Курсовая работа (т): Паралельність у просторі. Розв’язування задач

Паралельність у просторі. Розв’язування задач

Житомирський державний університет імені Івана Франка

Кафедра методики навчання математики, фізики та інформатики

Курсова робота

Паралельність у просторі. Розв’язування задач

Студентки 5 курсу, 51-Б групи

Напряму підготовки: математика

Спеціальності:

математика: інформатика

Климчук І.Г.

Керівник:

Доцент, кандидат

педагогічних наук Прус А.В.

м. Житомир 2014

План

паралельність навчання геометричний підручник

Вступ

Розділ І. Структура та аналіз змісту теоретичного матеріалу теми "Паралельність прямих у просторі"

.1 Програма та тематичне планування вивчення теми

.2 Теоретичний матеріал по темі "Паралельність прямих у просторі"

.3 Аналіз викладення теми у шкільних підручниках:

Розділ ІІ. Аналіз системи задач до теми "Паралельність прямих у просторі" на прикладі підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) та Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.) та особливості навчання учнів їх розв'язувати

.1 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.)

.2 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.)

.3 Методика навчання базового теоретичного матеріалу теми

.4 Методика навчання учнів розв’язування завдань по темі

Висновок

Література

Додаток

Вступ

Темою "Паралельність прямих і площин у просторі" розпочинається вивчення курсу стереометрії у 10 класі. Тому основне її призначення - закладення основи для конструювання геометричних тіл, дослідження їхніх властивостей і вимірювання геометричних величин, пов'язаних з ними. Для цього вводяться основні поняття стереометрії (точки, прямі і площини), а також відношення між ними (належність, паралельність та ін.). Проводиться класифікація взаємного розміщення прямих і площин у просторі, вивчаються відповідні ознаки взаємного розміщення.

У процесі вивчення даної теми поглиблюються знання учнів про аксіоматичну побудову математичної теорії, розвиваються їхні просторові уявлення. Вже з перших кроків вивчення стереометрії на перший план виступає ідея математичного моделювання реальних об'єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших геометричних фігур і відповідних математичних відношень.

До найважливіших завдань вивчення теми належить розгляд одного з основних методів зображення просторових фігур на площині - методу паралельного проектування і формування найпростіших навичок його застосування.

Таким чином, основними завданнями вивчення теми є:

· формування в учнів розуміння того, що просторові геометричні фігури є математичними моделями об'єктів навколишнього середовища;

· розвиток в учнів уявлень про дедуктивний метод;

· систематизація уявлень та знань учнів про взаємне розміщення прямих і площин у просторі;

· ознайомлення учнів з методами побудови зображень фігур і виконання на них побудов.

Вивчення теми потрібно спланувати так, щоб після завершення навчання учні вміли:

· встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих;

· застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі для опису об'єктів фізичного простору і відношень між ними.

Мета роботи. Метою роботи є розробити методику вивчення теми "Паралельність прямих у просторі"

Предмет дослідження. Предметом дослідження є особливості вивчення даної теми в старшій школі.

Завдання дослідження.

1.      Вивчити науково-методичну літературу з предмету дослідження.

2.      Охарактеризувати особливості вивчення даної теми і втілити їх у розробки уроків.

.        Згідно проведеного дослідження і виявлених проблем розробити відповідний проект, направлений на усунення недоліків у роботі з учнями старших класів.

Методи дослідження. Теоретичні - системний аналіз психолого-педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, моделювання педагогічних процесів.

Емпіричні - спостереження, бесіди з вчителями і викладачами, вивчення і узагальнення досвіду загальноосвітніх закладів щодо реалізації завдань навчання вищезгаданої теми.

Робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел.

Перший розділ включає в себе аналіз навчальної літератури, теоретичний матеріал, а також твердження, правила, алгоритми . Другий розділ розкриває методику навчання учнів теми "Паралельність прямих у просторі", також розглянуто методику навчання учнів розв’язування завдань даної теми, в тому числі і тих, які не мають алгоритмів розв’язування.

Розділ І. Структура та аналіз змісту теорeтичного матеріалу теми "Паралельність прямих у просторі"

.1 Програма та тематичне планування вивчення теми

У старшій школі вивчення математики диференціюється за чотирма рівнями: рівнем стандарту, академічним, профільним та рівнем поглибленого вивчення математики. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма.

Розглянемо академічний рівень , так як більшість шкіл орієнтуються саме на цей рівень.

Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов’язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння. Крім того, за цією програмою здійснюється математична підготовка старшокласників, які не визначилися щодо напряму спеціалізації.

Програма академічного рівня призначена для організації навчання у класах універсального профілю та класах тих профілів, в інваріантній складовій типового навчального плану яких на вивчення математики відведено від 4 до 6 год на тиждень, і математика є базовим (обов’язковим для вивчення) предметом, близьким до профільних навчальних дисциплін - хімії, фізики, біології, екології, економіки, технологій.

У програмі академічного рівня з метою забезпечення для учнів можливості зміни рівня вивчення математики в кожному класі, в основному, збережено назви і послідовність вивчення тем, передбачених програмою рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано й уточнено у відповідності до Державного стандарту.

У процесі навчання математики на академічному рівні основна увага приділяється не лише засвоєнню математичних знань, а й виробленню вмінь застосовувати їх до розв’язування практичних і прикладних задач, оволодінню математичними методами, моделями, що забезпечить успішне вивчення профільних предметів - хімії, фізики, біології, технологій. При цьому зв’язки математики з профільними предметами посилюються за рахунок розв’язання задач прикладного змісту, ілюстрацій застосування математичних понять, методів і моделей у шкільних курсах хімії, біології, фізики, технологій.

За програмою для вивчення геометрії на академічному рівні в 10 класі відводиться 2 год на тиждень , а всього - 70 годин . Курс геометрії складається із чотирьох тем:

1.      Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.

2.      Вступ до стереометрії.

3.      Паралельність прямих і площин у просторі.

4.      Перпендикулярність прямих і площин у просторі.

Вивчення теми "Паралельність прямих і площин у просторі" розраховано на 22 години навчального часу. Дана тема включає в себе наступний навчальний матеріал:

·        Розміщення двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні, мимобіжні прямі.

·        Розміщення прямої та площини у просторі: пряма і площина, що перетинаються, паралельні пряма і площина. Ознака паралельності прямої та площини.

·        Розміщення двох площин у просторі: площини, що перетинаються, паралельні площини. Ознака паралельності площин. (Існування площини, паралельної даній площині). Властивості паралельних площин.

Враховуючи вищезгаданий навчальний матеріал та кількість годин, орієнтовне планування даної теми може мати слідуючий вигляд:

Після закінчення вивчення теми "Паралельність прямих та площин у просторі" учні повинні:

Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; властивості та ознаки паралельності прямих і площин.

- Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі.

- Знаходити і зображувати паралельні прямі та площини на малюнках і моделях.

- Встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих.

Будувати зображення фігур і виконувати на них нескладні побудови.

Розв׳ÿçóâàòè íåñêëàäí³ çàäà÷³ íà çàñòîñóâàííÿ âëàñòèâîñòåé òà îçíàê ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ³ ïëîøèí.

Застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі до опису відношень між об'єктами оточуючого світу.

Під час оцінювання знань, умінь та навичок учнів з теми "Паралельність прямої та площини у просторі" необхідно враховувати наступні критерії.

Ïî÷àòêîâèé ð³âåíü - ó÷åíü íàçèâຠãåîìåòðè÷íó ô³ãóðó (ïðÿìó, ïëîùèíó), ñèìâîë, àëå ò³ëüêè â òîìó âèïàäêó, êîëè öåé îá’ºêò (éîãî çîáðàæåííÿ, îïèñ, õàðàêòåðèñòèêà) çàïðîïîíîâàíî éîìó (¿é) áåçïîñåðåäíüî; çà äîïîìîãîþ â÷èòåëÿ âèêîíóº åëåìåíòàðí³ çàâäàííÿ.

