есть критерий Вилкоксона. 
Пусть 

n

r

r

r

,..

,

2

1

  -  ранги  (порядковые  номера)  элементов 

выборки 

n

X

X

X

,..,

,

2

1

 в общем вариационном ряду. Обычно 

в качестве статистики рангового критерия используют сумму  

)

(

...

)

(

)

(

n

r

f

r

f

r

f







2

1

, 

 где 

)

(

r

f

  –  некоторая  функция,  определенная  для  всех 

m

n

r





,..,

,

2

1

. 

Пусть 

)

,..,

,

(

m

n

s

s

s



2

1

одна  из 

)!

(

m

n



возможных 

перестановок  чисел  1,2,..,n+m.  Положим 

r

s

r

f



)

(

,  тогда 

статистика Вилкоксона задается формулой 

n

r

r

r

s

s

s

W









..

2

1

. 

Односторонний  критерий  Вилкоксона  позволяет  принять 
гипотезу 

0

H

, если  W>C,  и отвергнуть,  если 

C

W



, где  C – 

критическое значение одностороннего критерия Вилкоксона. 

Односторонний критерий. 
Если 





C

W

 принимается 

0

H





C

W

 отвергается 

0

H

, принимается 

1

H

. 

Двусторонний критерий. 

2

1

C

W

C









)

(

2

1

C

C

принимается 

0

H

2

C

W



, 

либо 





1

C

W

отвергается 

0

H

, 

принимается 

1

H

. 

Нижнее 

1

C

и  верхнее 

2

C

критические  значения 

двустороннего критерия связаны между собой отношениями  

N

C

C





2

1

,  

где N=m (m+n+1).  

Критические значения находят по таблицам [7].  

Если объемы выборок велики, то можно воспользоваться 

асимптотической  нормальностью  статистики  Вилкоксона  с 
математически  ожиданием  M[W]=m(m+n+1)/2  и  дисперсией 

57 

D[W]=nm(n+m+1)/12.  В  этом  случае  при  заданном  уровне 
значимости 



 для одностороннего критерия имеем 



u

n

m

mn

N

C

12

1

2

1

)

(









, 

а для двустороннего –  

2

2

1

12

1

2

/

,

)

(



u

n

m

mn

N

C









, 

где 

2

/

,





u

u

- 

квантили стандартного нормального закона. 

Критерий Манна-Уитни 

 
Этот  критерий  проверяет  гипотезу  об  одинаковом 

распределении  двух  генеральных  совокупностей,  как  и 
критерий Вилкоксона. 

Рассмотрим  всевозможные  пары 

)

,

(

j

i

Y

X

, 

m

i

,..,

,

2

1



; 

n

j

,..,

,

2

1



. Здесь 

i

X

 - i-ый элемент первой выборки, 

j

Y

 - j-

ый  элемент  второй  выборки.  Подсчитаем  число  пар,  для 
которых 

j

i

Y

X



,  и  обозначим  его  U.  Это  и  есть  критерий 

Манна-Уитни.  Между  обоими  критериями  существует 
соотношение 

W+U=mn+m(m+1)/2 

Это  говорит  о  том,  что  оба  критерия  эквивалентны. 
Математическое  ожидание  критерия  Манна-Уитни  находится 
как  M[U]=mn+m(m+1)/2-M[W]=mn/2.  Дисперсии  в  силу 
линейной  зависимости  совпадают.  При 





m

  и 





n

распределение  критерия  U  стремится  к  нормальному 
распределению.  В  связи  с  этим  все  остальное  совпадает  с 
процедурой 

использования 

критерия 

Вилкоксона, 

за 

исключением того, что M[W] заменяется на M[U]=mn/2. 

Критерий знаков 

Этот  критерий  применяется,  когда  обе  выборки  имеют 

одинаковый  объем  (n=m).  Происходит  попарное  сравнение 

58 

элементов  выборок: 

)

,

(

1

1

Y

X

, 

)

,

(

2

2

Y

X

,.., 

)

,

(

m

n

Y

X

. 

Фактически  здесь  имеется  выборка  для  двумерной  случайной 
величины  (X,Y).  Пары 

)

,

(

i

i

Y

X

  i=1,2,..,n  являются  взаимно 

независимыми,  но  компоненты  внутри  пары  могут  зависеть 
друг от друга. 

Такая  ситуация  возникает  при  анализе  эффективности 

некоторого  мероприятия.  Для  группы  объектов  измеряется 
некоторый  показатель  до  и  после  внедрения  данного 
мероприятия.  Результаты  измерений  для  различных  объектов 
можно  считать  независимыми,  но  для  одного  объекта 
измерения могут быть зависимыми случайными величинами. 

