Филиал СПбГЭУ в г. Пскове
Основы математической теории страховых рисков
Клюжев Н. А.
Оглавление
Введение
1. Вероятностная неопределённость и риск
1.1 Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности
1.2 Математическая модель риска
1.3 Портфель рисков
1.4 Страхование риска
2. Страховые портфели и их параметры
2.1 Простейший однородный страховой портфель
2.2 Простейший страховой портфель
2.3 Простой страховой портфель
2.4 Реальный страховой портфель
2.5 Принципы построения оценок тарифных ставок
2.6 Принцип безрискованности
2.7 Принцип справедливости
2.8 Принцип достаточного покрытия
2.9 Ограничения при аппроксимации нормальным распределением реальных распределений
3. Вычисление оценок тарифных ставок
3.1 Простейший однородный страховой портфель
3.2 Простейший страховой портфель
3.3 Простой страховой портфель
3.4 Реальный страховой портфель
4. Сфера применения модели реального страхового портфеля
4.1 Основные методики Росстрахконтроля
4.2 Оценка параметров модели реального страхового портфеля
4.3 Оценка параметров портфеля рисков по методике
Литература
Введение
Рискованный характер общественного производства - главная причина беспокойства каждого собственника имущества и товаропроизводителя за свое материальное благополучие.
Между тем жизненный опыт, основанный на многолетних наблюдениях, позволил сделать вывод о случайном характере наступления чрезвычайных событий и неравномерности нанесения ущерба. Было замечено, что число заинтересованных хозяйств, часто бывает больше числа пострадавших от различных опасностей. При таких условиях солидарная раскладка ущерба между заинтересованными хозяйствами заметно сглаживает последствия стихии и других случайностей. При этом чем большее количество хозяйств участвует в раскладке ущерба, тем меньшая доля средств приходиться на долю одного участника.
Так возникло страхование, сущность которого составляет солидарная замкнутая раскладка ущерба.
Раскладка ущерба в денежной форме создавала широкие возможности прежде всего для взаимного страхования, когда сумма ущерба возмещалась его участниками на солидарных началах либо после каждого страхового случая, либо по окончании хозяйственного года. Взаимное страхование в условиях рынка стало закономерно перерастать в самостоятельную отрасль страхового дела. Если при взаимном страховании еще не формировался заранее рассчитанный с помощью теории вероятности страховой фонд, то в дальнейшем вероятная средняя величина возможного ущерба, приходящаяся на каждого участника страхования, стала применяться в качестве основы страховых взносов для заблаговременного формирования страхового фонда. В условиях современного общества страхование превратилось во всеобщее универсальное средство страховой защиты всех форм собственности, доходов и других интересов предприятий, организаций, фермеров, арендаторов, граждан.
В данном пособии кратко рассматриваются математические основы теоретико-вероятностного моделирования портфеля однородных рисков. Приводится пример статистической оценки тарифных ставок. Поясняется методика, рекомендуемая РОССТРАХНАДЗОРОМ.
1. Вероятностная неопределённость и риск
1.1 Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности
С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны.
Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.
В данных методических указаниях теория риска представлена в рамках основных понятий как инструмент для задач принятия решений в условиях вероятностной неопределённости.
1.2 Математическая модель риска
В окружающей каждого из нас действительности мы наблюдаем процессы в форме последовательности во времени некоторых интересующих нас событий. Замечаем также, что в этих процессах наблюдается определённая устойчивость. Например, в таком простом процессе как подбрасывание монеты с наблюдением за исходами этих наших экспериментов при условии, что нас интересует событие «выпадение герба», легко заметить появление этого события не в каждом эксперименте. Но тем не менее мы всё же знаем, что исходом будет «выпадение гербы» или «выпадение решки». Это ограничение на множестве исходов можно «усилить», если посчитывать частоту наступления события «выпадение гербы». Данный эксперимент наводит на мысль, что данное событие устойчиво в смысле вероятностной предсказуемости, если множество исходов ограничено. Так в случае симметричной монеты говорят перед подбрасыванием монеты, что уверены в выпадении «герба» на 50 процентов! А если мы применим к монете как объекту управления воздействие в виде смещения её центра тяжести в «сторону герба» с целью увеличения частоты выпадения «герба», то наша уверенность возрастёт!
Приведённый пример кажется очень простым, но содержательная сторона его может служить мотивом для математического моделирования того, что мы часто называем словом «риск», когда сталкиваемся с неопределённостью предсказания будущих событий.
Математические модели, описывающие данного вида неопределённость, можно разделить на две группы:
· вероятностные модели, изучаемые в теории вероятностей;
· модели нечётких множеств, теория которых интенсивно развивается.
Здесь для описания риска будем рассматривать только вероятностные модели, которые позволяют ввести количественные характеристики, связанные исходами того или иного процесса. Таким образом мы будем описывать риск моделью случайной величины [1].
Определение 1.2.1. Риском называется произвольная случайная величина.
1.3 Портфель рисков
Поскольку совокупность рисков, если их рассматривать совместно, обладает часто свойствами, не присущими каждому из рисков в отдельности, имеет смысл рассматривать портфель (определённый набор) рисков.
Определение 1.3.1. Портфелем рисков P называется всякое подмножество множества R , т. е. P R .