Ñåðåäí³é ð³âåíü - ó÷åíü (ó÷åíèöÿ) ïîâòîðþº ³íôîðìàö³þ, îïåðàö³¿, 䳿, çàñâîºí³ íèì (íåþ) ó ïðîöåñ³ íàâ÷àííÿ, çäàòíèé(à) ðîçâ’ÿçóâàòè çàâäàííÿ çà çðàçêîì.

Äîñòàòí³é ð³âåíü - ó÷åíü (ó÷åíèöÿ) ñàìîñò³éíî çàñòîñîâóº çíàííÿ â ñòàíäàðòíèõ ñèòóàö³ÿõ, â쳺 âèêîíóâàòè ìàòåìàòè÷í³ îïåðàö³¿, çàãàëüí³ ìåòîäè ³ ïîñë³äîâí³ñòü (àëãîðèòì) ÿêèõ éîìó(¿é) çíàéîì³, àëå çì³ñò òà óìîâè âèêîíàííÿ çì³íåí³.

Âèñîêèé ð³âåíü - ó÷åíü (ó÷åíèöÿ) çäàòíèé(à) ñàìîñò³éíî îð³ºíòóâàòèñÿ â íîâèõ äëÿ íüîãî(íå¿) ñèòóàö³ÿõ, ñêëàäàòè ïëàí ä³é ³ âèêîíóâàòè éîãî; ïðîïîíóâàòè íîâ³, íåâ³äîì³ éîìó(¿é) ðàí³øå ðîçâ’ÿçàííÿ, òîáòî éîãî(¿¿) ä³ÿëüí³ñòü ìຠäîñë³äíèöüêèé õàðàêòåð.

.2 Òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë ïî òåì³ "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ òà ïëîùèí ó ïðîñòîð³"

ßê â³äîìî ç êóðñó ïëàí³ìåòð³¿, äâ³ ïðÿì³ íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íå ïåðåòèíàþòüñÿ. Ó ïëàí³ìåò𳿠âñ³ ô³ãóðè ðîçì³ùóâàëèñü íà îäí³é ïëîùèí³. Ó ñòåðåîìåò𳿠ìîæíà æ ðîçãëÿäàòè íåñê³í÷åííî áàãàòî ïëîùèí. Ó çâ’ÿçêó ç öèì îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ïîòðåáóº óòî÷íåííÿ.

Äâ³ ïðÿì³ â ïðîñòîð³ íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³ ³ íå ïåðåòèíàþòüñÿ.

Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ à ³ b â ñòåðåîìåò𳿠ïîçíà÷àþòü òàê ñàìî, ÿê ³ â ïëàí³ìåòð³¿: à || b.

Ç îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ âèïëèâàº, ùî ÷åðåç äâ³ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó. Öÿ ïëîùèíà ºäèíà. Îòæå, ÷åðåç äâ³ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíó.

ßê â³äîìî, íà ïëîùèí³ ÷åðåç äàíó òî÷êó, ÿêà íå íàëåæèòü ïðÿì³é, ìîæíà ïðîâåñòè ò³ëüêè îäíó ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é (àêñ³îìà ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ íà ïëîùèí³, àáî àêñ³îìà Åâêë³äà). Òàêà æ âëàñòèâ³ñòü âèêîíóºòüñÿ ó ïðîñòîð³.

Òåîðåìà ïðî ³ñíóâàííÿ ³ ºäèí³ñòü ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç äàíó òî÷êó ³ ïàðàëåëüíà äàí³é ïðÿì³é

Ç àêñ³îìè ïàðàëåëüíîñò³ Åâêë³äà âèïëèâàº, ùî â ïëîùèí³ ÷åðåç äàíó òî÷êó ìîæíà ïðîâåñòè íå á³ëüøå îäí³º¿ ïðÿìî¿, ÿêà ïàðàëåëüíà äàí³é ïðÿì³é. À ñê³ëüêè òàêèõ ïðÿìèõ ìîæíà ïðîâåñòè ó ïðîñòîð³?

Íåõàé äàíî ïðÿìó a ³ òî÷êó À, ùî íå ëåæèòü íà í³é. ×åðåç íèõ ìîæíà ïðîâåñòè ºäèíó ïëîùèíó (òåîðåìà 1.1). Ó ö³é ïëîùèí³ ìîæíà ïðîâåñòè ºäèíó ïðÿìó b, ÿêà ïàðàëåëüíà ïðÿì³é α (ðèñ. 33).

Îòæå, ó ïðîñòîð³ ÷åðåç äàíó òî÷êó À ìîæíà ïðîâåñòè ºäèíó ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é ïðÿì³é à.

Òàêèì ÷èíîì, ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: ×åðåç áóäü-ÿêó òî÷êó ïðîñòîðó, ÿêà íå ëåæèòü íà äàí³é ïðÿì³é, ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é, ³ ò³ëüêè îäíó.

Òåîðåìà.

Äâ³ ïðÿì³, ïàðàëåëüí³ òðåò³é ïðÿì³é, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ.

Äîâåäåííÿ

Íåõàé b|| a, ñ || à. Äîâåäåìî, ùî b|| ñ.

Ïðÿì³ b ³ ñ íå ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ. ²íàêøå ÷åðåç òî÷êó ¿õ ïåðåòèíó ïðîõîäèëè á äâ³ ð³çí³ ïðÿì³, ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é à, ùî ñóïåðå÷èëî á òåîðåì³.

Ïðèïóñòèìî, ùî ïðÿì³ b ³ ñ - ìèìîá³æí³. ×åðåç ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ b ³ à, ñ ³ a ïðîâåäåìî ïëîùèíè γ ³ β, à ÷åðåç ïðÿìó b ³ òî÷êó Ñ ïðÿìî¿ ñ - ïëîùèíó α. Íåõàé ïëîùèíè α ³ β ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é c₁. Ïðÿì³ à, ñ, c₁ ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³ β , ïðè÷îìó ñIIà. Òîìó ïðÿìà ñ₁, ÿêà ïåðåòèíຠñ, ïåðåòèíຠïðÿìó a â äåÿê³é òî÷ö³ À. Ïðÿì³ c₁ ³ à ëåæàòü â³äïîâ³äíî ó ïëîùèíàõ α ³ γ , òîìó ¿õ ñï³ëüíà òî÷êà À íàëåæèòü öèì ïëîùèíàì, à îòæå, ³ ¿õ ñï³ëüí³é ïðÿì³é b. Ç ïðèïóùåííÿ âèïëèâàº, ùî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ a ³ b ìàþòü ñï³ëüíó òî÷êó À, ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³.

Îòæå, ïðÿì³ b ³ ñ íå ìîæóòü í³ ïåðåòèíàòèñÿ, í³ áóòè ìèìîá³æíèìè. Òàêèì ÷èíì, b|| ñ .

Ïðÿìà ³ ïëîùèíà íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê.

Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ à ³ ïëîùèíè α ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: à || a. Íàî÷íå óÿâëåííÿ ïðî ïðÿìó, ÿêà ïàðàëåëüíà ïëîùèí³, äàþòü ë³í³¿ ïåðåòèíó ñò³íè ³ ñòåë³ - ö³ ë³í³¿ ïàðàëåëüí³ ïëîùèí³ ï³äëîãè. ³äð³çîê íàçèâàºòüñÿ ïàðàëåëüíèì ïëîùèí³, ÿêùî â³í º ÷àñòèíîþ ïðÿìî¿, ïàðàëåëüíî¿ ïëîùèí³.

Ñôîðìóëþºìî òà äîâåäåìî îçíàêó ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè.

Òåîðåìà.

ßêùî ïðÿìà, ÿêà íå íàëåæèòü ïëîùèí³, ïàðàëåëüíà ÿê³é-íåáóäü ïðÿì³é ó ö³é ïëîùèí³, òî âîíà ïàðàëåëüíà ³ ñàì³é ïëîùèí³.

