Таким образом, клиент платит при заключении договора страховую премию в размере . При наступлении страхового события выгодоприобретатель (сам клиент или его наследник) получает страховую сумму и договор страхования прекращается. Если же в течение срока страхования страховое событие не наступило, то договор тоже прекращается без каких-либо страховых выплат выгодоприобретателю со стороны страхователя.
Следовательно, перед компанией возникает теперь вопрос о выборе значения параметра Т таким, чтобы обеспечить устойчивое функционирование компании при выполнении ею своих обязательств перед клиентами.
На примере простейшего страхового портфеля сформулируем некоторые естественные принципы определения значений параметра Т.
2.6 Принцип безрискованности
Попытаемся назначить тарифную ставку так, чтобы деятельность страховой компании была беcрискованной, то есть собранных премий
с вероятностью 1 хватало для покрытия страховых убытков портфеля. Для простейшего портфеля и, следовательно максимальный убыток равен N с вероятностью его появления . Так как из (1) следует, что
то с необходимостью следует равенство , то есть размер страховой премии совпадает с размером страховой выплаты. Понятно, что в этом случае для страхователей непривлекательно и не имеет смысла страхование.
Упражнение 3.1 Показать для простого и реального портфелей, что принцип беcрискованности даёт значение тарифной ставки .
Таким образом следует вывод:
невозможно ведение беcрискованного страхового бизнеса,
то есть для тарифной ставки должно выполняться неравенство
2.7 Принцип справедливости
Поскольку смысл страхового бизнеса состоит в передаче в перераспределении риска между клиентом и компанией, то справедливость требует соблюдения эквивалентности финансовых обязательств партнёров. Исходя из того, что страховые премии клиентов детерминированы, а возмещаемый клиенту страховая сумма моделируется как случайная величина, то баланс обязательств понимается в среднем по портфелю:
Из равенств (1) следует, что . Понятно, что такой размер страховой премии оказывается достаточно малым для ведения страхового бизнеса, поскольку при многократном воспроизведении такого простейшего страхового портфеля с вероятностью 1 произойдёт разорение компании. Действительно, при выполнении равенства (3) , а дисперсия этой разности равна и с ростом числа договоров возрастает, что повышает неопределённость в состоянии портфеля компании и ведёт её к разорению. По этой причине разумно считать, что должно выполняться неравенство . Следовательно, для тарифной ставки должно выполняться следующее ограничение:
Для более сложных портфелей тарифная ставка должна превосходить размер среднего относительного убытка портфеля
.
Упражнение 3.2 Применить принцип эквивалентности к простоту и реальному портфелям и показать, что тарифная ставка должна превосходить размер средних относительных убытков портфеля (5).
2.8 Принцип достаточного покрытия
Предыдущие два принципа в случае простейшего портфеля дали нам достаточно «грубое» правило выбора значения тарифной ставки в форме интервальной оценки (4): . Это мотивирует нас обратиться к рассмотрению выбора ставки Т из условия достаточного покрытия предстоящих убытков собранными премиями, что выражается заданием вероятности б наступления события , то есть
,
где - случайная величина равная суммарной величине убытков для страховой компании в форме страховых выплат; Q - суммарная величина страховых премий портфеля; б - вероятность покрытия, отражающая «уровень безопасности» и задаваемая страховой компанией как б .
Пусть случайная величина имеет функцию распределения а центрированная и нормированная случайная величина
имеет функцию распределения F. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
.
Учитывая, что , находим при , что и
,
что позволяет получить основное уравнение для вычисления тарифной ставки Т:
,
где функция, обратная к F.
Поскольку определение точного вида распределения случайной величины затруднительно, а объём портфеля N достаточно большой, то можно со ссылкой на центральную предельную теорему принять распределение случайной величины приближённо нормальным, то есть предположить .
Тогда уравнение (8) преобразуется в уравнение
,
где - интеграл вероятностей, значения которого табулированы и представлены в статистических таблицах. При вычислении интеграла учитываем, что
Таким образом, принцип достаточного покрытия позволяет вычислять оценки для страхового тарифа при любых распределениях страховых выплат (убытков для страховой компании), если объём портфеля достаточно велик.
2.9 Ограничения при аппроксимации нормальным распределением реальных распределений
При переходе в основном уравнении (3.3.3)
к аппроксимации распределения F стандартным нормальным распределением получили новый вид основного уравнения для оценки значений тарифной ставки Т:
В последнем уравнении следует ввести ограничение в виде соблюдения неравенства
.
Для случайной величины отношение
в котором величина коэффициент вариации, характеризует для последовательности выплат при наступлении страхового случая их неоднородность.
Учитывая, что для интеграла вероятностей , то получаем неравенство , которое в практических расчётах часто выполняется. Поэтому вполне можно допустить, что основное уравнение для оценки величины тарифной ставки можно использовать в виде
3. Вычисление оценок тарифных ставок
Рассмотрим процедуры вычисления оценок тарифной ставки Т для различных видов страховых портфелей, используя основное уравнение (3.4.3), что позволит также выявить структуру этой ставки.
В последующих формулах обозначим через ц корень уравнения
где интеграл вероятностей, значения которого табулированы и представлены в статистических таблицах.
Согласно (1) получаем, что если б , то корень ц .