Итак,  проверяемая  гипотеза  утверждает,  что 

i

X

  и 

i

Y

распределены одинаково, т.е. 

P(X<Y)=P(X>Y)=1/2. 

Рассмотрим  для  каждого  i  разницу 

i

i

i

Y

X

Z





,  и  в  общем 

случае  Z=X-Y.  Тогда  рассматриваемая  гипотеза  эквивалентна 
гипотезе 

P(Z<0)=P(Z>0)=1/2. 

Следовательно,  с  равной  вероятностью  1/2  знак  любого 
элемента  последовательности 

n

Z

Z

Z

,..,

,

2

1

  может  быть 

положительным и отрицательным. Критерием R здесь является 
число положительных знаков. Если гипотеза верна, то R имеет 
биномиальное  распределение  с  параметрами  n  и  p=1/2. 
Следовательно,  можно  применить  процедуру  проверки 
гипотезы о вероятности события 

2

1

0

/



p

. 

Критерий однородности Вилкоксона 

Критерий  Вилкоксона  служит  для  проверки  однородности 
двух  независимых  выборок: 

1

2

1

n

x

x

x

,..,

,

  и 

2

2

1

n

y

y

y

,..,

,

. 

Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к 
случайным величинам, распределения которых неизвестны.  

59 

Если  выборки  однородны,  то  они  извлечены  из  одной 
генеральной совокупности, т.е. 

)

(

)

(

x

F

x

F

2

1



. 

Нулевая  гипотеза  утверждает,  что  функции  распределения 
равны 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

0



.  

Альтернативными являются следующие гипотезы: 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

1



; 

)

(

)

(

x

F

x

F

2

1



; 

)

(

)

(

x

F

x

F

2

1



. 

Предполагается,  что  объем  первой  выборки  меньше  объема 
второй: 

2

1

n

n



.  Если  это  не  так,  то  выборки  можно 

перенумеровать (поменять местами). 

А.  Проверка  нулевой  гипотезы  в  случае,  если  объѐм 

обеих выборок не превосходит  25 

Правило  1.  Для  того,  чтобы  при  заданном  уровне 

значимости 

Q

2





проверить 

нулевую 

гипотезу 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

0



об  однородности  двух  выборок 

(

2

1

n

n



) при альтернативе 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

1



, необходимо 

1.

Расположить обе выборки в возрастающем порядке, т.е. 
в  виде  одного  вариационного  ряда  и  найти 
наблюдаемое  значение  критерия 

.

набл

W

  –  сумму 

порядковых номеров элементов первой выборки; 

2.

найти  по  таблице  нижнюю  критическую  точку 

)

,

,

(

.

.

2

1

n

n

Q

w

кр

ниж

, где 

2

/





Q

; 

3.

найти верхнюю критическую точку по формуле 

i.

.

.

.

.

)

(

кр

нижн

кр

верх

w

n

n

n

w









1

2

1

1

Если 

.

.

.

кр

нижн

набл

w

W



или 

.

.

.

кр

верх

набл

w

W



- 

нулевую гипотезу отвергают 

Если 

.

.

.

.

.

кр

верхн

набл

кр

нижн

w

W

w





  -  нулевую  гипотезу 

принимают. 

Пример

.  При  уровне  значимости 

05

0

,





  проверить 

гипотезу 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

0



 об однородности двух выборок 

объемов 

6

1



n

, 

8

2



n

60 

i

x

15 

23 

25 

26 

28 

29 

i

y

12 

14 

18 

20 

22 

24 

27 

30 

при альтернативе 

)

(

)

(

:

x

F

x

F

H

2

1

1



Pешение. Их двух выборок построим один вариационный 

ряд, элементы пронумеруем (перенумеруем). 

Порядковый 
номер 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Вариационный 
ряд 

12 

14 

15 

18 

20 

22 

23 

Порядковый 
номер 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

Вариационный 
ряд 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона  – сумму 
порядковых  номеров  (они  подчеркнуты)  элементов  первой 
выборки. 

.

набл

W

=3+7+9+10+12+13=54 

Найдем  по  таблицам  [7]  нижнюю  критическую  точку, 
учитывая, что 

025

0

2

05

0

2

,

/

,

/









Q

, 

6

1



n

, 

8

2



n

29

8

6

025

0



)

;

;

,

(

.

.

кр

ниж

w

Найдем верхнюю критическую точку 

.

.

.

.

)

(

кр

нижн

кр

верх

w

n

n

n

w









1

2

1

1

=(6+8+1)*6-

29=61 
Так  как  29<54<61,  т.е. 

.

.

.

.

.

кр

верхн

набл

кр

нижн

w

W

w





  - 

гипотеза об однородности выборок принимается.