Äîâåäåííÿ

Ïðèïóñòèìî, ùî ïðÿìà à íå íàëåæèòü ïëîùèí³ a . Òîä³ à ³ a ìàþòü ñï³ëüíó òî÷êó À.

ßêùî À Î b , òî à ³ b ìàþòü ñï³ëüíó òî÷êó À, ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³.

ßêùî À Î b , òî à ³ b ìèìîá³æí³, ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³.

Îòæå, à || a .

Âëàñòèâ³ñòü ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ.

ßêùî îäíà ç äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ïåðåòèíຠïëîùèíó, òî ¿¿ äðóãà ïðÿìà ïåðåòèíຠïëîùèíó.

Íà ìàëþíêó: à || b ³ à α = Ì. Çà âêàçàíîþ âëàñòèâ³ñòþ ïðÿìà b òàêîæ òàêîæ ïåðåòèíຠïëîùèíó α.

Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí ó ïðîñòîð³, îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí

ßêùî äâ³ ð³çí³ ïëîùèíè ìàþòü ñï³ëüíó òî÷êó, òî âîíè ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é. Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî äâ³ ïëîùèíè àáî ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é, àáî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, òîáòî íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê

Äâ³ ïëîùèíè íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íå ïåðåòèíàþòüñÿ.

Óÿâëåííÿ ïðî ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè äàþòü ï³äëîãà ³ ñòåëÿ ê³ìíàòè, äâ³ ïðîòèëåæí³ ñò³íè, ïîâåðõíÿ ñòîëà ³ ïëîùèíà ï³äëîãè. ßêùî ïëîùèíè a ³ b ïàðàëåëüí³, ïèøóòü: a || b.

Âëàñòèâîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè, ÿê³ ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ

1.      ßêùî ïëîùèíà ïðîõîäèòü ÷åðåç ïðÿìó, ÿêà ïàðàëåëüíà äðóã³é ïëîùèí³, ³ ïåðåòèíຠöþ ïëîùèíó, òî ïðÿìà ïåðåòèíó ïàðàëåëüíà äàí³é ïðÿì³é.

Äîâåäåííÿ

Íåõàé à || a ³ ïëîùèíà b ïðîõîäèòü ÷åðåç à, b - ïðÿìà ïåðåòèíó ïëîùèí a ³ b . Äîâåäåìî, ùî à || b. Ïðÿì³ à ³ b ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³ b ³ íå ïåðåòèíàþòüñÿ, áî â ñóïðîòèâíîìó âèïàäêó ïðÿìà à ïåðåòèíàëà á ïëîùèíó a, ùî íåìîæëèâî, îñê³ëüêè çã³äíî ç óìîâîþ à || a . Îòæå, à || b.

.        ßêùî ÷åðåç êîæíó ³ç äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ïðîâåäåíî ïëîùèíó, ïðè÷îìó ö³ ïëîùèíè ïåðåòèíàþòüñÿ, òî ¿õ ë³í³ÿ ïåðåòèíó ïàðàëåëüíà êîæí³é ³ç äàíèõ ïðÿìèõ.

Äîâåäåííÿ

Íåõàé à || b, ïðÿìà à ëåæèòü â ïëîùèí³ a , ïðÿìà b ëåæèòü â ïëîùèí³ b, ïëîùèíè a ³ b ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é ñ (ðèñ. 56). Äîâåäåìî, ùî à || ñ , b || ñ . Îñê³ëüêè à || b ³ ïðÿìà b ëåæèòü â ïëîùèí³ b, òî à || b ³, îòæå, çã³äíî ç ðîçâ'ÿçóâàííÿì çàäà÷³ 1, à || ñ. Àíàëîã³÷íî, îñê³ëüêè à || b, à ëåæèòü â ïëîùèí³ a, b || a ³, îòæå, b || ñ. Òàêèì ÷èíîì, à || ñ ³ b || ñ .

3.      ßêùî äâ³ ïëîùèíè, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ, ïàðàëåëüí³ îäí³é ³ ò³é ñàì³é ïðÿì³é, òî ïðÿìà ïåðåòèíó öèõ ïëîùèí ïàðàëåëüíà äàí³é ïðÿì³é.

Äîâåäåííÿ

Íåõàé a ³ b ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é ñ, à || a , à || b . Äîâåäåìî, ùî à || ñ. ³çüìåìî íà ïðÿì³é ñ äîâ³ëüíó òî÷êó À ³ ÷åðåç íå¿ ïðîâåäåìî ïðÿìó b, ïàðàëåëüíó ïðÿì³é à. Îñê³ëüêè ïðÿìà à || a, à || b, òî ïðÿìà b ëåæèòü ÿê â ïëîùèí³ a, òàê ³ â ïëîùèí³ b. Îòæå, ïðÿìà b - ïðÿìà, ïî ÿê³é ïåðåòèíàþòüñÿ ïëîùèíè a ³ b, òîìó ïðÿìà b çá³ãàºòüñÿ ç ïðÿìîþ ñ, îòæå, ñ || à .

Òåîðåìà. ×åðåç òî÷êó ïîçà äàíîþ ïëîùèíîþ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ïàðàëåëüíó äàí³é, ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíó.

Äîâåäåííÿ ðîç³á'ºìî íà äâ³ ÷àñòèíè.

. Äîâåäåìî, ùî ÷åðåç òî÷êó ïîçà äàíîþ ïëîùèíîþ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ïàðàëåëüíó äàí³é ïëîùèí³.

Äàíî: a, À  a

Äîâåñòè: ³ñíóº b, b || a , À Î b.

Äîâåäåííÿ

Ïðîâîäèìî â ïëîùèí³ à äâ³ ïðÿì³ à ³ b, ÿê³ ïåðåòèíàþòüñÿ.

×åðåç òî÷êó À ïðîâåäåìî ïðÿì³ à₁ ³ b₁ òàê³, ùî à₁ || à, b₁ || b.

×åðåç ïðÿì³ à₁ ³ b₁ ïðîâåäåìî ïëîùèíó b, ÿêà ïàðàëåëüíà a.

Áåçïîñåðåäíüî ç äîâåäåííÿ ³ñíóâàííÿ ïëîùèíè b íå âèïëèâàº, ùî b - ºäèíà, áî ïðÿì³ à ³ b âèáðàí³ äîâ³ëüíî, òîìó ìîæå ñòàòèñÿ, ùî äðóã³é ïàð³ òàêèõ ïðÿìèõ áóäå â³äïîâ³äàòè äðóãà ïëîùèíà b₁, ïàðàëåëüíà à.

. Äîâåäåìî, ùî ÷åðåç òî÷êó ïîçà äàíîþ ïëîùèíîþ ïðîõîäèòü ò³ëüêè îäíà ïëîùèíà, ïàðàëåëüíà äàí³é ïëîùèí³.

Äàíî: a, À  a, b, b || a, À  b.

Äîâåñòè: b - ºäèíà.

Äîâåäåííÿ

Ïðèïóñòèìî, ÷åðåç òî÷êó À ïðîõîäèòü b₁ òàêà, ùî b₁ || a .

³çüìåìî òî÷êó Ñ òàêó, ùî Ñ Î b₁, Ñ  b .

³çüìåìî òî÷êó Â,  Πa.

×åðåç òî÷êè À, B, Ñ ïðîâåäåìî γ, ÿêà ïåðåòèíຠa ïî ïðÿì³é b, b- ïî à, b₁- ïî ñ. Òîä³ à || b, ñ || b. Îòæå, ÷åðåç òî÷êó À ïðîõîäÿòü äâ³ ð³çí³ ïðÿì³ à ³ ñ, ÿê³ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é b, ùî ñóïåðå÷èòü òåîðåì³.

Òåîðåìà.

ßêùî äâ³ ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè ïåðåòèíàþòüñÿ òðåòüîþ, òî ïðÿì³ ïåðåòèíó ïàðàëåëüí³.

Öþ òåîðåìó ìîæíà ñôîðìóëþâàòè ïî-³íøîìó:

Ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè ïåðåòèíàþòüñÿ ñ³÷íîþ ïëîùèíîþ ïî ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Äîâåäåìî òåîðåìó.