3.1 Простейший однородный страховой портфель
Данный портфель имеет параметры . Запишем суммарную страховую премию для этого портфеля:
.
Страховой убыток по договору i представим как случайная величина со следующим распределением:
Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров:
.
Предполагая, что убытки по отдельным договорам независимыми случайными величинами, приходим к выводу, что Х распределена по биномиальному закону:
где
,
Для биномиального закона распределения известно, что
, .
Используя (3.9) и (1), при учёте (2), (3) получаем уравнение
,
из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:
.
Из (5) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:
.
Первое слагаемое зависит только от вероятности наступления страхового события. Его называют основной частью тарифной ставки. Второе слагаемое называют рисковой надбавкой, которая состоит из двух множителей. Первый множитель
и стремиться к нулю с ростом числа договоров. Второй множитель есть функция от «уровня безопасности» б , который задаётся компанией-страховщиком.
3.2 Простейший страховой портфель
Данный портфель имеет параметры . Запишем суммарную страховую премию для этого портфеля:
.
Страховой убыток по договору i представим как случайная величина со следующим распределением:
Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров:
.
Предполагая, что убытки по отдельным договорам независимыми случайными величинами, приходим к выводу, что распределена по биномиальному закону:
|
Значение |
0 |
S |
2S |
NS |
||
|
Вероятность |
где
,
Для биномиального закона распределения известно, что
.
Используя (3.9) и (1), при учёте (2), (3) получаем уравнение
,
из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:
.
Из (5) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:
Первое слагаемое зависит только от вероятности наступления страхового события. Его называют основной частью тарифной ставки. Второе слагаемое называют рисковой надбавкой, которая состоит из двух множителей. Первый множитель
и стремиться к нулю с ростом числа договоров. Второй множитель есть функция от «уровня безопасности» б , который задаётся компанией-страховщиком. страхование риск тарифный ставка
Таким образом показали, что тарифные ставки простейшего однородного портфеля и простейшего портфеля совпадают.
3.3 Простой страховой портфель
Анализ простого страхового портфеля во многом напоминает проведённый выше анализ.
Портфель имеет параметры . Введём обозначения
, ,
где
; .
Размер страховой премии по договору i равен , а суммарный размер премии
.
Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров, моделируя отдельные риски как независимые случайные величины:
,
а их сумма имеет математическое ожидание и дисперсию, выраженные формулами (8). Используя (3.9) и (1), при учёте (8), (9) получаем уравнение
,
из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:
,
где коэффициент неоднородности простого портфеля по страховым выплатам.
Из (11) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:
Предполагая, что множество страховых сумм можно рассматривать как совокупность реализаций случайной величины S, выполним преобразование множителя в выражении для :
,
где коэффициент вариации для множества страховых сумм.
С учётом (13) выражение для рисковой надбавки
.
Анализ выражения (7) для рисковой надбавки показывает, что в случае это выражение соответствует выражению для простейшего портфеля.
3.4 Реальный страховой портфель
Рассматриваемый реальный страховой портфель обладает всеми свойствами простого портфеля, но страховые выплаты при наступлении страхового события, связанного с договором i, не обязательно равны постоянной страховой сумме , а могут принимать произвольные значения из интервала . В этом случае страховые выплаты моделируются как случайные величины:
,
где случайная величина, распределённая по биномиальному закону принимающая значение 1 с вероятностью р (наступление страхового события) и 0 с вероятность (1-р)=q, а r- случайная величина с распределением на отрезке . Здесь предполагается, что введённые случайные величины независимые.
Предполагаем, что для случайной величины r заданы с математическое ожидание и дисперсия:
, .
Тогда вычислим параметры распределения величины страховой выплаты по договору i:
, .
Параметры убытков всего портфеля :
,
где
; .
В [1] коэффициент называется коэффициентом неоднородности портфеля, для которого справедливо неравенство . Ранее было показано , что оправдывает его название, поскольку в сумме под радикалом в первом слагаемом присутствует коэффициент вариации как обобщённая характеристика неоднородности совокупности страховых выплат. Суммарные выплаты составят .
Основное уравнение для получение оценки страхового тарифа (тарифной ставки) теперь имеет вид уравнения
,
решение которого относительно тарифной ставки
.
Выражения для основной части и рисковой надбавки тарифной ставки имеют вид
,
,
где
,
.
Таким образом, окончательное выражение для тарифной ставки примем в виде
.
Сравнение выражений (6), (7), (8), (9), (10) и (11) с аналогичными выражениями для простого портфеля показывает, что основная часть тарифной ставки по-прежнему отражает средние ожидаемые убытки на 1 рубль страховой суммы, а в выражении для рисковой части надбавки учитывается дополнительно неопределённость, вносимая вариацией значений страховых выплат. Кроме этого можно отметить, что из (6), (11) легко получаются соответствующие выражения как для простого портфеля, так и простейшего портфеля.
Выражение (25) для тарифной ставки Т позволяет охарактеризовать модель реального страхового портфеля (МРСП) набором из пяти параметров:
МРСП
где объём портфеля, т. е. количество договоров страхования по выбранному виду риска, одинаковому для всех договоров и с одинаковым периодом (сроком) действия, по завершении которого договор прекращается, или договор завершается наступлением страхового события;