1.4 Страхование риска
Цель страхования - это перераспределение риска между многими носителями. При этом передача риска от страхователя (физического или юридического лица) страховщику (специализированной компании) происходит за определённую плату, выраженную ценой страхования, тарифной ставкой или страховой премией.
Определение 1.4.1. Страховой портфель -это совокупность относительно однотипных и однородных рисков.
2. Страховые портфели и их параметры
Элементарное рассмотрение страховых портфелей включает их следующие виды [1]:
· простейший однородный страховой портфель;
· простейший страховой портфель;
· простой страховой портфель;
· реальный страховой портфель.
2.1 Простейший однородный страховой портфель
Пусть случайная величина имеет распределение Бернулли
Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может наступить с вероятностью с убытком, равным 1.
Можно сказать, что (1) является крайним случаем страхового портфеля, содержащего всего один риск.
Рассмотрим теперь семейство таких случайных величин, образующих портфель рисков
P.
В портфеле (2) все случайные величины распределены одинаково по закону Бернулли (1) и будем считать их независимыми рисками. Тогда портфель (2) имеет суммарный риск
,
имеющий параметры
, ,
,
где среднее квадратическое отклонение убытка (выплаты страховой суммы) простейшего однородного портфеля;
коэффициент вариации убытка этого портфеля.
Определение 2.1.1. Портфель (2) с независимыми рисками вида (1) и суммарными параметрами (3), (4), (5) назовём простейшим однородным портфелем с биномиальным распределением
.
2.2 Простейший страховой портфель
Чтобы построить данный портфель, следует в портфеле (3) оставить свойство независимости рисков и вместо распределения (2.1.1) для каждого риска предположить распределение
Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может с вероятностью наступить с убытком, равным . При этом и максимальное среднее квадратическое отклонение составляет , где страховая сумма по риску i.
Распределение суммарного риска в данном случае не имеет столь простого выражения, как (2.1.5). Однако достаточно просто вычисляются его основные параметры:
,
, .
,
где среднее квадратическое отклонение по убыткам простейшего страхового портфеля;
коэффициент вариации страховой выплаты по портфелю рисков, обусловленной вероятностной неопределённостью наступления страхового события, которая уменьшается с ростом числа договоров страхования. Отметим, что имеет место соотношения:
и .
2.3 Простой страховой портфель
Чтобы построить данный портфель, следует в простейшем портфеле оставить свойство независимости рисков и вместо распределения (2.2.1) для каждого риска предположить распределение
Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может наступить с вероятностью с убытком, равным . При этом и максимальное среднее квадратическое отклонение составляет , где страховая сумма по риску i.
Распределение суммарного риска в данном случае не имеет столь простого выражения, как (2.1.6). Однако достаточно просто вычисляются его основные параметры:
,
,
,
где средняя страховая выплата по портфелю рисков;
средняя квадратов страховых выплат;
квадрат средней страховой выплаты;
коэффициент вариации страховой выплаты по портфелю рисков.
коэффициент неоднородности портфеля по страховым суммам.
среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля.
Сравнение средних квадратических отклонений и позволяет установить, что
,
неоднородность портфеля по размерам страховых выплат увеличивает среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля и тем самым возрастает неопределённость в управлении портфелем, поскольку она
2.4 Реальный страховой портфель
Реальный страховой портфель получается из простого портфеля путем некоторого его усложнения, если допустить возможность произвольных убытков каждого риска в интервале .
Математическая модель этого портфеля содержит: совокупность из N независимых рисков
P ,
с одинаковой вероятностью p наступления страхового события по каждому му риску, а размер убытка представлен случайной величиной
,
где случайная величина
соответствует наступлению страхового события по му риску; есть размер страховой суммы; совокупность независимых и одинаково распределённых на интервале [0, 1] случайных величин с функцией распределения и числовыми оценками
, .
Тогда имеем для i- го риска
, ,
где коэффициент вариации случайной величины .
Для риска всего реального портфеля также нет простого явного выражения функции распределения, но можно подсчитать параметры портфеля (1):
,
где среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля;
коэффициент неоднородности убытков по отдельным однотипным договорам страхования.
Таким образом, основные параметры реального портфеля, такие как среднее значение убытка по одному договору и среднее квадратическое отклонение убытка, достаточно доступно можно оценить по данным страховой статистики.
Вычисление параметров, начиная с модели простейшего однородного портфеля и последовательно переходя к модели реального портфеля, помогает контролировать выполнение преобразований и выделяет сущность усложнения моделей, которая состоит в том, что происходит нарастание неопределённости в устойчивости страховой компании по мере диверсификации рисков, т. е. расширению их разнообразия в одном договоре страхования.
2.5 Принципы построения оценок тарифных ставок
Если страховая компания вводит новый вид страхования, то она должна решить вопрос о размере страхового взноса, называемого страховой премией, которая взимается с клиента (страховщика). Из отдельных страховых премий складывается суммарная величина Q - суммарная премия портфеля, состоящего из N договоров страхования, заключённых между клиентом- страховщиком и страховой компанией-страхователем. В страховании принято выражать страховую премию в долях от страховой суммы , то есть страхования премия i - риска принимается равной , а положительный коэффициент Т принимается одинаковым для всех рисков портфеля и называется тарифной ставкой.