Äàíî: a || b; γ ïåðåòèíຠa ïî ïðÿì³é à; γ ïåðåòèíຠb ïî ïðÿì³é b.

Äîâåñòè: à || b .

Äîâåäåííÿ

Ïðèïóñòèìî, ùî à b. Îñê³ëüêè à ³ b ëåæàòü â γ , òî âîíè ïåðåòèíàþòüñÿ â äåÿê³é òî÷ö³ À; À Î a , áî a Ì a; À Î b, áî b Ì b. Îòæå, a ³ b ïåðåòèíàþòüñÿ, ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³: a || b . Îòæå, à || b.

Ïàðàëåëüíå ïðîåêòóâàííÿ òà éîãî âëàñòèâîñò³

Äëÿ çîáðàæåííÿ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð ó ñòåðåîìåò𳿠êîðèñòóþòüñÿ ïàðàëåëüíèì ïðîåêòóâàííÿì.

Íåõàé äàíî äîâ³ëüíó ïëîùèíó α, òî÷êó À ³ ïðÿìó h, ÿêå ïåðåòèíຠïëîùèíó α. Ïðîâåäåìî ÷åðåç òî÷êó À ïðÿìó, ÿêà ïàðàëåëüíà h, âîíà ïåðåòèíຠïëîùèíó α ó äåÿê³é òî÷ö³ À₁. Çíàéäåíó òàêèì ñïîñîáîì òî÷êó À; íàçèâàþòü ïàðàëåëüíîþ ïðîåêö³ºþ òî÷êè À íà ïëîùèíó α ó íàïðÿì³ h. Ïðÿìó h íàçèâàþòü ïðîåêòóþ÷îþ ïðÿìîþ, ïëîùèíó α - ïëîùèíîþ ïðîåêö³é.

Ùîá ïîáóäóâàòè ïðîåêö³þ áóäü-ÿêî¿ ô³ãóðè, òðåáà ñïðîåêòóâàòè íà ïëîùèíó ïðîåêö³¿ êîæíó òî÷êó äàíî¿ ô³ãóðè (ðèñ. 84). Íàâåäåìî äåÿê³ âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ.

Òåîðåìà.

ßêùî â³äð³çêè, ÿê³ ïðîåêòóþòüñÿ, íå ïàðàëåëüí³ ïðîåêòóþ÷³é ïðÿì³é, òî ïðè ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàíí³:

1)      â³äð³çêè çîáðàæàþòüñÿ â³äð³çêàìè;

2)      ïàðàëåëüí³ â³äð³çêè çîáðàæàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè â³äð³çêàìè àáî â³äð³çêàìè îäí³º¿ ïðÿìî¿;

) â³äíîøåííÿ äîâæèí ïàðàëåëüíèõ â³äð³çê³â ³ â³äð³çê³â îäí³º¿ ïðÿìî¿ çáåð³ãàºòüñÿ.

Äîâåäåííÿ

1)      Óñ³ ïðÿì³, ùî ïðîåêòóþòü òî÷êè â³äð³çêà ÀÂ, ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³ β, ÿêà ïåðåòèíຠïëîùèíó α ïî ïðÿì³é À₁Â₁ . Îòæå, ïðîåêö³ºþ â³äð³çêà º â³äð³çîê, ïðè÷îìó äîâ³ëüíà òî÷êà Ñ â³äð³çêà À çîáðàæàºòüñÿ òî÷êîþ Ñ₁ â³äð³çêà À₁Â₁.

2)      Íåõàé â³äð³çêè À ³ CD, ÿê³ ïðîåêòóþòüñÿ, ïàðàëåëüí³. Óñ³ ïðÿì³, ùî ¿õ ïåðåòèíàþòü ³ ïàðàëåëüí³ h, çàïîâíþþòü àáî ÷àñòèíè îäí³º¿ ïëîùèíè, àáî ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí.

Ö³ ÷àñòèíè ïëîùèí ïåðåòèíàþòü ïëîùèíó à â³äïîâ³äíî àáî ïî â³äð³çêàõ îäí³º¿ ïðÿìî¿, àáî ïî ïàðàëåëüíèõ â³äð³çêàõ À₁Â₁ ³ Ñ₁D₁.

3)      ßêùî â³äð³çêè À ³ ÑÂ, ÿê³ ïðîåêòóþòü, ðîçì³ùåí³ íà îäí³é ïðÿì³é, òî çà òåîðåìîþ ïðî ïðîïîðö³éí³ â³äð³çêè ìàºìî: À₁Ñ₁ : Ñ₁B₁ = ÀÑ : ÑÂ.

ßêùî â³äð³çêè À ³ CD ïàðàëåëüí³, à ¿õ ïðîåêö³¿ À₁B₁ ³ Ñ₁D₁ ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é , òî ÀÂÂ₂A₂ - ïàðàëåëîãðàì. Ó öüîìó âèïàäêó A₁B₁ : C₁D₁ = A₂B₂ : CD = AB : CD.

Íàðåøò³, ÿêùî ïðîåêö³¿ À₁Â₁ ³ Ñ₁D₁ äàíèõ â³äð³çê³â À ³ CD íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é, òî ïîáóäóºìî ïàðàëåëîãðàì CDKB. Éîãî ïðîåêö³ÿ - ïàðàëåëîãðàì ÑDKÂ.

Îòæå, ìàºìî: À₁Â₁ : C₁D₁ = À₁Â₁ : Â₁Ê₁ = À : ÂÊ = À : CD.

1.3 Àíàë³ç âèêëàäåííÿ òåìè ó øê³ëüíèõ ï³äðó÷íèêàõ

-        Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À.)

         Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î.)

ϳäðó÷íèê º äæåðåëîì ³íôîðìàö³¿, çàñîáîì íàâ÷àííÿ ³ êîíòðîëþ çíàíü. Íàéâàæëèâ³øèìè ôóíêö³ÿìè øê³ëüíîãî ï³äðó÷íèêà ââàæàþòü: ³íôîðìàö³éíó, òðàíñôîðìàö³éíó, êîíòðîëþþ÷ó, âèõîâíó, ðîçâèâàëüíó. Êð³ì ïðîâ³äíèõ ôóíêö³é çàêð³ïëåííÿ çíàíü òà êîíòðîëþ ð³âíÿ çíàíü, â îñòàíí³ ðîêè øê³ëüíèé ï³äðó÷íèê ñòຠâàæëèâèì çàñîáîì ðîçâèòêó ó÷í³â, âèõîâàííÿ ìîðàëüíî-åòè÷íèõ ðèñ ³ ÿêîñòåé, äóõîâíîñò³.

Ó çâ'ÿçêó ç ââåäåííÿì ó øêîëàõ íîâèõ íàâ÷àëüíèõ ïëàí³â ³ ïðîãðàì ç ìàòåìàòèêè ïîñòàëà ãîñòðà ïîòðåáà ó ï³äðó÷íèêàõ, ÿê³ á â³äïîâ³äàëè âèìîãàì íîâèõ ïðîãðàì.

Íàâ÷àííÿ ìàòåìàòèêè ó 10 êëàñàõ çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â çä³éñíþºòüñÿ çà íîâèìè ï³äðó÷íèêàìè Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À.) âèäàâíèöòâî "Çîä³àê-ÅÊÎ"; Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î.) âèäàâíèöòâî "¥åíåçà".

Ö³ ï³äðó÷íèêè ñòâîðåíî â³äïîâ³äíî äî Äåðæàâíîãî ñòàíäàðòó òà íîâèõ ïðîãðàì ç ãåîìåò𳿠äëÿ 10 êëàñó çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â. Îäí³ºþ ç îñíîâíèõ ïðîáëåì øê³ëüíèõ ï³äðó÷íèê³â ãåîìåò𳿠- îïòèìàëüíå ïîºäíàííÿ íàóêîâîñò³ é äîñòóïíîñò³ âèêëàäåííÿ ìàòåð³àëó. Ñêëàäí³ñòþ âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè ïîÿñíþºòüñÿ òå, ùî óêðà¿íñüê³ øêîëè ìàþòü îáìàëü ï³äðó÷íèê³â, çà ÿêèìè ñïðàâä³ õîò³ëîñÿ á íàâ÷àòè ó÷í³â. Òà ç ³íøîãî áîêó, öå äàëî ïîøòîâõ äî ïåäàãîã³÷íî¿ òâîð÷îñò³ ÷èìàë³é ê³ëüêîñò³ íåáàéäóæèõ â÷èòåë³â.

Ðîçãëÿíåìî, ÿê âèñâ³òëåíà òåìà "Ïàðàëåëüí³ñòü ó ïðîñòîð³" ó öèõ ï³äðó÷íèêàõ.

Ó ï³äðó÷íèêó "Ãåîìåòð³ÿ, 10 êëàñ" Ì.². Áóðäè, Í.À. Òàðàñåíêîâî¿ ðîçä³ë ðîçïî÷èíàºòüñÿ ïåðåë³êîì ïåðåäáà÷óâàíèõ ï³çíàâàëüíèõ ðåçóëüòàò³â ("Ó ðîçä³ë³ ä³çíàºòåñü…"), à çàâåðøóºòüñÿ ðóáðèêîþ "Ïåðåâ³ðòå, ÿê çàñâî¿ëè ìàòåð³àë ðîçä³ëó". Òóò ïîäàíî êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ óçàãàëüíþþ÷îãî õàðàêòåðó ³ òåñòîâ³ çàâäàííÿ. Ó êîæíîìó ïàðàãðàô³ º: îñíîâíèé íàâ÷àëüíèé ìàòåð³àë; äîäàòêîâ³ â³äîìîñò³ (ðóáðèêà "ijçíàéòåñÿ á³ëüøå"); çàïèòàííÿ äëÿ ïîâòîðåííÿ âèâ÷åíîãî (ðóáðèêà "Çãàäàéòå ãîëîâíå"); ñèñòåìà çàäà÷, äèôåðåíö³éîâàíà çà ñêëàäí³ñòþ (ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæ³òü çàäà÷³"), ÿêó çàâåðøóº îêðåìèé áëîê çàâäàíü "Çàñòîñóéòå íà ïðàêòèö³".

Ó ðóáðèö³ "Ïåðåâ³ðòå, ÿê çàñâî¿ëè ìàòåð³àë ðîçä³ëó" ïîäàíî êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ óçàãàëüíþþ÷îãî õàðàêòåðó ³ òåñòîâ³ çàâäàííÿ. ³äïîâ³äàþ÷è íà çàïèòàííÿ ³ âèêîíóþ÷è òåñòè, ó÷í³ ïåðåîñìèñëþþòü, óçàãàëüíþþòü ³ ñèñòåìàòèçóþòü â³äîìîñò³, âèâ÷åí³ â ðîçä³ë³, ïðèâîäÿòü ó ñèñòåìó îòðèìàí³ íàâè÷êè é óì³ííÿ. Äàíèé ðîçä³ë ïîä³ëåíî íà ïàðàãðàôè.

Çì³ñò äàíîãî ðîçä³ëó ï³äðó÷íèêà ´ðóíòóºòüñÿ íà òàêèõ ìåòîäè÷íèõ çàñàäàõ: 1) äîñòóïí³ñòü òà íàóêîâ³ñòü; 2) íàñòóïí³ñòü; 3) äèôåðåíö³éîâàíà ðåàë³çîâàí³ñòü; 4) ïð³îðèòåò ðîçâèâàëüíî¿ ôóíêö³¿ íàâ÷àííÿ; 5) ïðèêëàäíà ñïðÿìîâàí³ñòü 6) ïîñèëåííÿ ì³æïðåäìåòíèõ çâ’ÿçê³â (ô³çèêà, õ³ì³ÿ, á³îëîã³ÿ, òåõíîëî㳿).

Íàóêîâ³ñòü çì³ñòó ðîçä³ëó çàáåçïå÷åíà â ïåðøó ÷åðãó ëîã³÷íî ïîñë³äîâíèì ðîçì³ùåííÿì íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó, êîðåêòíèì ôîðìóëþâàííÿì îçíà÷åíü ïîíÿòü, äîñòàòí³ì ð³âíåì ñòðîãîñò³. Ëîã³÷íå óïîðÿäêóâàííÿ ³ ïîñë³äîâí³ñòü íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó ðîçä³ëó â³äïîâ³äàþòü âèìîãàì äèäàêòèêè ³ ìàòåìàòèêè ÿê íàóêè. Òåðì³íîëîã³ÿ ñó÷àñíà, ïðåäìåòíà é îäíîçíà÷íà. Ïîíÿòòÿ ³ âëàñòèâîñò³ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð ñôîðìóëüîâàí³ êîðåêòíîþ ìàòåìàòè÷íîþ ìîâîþ. ׳òêî ðîçìåæîâóºòüñÿ çì³ñò ïîíÿòü (ïåðåðàõîâóþòüñÿ âñ³ ñóòòºâ³ îçíàêè) ³ ¿õ îáñÿã (âêàçóºòüñÿ ìíîæèíà îá'ºêò³â, äå çàñòîñîâóºòüñÿ ïîíÿòòÿ). Ïðè öüîìó çì³ñò ïîíÿòü ðîçêðèâàºòüñÿ çà äîïîìîãîþ îçíà÷åíü, à ¿õ îáñÿã - ³ç çàëó÷åííÿì êëàñèô³êàö³é (ïîä³ëó ïîíÿòü çà ïåâíîþ îçíàêîþ). Ç îäíîãî áîêó, öå ïîêðàùèòü çàñâîºííÿ ³ çàñòîñóâàííÿ ïîíÿò³éíîãî àïàðàòó äàíî¿ òåìè, à ç äðóãîãî - ïîñèëèòü éîãî çîðîâå ñïðèéìàííÿ. Çàñëóãîâóº íà óâàãó ³ òå, ùî ïîðÿä ç îçíà÷åííÿìè ïîíÿòü ÷åðåç íàéáëèæ÷èé ð³ä ³ âèäîâó â³äì³íí³ñòü, ñïðèéìàííÿ ÿêèõ âèìàãຠñêëàäí³øî¿ ðîçóìîâî¿ ä³ÿëüíîñò³, âèêîðèñòîâóþòüñÿ ³ êîíñòðóêòèâí³ îçíà÷åííÿ, ÿê³ äàþòü çìîãó ó÷íåâ³ óñâ³äîìèòè ñàì ïðîöåñ ñòâîðåííÿ (ïîáóäîâè) â³äïîâ³äíîãî ñòåðåîìåòðè÷íîãî îá’ºêòà. Òîìó îçíà÷åííÿ ïîíÿòòÿ íåð³äêî ñïèðàºòüñÿ àáî íà ìàëþíîê, àáî ïîáóäîâó , àáî íà ðîçãëÿä æèòòºâî¿ ñèòóàö³¿. Ó÷íÿì ïðîïîíóºòüñÿ ñïî÷àòêó ñàìîñò³éíî äàòè îçíà÷åííÿ ïîíÿòòþ, à ïîò³ì ïîð³âíÿòè éîãî ç íàâåäåíèì ó ï³äðó÷íèêó.

Íàâ÷àëüíèé ìàòåð³àë ïðî ïàðàëåëüí³ñòü ó ïðîñòîð³ ñïèðàºòüñÿ íà íàî÷í³ñòü òà ³íòó¿ö³þ ó÷í³â, íà ¿õ æèòòºâèé äîñâ³ä, ùî ðîáèòü éîãî äîñòóïíèì. Çì³ñò òåìè ðîçðàõîâàíèé íà ñàìîñò³éíå éîãî îïðàöþâàííÿ ó÷íÿìè. Ç ö³ºþ ìåòîþ âèâ÷åííÿ ãåîìåòðè÷íèõ ôàêò³â ðîçïî÷èíàºòüñÿ ç àíàë³çó ó÷íåì éîãî åìï³ðè÷íîãî äîñâ³äó (â³äïîâ³äíèõ ïðèêëàä³â ç äîâê³ëëÿ, ìîäåëåé ÷è ìàëþíê³â). Öå äຠçìîãó ç’ÿñóâàòè ³ñòîòí³ îçíàêè ïîíÿòü, âëàñòèâîñò³ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð ³ íà îñíîâ³ öüîãî ñàìîñò³éíî ñôîðìóëþâàòè â³äïîâ³äí³ òâåðäæåííÿ. Íàâ÷àëüí³ òåêñòè íàïèñàí³ òàê, ùîá çàëó÷èòè ó÷íÿ äî ñï³âïðàö³. Âèêëàä ðîçïî÷èíàºòüñÿ ç îïèñó ïðàêòè÷íèõ ä³é, ÿê³ ïðèâåäóòü ó÷íÿ äî íîâîãî ïîíÿòòÿ ÷è ôàêòó, àáî æ ç³ çâåðíåííÿ äî éîãî äîñâ³äó "Âè âæå çíàºòå, ùî …". Ñàìîñò³éíî îâîëîä³òè íàâ÷àëüíèì ìàòåð³àëîì äîïîìîæå ³ ï³äêð³ïëåííÿ éîãî ìàëþíêàìè, ÿê³ âèêîíóþòü íå ëèøå ³ëþñòðàòèâíó, à é åâðèñòè÷íó ðîëü - íà ìàëþíêàõ êîëüîðîì âèä³ëÿþòüñÿ äàí³ ³ øóêàí³ âåëè÷èíè, äîïîì³æí³ ïîáóäîâè òîùî. Çàãàëîì ï³äðó÷íèê äîáðå ³ëþñòðîâàíèé. Êîëüîðîâ³ ôîòîãðàô³¿ íåñóòü ðåòåëüíî ïðîäóìàíå äèäàêòè÷íå íàâàíòàæåííÿ.

Îñîáëèâà óâàãà ïðèä³ëÿºòüñÿ òåîðåìàì òà ¿õ äîâåäåííÿì. Äî êîæíî¿ òåîðåìè äàºòüñÿ ñêîðî÷åíèé çàïèñ. Öå äຠó÷íÿì ìîæëèâ³ñòü òî÷í³øå çðîçóì³òè ñóòü ¿¿ óìîâè ³ âèìîãè. Äîâåäåííÿ ëàêîí³÷í³ é ïîä³ëåí³ íà ñìèñëîâ³ áëîêè.

Ñë³äîì çà îçíà÷åííÿì ïîíÿòòÿ ÷è äîâåäåííÿì òåîðåìè ó÷íÿì ïðîïîíóºòüñÿ ïîì³ðêóâàòè íàä ïðîáëåìíèì çàïèòàííÿì. Âîíî ñïðèÿº ãëèáøîìó îñìèñëåííþ ³ñòîòíèõ îçíàê íîâîãî ïîíÿòòÿ àáî åòàï³â äîâåäåííÿ.

Ìàòåð³àë ðîçðàõîâàíèé íà ó÷í³â ç ð³çíèìè íàâ÷àëüíèìè äîñÿãíåííÿìè. Äëÿ òèõ, õòî ö³êàâèòüñÿ ãåîìåòð³ºþ, áàæຠïîãëèáèòè ñâî¿ çíàííÿ ïðèçíà÷åíà ðóáðèêà "ijçíàéòåñÿ á³ëüøå". Ìàòåð³àë ö³º¿ ðóáðèêè äîñèòü ö³êàâèé ³ êîðèñíèé äëÿ ó÷í³â. Øêîëÿð³ îòðèìóþòü ìîæëèâ³ñòü îçíàéîìèòèñÿ íå ëèøå ç ³ñòîðè÷íèìè â³äîìîñòÿìè, äîëÿìè âèçíà÷íèõ â÷åíèõ, àëå é ðîçøèðèòè òà ïîãëèáèòè ñâî¿ çíàííÿ ñòîñîâíî îñíîâíîãî íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó.

Çàäà÷³ ï³äðó÷íèêà ìàþòü ÷îòèðè ð³âí³ ñêëàäíîñò³ - ïî÷àòêîâèé, ñåðåäí³é, äîñòàòí³é ³ âèñîêèé. Óñåðåäèí³ íàáîðó ïåâíîãî ð³âíÿ ñêëàäíîñò³ çàäà÷³ çãðóïîâàí³ çà ïîðÿäêîì âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íèõ â³äîìîñòåé.

Ó ï³äðó÷íèêó ðåàë³çîâàíî ä³ÿëüí³ñíèé ï³äõ³ä äî íàâ÷àííÿ ãåîìåò𳿠- çàñâîºííÿ íå ëèøå ãîòîâèõ çíàíü, à é ñïîñîá³â öüîãî çàñâîºííÿ, ñïîñîá³â ì³ðêóâàíü, ÿê³ çàñòîñîâóþòüñÿ â ãåîìåòð³¿, ñòâîðåííÿ äèäàêòè÷íèõ ñèòóàö³é, ÿê³ ñòèìóëþþòü ñàìîñò³éí³ â³äêðèòòÿ ó÷íÿìè ãåîìåòðè÷íèõ ôàêò³â. Ìàéæå ó êîæíîìó ïàðàãðàô³ âì³ùåí³ ïîðàäè ùîäî òîãî, ÿê ä³ÿòè ó ò³é ÷è ³íø³é íàâ÷àëüí³é ñèòóàö³¿. Âîíè ñôîðìóëüîâàí³ ó âèãëÿä³ ïðàâèë àáî âêàç³âîê. Âêàç³âêè ñïðÿìîâàí³ íà ðîçï³çíàâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ çàëåæíîñòåé, íà çàñòîñóâàííÿ ïîíÿòü, òåîðåì àáî ñïîñîá³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷. Çíà÷íà óâàãà ïðèä³ëåíà ñèñòåìàòèçàö³¿ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó (òàáëèö³, ñõåìè, çàäà÷³-òàáëèö³, êëàñèô³êàö³¿), ùî ïîëåãøèòü çàñòîñóâàííÿ éîãî äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷.  Äëÿ êðàùîãî îð³ºíòóâàííÿ ñòàðøîêëàñíèê³â ùîäî ìàòåð³àëó äàíî¿ òåìè âèêîðèñòàí³ ï³êòîãðàìè. Íàéâàæëèâ³ø³ îçíà÷åííÿ íîâèõ ïîíÿòü, ôîðìóëþâàííÿ òåîðåì îáâåäåí³ ðàìêîþ. Òðåáà, ùîá ó÷í³ çðîçóì³ëè ¿õ, çàïàì’ÿòàëè ³ íàâ÷èëèñÿ çàñòîñîâóâàòè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷. ²íø³ âàæëèâ³ â³äîìîñò³ íàäðóêîâàí³ æèðíèì øðèôòîì. Êóðñèâîì âèä³ëåíî òåðì³íè (íàóêîâ³ íàçâè) ïîíÿòü.

ϳäðó÷íèê "Ãåîìåòð³ÿ, 10 êëàñ" (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) àâòîð³â Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î. ïîâí³ñòþ â³äïîâ³äຠíîâ³é ïðîãðàì³ ãåîìåò𳿠äëÿ 12-ð³÷íî¿ øêîëè, óñ³ì äèäàêòè÷íèì ïðèíöèïàì, ïîòðåáàì ñó÷àñíîãî óêðà¿íñüêîãî ñóñï³ëüñòâà. Êîðîòêî îõàðàêòåðèçóâàòè éîãî ìîæíà ñëîâàìè: íàóêîâèé, äîñòóïíèé, ïðàêòè÷íèé, ñó÷àñíèé, óêðà¿íñüêèé, çðó÷íèé. ϳäðó÷íèê ïîä³ëåíèé íà ñ³ì ìîäóë³â. Òåìà "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" ðîçãëÿäàºòüñÿ ó äâîõ ìîäóëÿõ: " Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³, ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè" òà "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïëîùèí ó ïðîñòîð³". Ñòðóêòóðà êîæíîãî ìîäóëÿ íàñòóïíà: ïî÷èíàºòüñÿ ç êîðîòêîãî çì³ñòó òà õàðàêòåðèñòèêè ö³ëåé âèâ÷åííÿ; òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë, ÿêèé âêëþ÷ຠâ ñåáå çàäà÷³ ç ðîçâ’ÿçêàìè; âïðàâè, ÿê³ ðîçðàõîâàí³ íà ÷îòèðè ð³âí³ ñêëàäíîñò³; ïðèêëàäí³ çàäà÷³ òà ðîçä³ë "Ç ë³òîïèñó ãåîìåòð³¿". Êîæåí ìîäóëü çàê³í÷óºòüñÿ çàïèòàííÿìè òà òåñòîì äëÿ ñàìîêîíòðîëþ. Êîæåí ìîäóëü ïîä³ëåíèé íà ïàðàãðàôè.

Çì³ñò äàíèõ ìîäóë³â ´ðóíòóºòüñÿ íà òèõ æå ìåòîäè÷íèõ çàñàäàõ, ùî é ó ï³äðó÷íèêó ãåîìåò𳿠àâòîð³â Áóðäà òà Òàðàñåíêîâà.

Íà ïî÷àòêó êîæíîãî ìîäóëÿ ïîäàºòüñÿ éîãî îñíîâíèé çì³ñò òà êîðîòêà ìîòèâàö³ÿ âèâ÷åííÿ. Ó òàêèé ñïîñ³á ó÷í³ òà â÷èòåë³ ìàþòü ìîæëèâ³ñòü çàãëÿíóòè íà áàãàòî óðîê³â íàïåðåä, óñòàíîâëþþ÷è òèì ñàìèì çâ’ÿçêè ì³æ îêðåìèìè òåìàìè. Ãàðíî îôîðìëåí³ çàñòàâêè òà öèòàòè â³äîìèõ îñîáèñòîñòåé ñïðèÿþòü åñòåòè÷íîìó âèõîâàííþ òà ñòâîðþþòü àòìîñôåðó çàö³êàâëåíîñò³ äî íàâ÷àííÿ.

Ìîâà ï³äðó÷íèêà º âèðàçíîþ òà ë³òåðàòóðíîþ. Äîñòóïí³ñòü ìîâè ³ âèêëàäåííÿ äຠçìîãó ó÷íåâ³ â ðàç³ ïîòðåáè ñàìîñò³éíî îïàíîâóâàòè íàâ÷àëüíèé ìàòåð³àë. Òàêîæ öüîìó ñïðèÿº îôîðìëåííÿ òåîðåòè÷íî¿ ÷àñòèíè. Òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë âèêëàäåíî ïðîñòî ³ ëàêîí³÷íî, îïèðàþ÷èñü íà äîñâ³ä ó÷í³â. Òóò äàþòüñÿ â³äïîâ³äí³ îçíà÷åííÿ, äîâîäÿòüñÿ îçíàêè òà íèçêà òåîðåì ïðî ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³. Êîæíà òåîðåìà âèä³ëåíà ïåâíèì êîëüîðîì, à äîâåäåííÿ òåîðåìè âçÿòî â êîëüîðîâó ðàìêó. Òåîðåìè òà ¿õ äîâåäåííÿ äîïîâíþþòü â³äïîâ³äí³ ïîáóäîâè, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ó÷íÿì êðàùå çðîçóì³òè ìàòåð³àë. Äëÿ îçíàéîìëåííÿ ç îñíîâíèìè ³äåÿìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ â ï³äðó÷íèêó íàâîäÿòüñÿ ïðèêëàäè, ó ÿêèõ, êð³ì ñàìîãî ðîçâ’ÿçàííÿ, îêðåìî ì³ñòèòüñÿ òàêîæ äîäàòêîâå ïîÿñíåííÿ ó ôîðì³ "×îìó ñàìå òàê?", ùî äîïîìîæå ó÷íåâ³ îð³ºíòóâàòèñÿ â çì³ñò³ çàäà÷³ òà âèáèðàòè ñïîñ³á ¿¿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Äàí³ çðàçêè ðîçâ’ÿçóâàííÿ äîïîìîæóòü øêîëÿðàì ñêëàñòè ïëàí ðîçâ’ÿçóâàííÿ àíàëîã³÷íîãî çàâäàííÿ. Çà óìîâè òàêî¿ ïîäà÷³ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó êîìåíòàð, ó ÿêîìó ïîÿñíþºòüñÿ ðîçâ’ÿçàííÿ, íå çàâàæຠñïðèéíÿòòþ îñíîâíî¿ ³äå¿ òà ïëàíó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàíü ïåâíîãî òèïó. Öå äîçâîëÿº ó÷íåâ³, ÿêèé óæå çàñâî¿â ñïîñ³á ðîçâ’ÿçóâàííÿ, çà äîïîìîãîþ íàâåäåíîãî ïðèêëàäó çãàäàòè, ÿê ðîçâ’ÿçóâàòè àíàëîã³÷í³ çàâäàííÿ, à ó÷íåâ³, ÿêîìó ïîòð³áíà êîíñóëüòàö³ÿ ç ðîçâ’ÿçóâàííÿ, - îòðèìàòè äåòàëüíó êîíñóëüòàö³þ, ùî ì³ñòèòüñÿ â êîìåíòàð³. (Öå æ äîçâîëÿº ó÷íåâ³, ÿêèé íå áóâ ïðèñóòí³ì íà óðîö³, äå ïîÿñíþâàâñÿ â³äïîâ³äíèé ìàòåð³àë, ñàìîñò³éíî îñâî¿òè éîãî). ϳñëÿ êîæíîãî ïàðàãðàôà º âïðàâè íà çàñâîºííÿ âèâ÷åíîãî. Êîæíîìó çàâäàííþ ïðèïèñàíî éîãî ð³âåíü ñêëàäíîñò³ â³äïîâ³äíî äî êëàñèô³êàö³¿, ÿêà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïîçíà÷åííÿ ð³âí³â íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü ó÷í³â: ïî÷àòêîâèé ³ ñåðåäí³é ð³âí³ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü, äîñòàòí³é ð³âåíü, âèñîêèé ð³âåíü. Ïî÷àòêîâèé òà ñåðåäí³é ð³âí³ ïîäàþòüñÿ ó âèãëÿä³ òåñòîâèõ çàâäàíü, ÿê³ ìîæíà âèêîíóâàòè ÿê óñíî, òàê ³ ïèñüìîâî.

Çàïèòàííÿ òà òåñòè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ äîïîìîæóòü ó÷íÿì ïîâòîðèòè ìàòåð³àë, ÿêèé âèâ÷àâñÿ â ìîäóë³, òà ï³äãîòóâàòèñÿ äî ïåâíîãî âèäó êîíòðîëþ.

Ìîæíà ç âïåâíåí³ñòþ ñêàçàòè, ùî ñòðóêòóðà, îáñÿã ³ ñï³ââ³äíîñí³ñòü íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó äàíèõ ï³äðó÷íèê³â ïîâí³ñòþ â³äïîâ³äàþòü ä³þ÷³é ïðîãðàì³. Çì³ñò ï³äðó÷íèê³â â³äïîâ³äຠîñíîâíèì äèäàêòè÷íèì ïðèíöèïàì íàóêîâîñò³, ôóíäàìåíòàëüíîñò³, ñó÷àñíîñò³ òåîðåòè÷íèõ íàâ÷àëüíèõ ìàòåð³àë³â, îïòèìàëüíîñò³ ñï³ââ³äíîøåííÿ òà äîñòóïí³ñòü îá’ºìó òåîðåòè÷íî - íàóêîâîãî ìàòåð³àëó ç îñíîâ íàóêè ç ³íäèâ³äóàëüíèìè, ïñèõîëîã³÷íèìè é â³êîâèìè ìîæëèâîñòÿìè òà îñîáëèâîñòÿìè ó÷í³â, ³íòåãðàö³¿ òà ñèíòåçó ì³æïðåäìåòíèõ òà ñïåö³àëüíèõ çíàíü, óì³íü, íàâèê³â.

Íà ìîþ äóìêó, â ï³äðó÷íèêó ãåîìåò𳿠àâòîð³â Áóðäà òà Òàðàñåíêîâà íåîáõ³äíî çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü çàäà÷ ïðàêòè÷íîãî çì³ñòó òà ê³ëüê³ñòü çðàçê³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ òèïîâèõ çàäà÷ äî çì³ñòó ïàðàãðàô³â, äîäàòè òèïîâ³ çàâäàííÿ äëÿ ï³äãîòîâêè äî êîíòðîëüíèõ ðîá³ò. À â ï³äðó÷íèêó àâòîð³â Á³ëÿí³í³, Á³ëÿí³í³, Øâåöü çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó , ïîë³ïøèòè ÿê³ñòü ïîë³ãðàô³¿, çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü ³ëþñòðàö³é òà ðîçì³ð øðèôòó.

Ðîçä³ë ²². Àíàë³ç ñèñòåìè çàäà÷ äî òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³" íà ïðèêëàä³ ï³äðó÷íèêà Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À.) òà Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î.) òà îñîáëèâîñò³ íàâ÷àííÿ ó÷í³â ¿õ ðîçâ’ÿçóâàòè

.1 Ñèñòåìè çàäà÷ ó ï³äðó÷íèêó Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À.)

ϳñëÿ êîæíîãî ïàðàãðàôó íàâîäèòüñÿ íàá³ð çàäà÷. Äî çàãàëüíî¿ ñèñòåìè çàäà÷ âêëþ÷åíî âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ, ùî ìàþòü íà ìåò³ ñïðèÿòè ãîòîâíîñò³ äî îïàíóâàííÿ íàñòóïíèì ìàòåð³àëîì, çáåðåæåííþ âì³íü ³ íàâè÷îê, ñôîðìîâàíèõ ïðè âèâ÷åíí³ ïîïåðåäí³õ ðîçä³ë³â. Çàäà÷³ ï³äðó÷íèêà ïîä³ëÿþòüñÿ íà ÷îòèðè ð³âí³ ñêëàäíîñò³. ßê ïðàâèëî, íàáîðè ïî÷àòêîâîãî ³ ñåðåäíüîãî ð³âí³â ñêëàäíîñò³ ðîçïî÷èíàþòüñÿ ³ç çàäà÷ çà ãîòîâèìè ìàëþíêàìè. Õî÷à âîíè íå º âèêëþ÷åííÿì ³ ñåðåä á³ëüø ñêëàäíèõ çàäà÷. Îêðåì³, íàéá³ëüø âàæëèâ³ çàäà÷³ -òåîðåìè âèä³ëåí³ æèðíèì øðèôòîì. Ó÷íÿì äîö³ëüíî çàïàì’ÿòàòè ¿õ ôîðìóëþâàííÿ. Ö³ ãåîìåòðè÷í³ òâåðäæåííÿ ìîæíà çàñòîñîâóâàòè ó ðîçâ’ÿçàíí³ ³íøèõ çàäà÷. Îñîáëèâ³ñòþ çàäà÷ ï³äðó÷íèêà º òå, ùî çàäà÷³ âèñîêîãî ð³âíÿ ñêëàäíîñò³ âêëþ÷àþòü åëåìåíòè çàäà÷ ñåðåäíüîãî ³ äîñòàòíüîãî ð³âí³â, à îñòàíí³ - åëåìåíòè çàäà÷ ïî÷àòêîâîãî ð³âíÿ.   Ïåðøó ãðóïó ñêëàäàþòü óñí³ âïðàâè - çàâäàííÿ òåîðåòè÷íîãî ïëàíó, ðîçãëÿä ÿêèõ º ïðîì³æíèì åòàïîì ì³æ âèâ÷åííÿì òåî𳿠³ ðîçâ'ÿçóâàííÿì ïèñüìîâèõ çàäà÷. Íàÿâí³ñòü òàêèõ çàäà÷ äຠçìîãó âèêîðèñòîâóâàòè íà óðîö³ ³íòåðàêòèâí³ ôîðìè ðîáîòè. Äðóãà ãðóïà çàâäàíü - ãðàô³÷í³ âïðàâè, ÿê³ ó÷í³ ìîæóòü âèêîíóâàòè ÿê âëàñíîðó÷ ó çîøèò³, òàê ³ çà äîïîìîãîþ êîìï'þòåðà. Ö³ âïðàâè äàþòü íàî÷íå óÿâëåííÿ ïðî áàçîâ³ ãåîìåòðè÷í³ êîíô³ãóðàö³¿, ùî âèâ÷àþòüñÿ, ñïðèÿþòü ðîçâèòêó ïî÷àòêîâèõ êðåñëÿðñüêèõ óì³íü ³ íàâè÷îê ðîáîòè ç ãðàô³÷íèìè êîìï'þòåðíèìè ïðîãðàìàìè. Íàñòóïíó ãðóïó ñêëàäàþòü ïèñüìîâ³ çàäà÷³, çãðóïîâàí³ çà òðüîìà ð³âíÿìè ñêëàäíîñò³. Íà êîæíîìó ð³âí³ çàâäàííÿ äèôåðåíö³éîâàíî çà çì³ñòîì íàâ÷àëüíî¿ ä³ÿëüíîñò³ - çàäà÷³ íà îá÷èñëåííÿ, äîâåäåííÿ, ïîáóäîâó òîùî.

Äî êîæíîãî ïàðàãðàôà íàâåäåíî áàãàòî çàäà÷, ñåðåä ÿêèõ çàäà÷³ íà: çàñòîñóâàííÿ âëàñòèâîñòåé òà îçíàê ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ òà ïëîùèí, ïîáóäîâó ïëîùèíè, ïàðàëåëüíî¿ äàí³é, ïîáóäîâó ïåðåð³ç³â ìíîãîãðàííèê³â, ç âèêîðèñòàííÿì âëàñòèâîñòåé ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí.

Ðîçãëÿíåìî òà îõàðàêòåðèçóºìî çàäà÷³ äî òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³".

Çàäà÷³ ïàðàãðàôà "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³" ïîä³ëÿþòüñÿ íà:

 ïàðàãðàô³ "Âëàñòèâîñò³ é îçíàêà ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³" çàäà÷³ íîñÿòü ñë³äóþ÷èé õàðàêòåð:

 íàñòóïíîìó ïàðàãðàô³ "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ òà ïëîùèíè" íàñòóïíà ñèñòåìà çàäà÷:

Äî ïàðàãðàôà "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí" àâòîðè ï³ä³áðàëè íàñòóïíó ñèñòåìó çàäà÷:

Çàäà÷³ ïàðàãðàôà "Âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí" ïîä³ëÿþòüñÿ íà:

Ñèñòåìà çàäà÷ äî ïàðàãðàôà "Ïàðàëåëüíå ïðîåêòóâàííÿ" íàñòóïíà:

Ïî çàâåðøåíí³ âèâ÷åííÿ òåìè ó÷íÿì ïðîïîíóºòüñÿ ïåðåâ³ðèòè ñâî¿ çíàííÿ, âèêîíàâøè òåñòîâ³ çàâäàííÿ, ÿê³ âêëþ÷àþòü â ñåáå âåñü ìàòåð³àë òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³".

Íà ì³é ïîãëÿä â äàí³é ñèñòåì³ çàäà÷ íåîáõ³äíî çìåíøèòè ê³ëüê³ñòü çàäà÷ íà äîâåäåííÿ, à çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü çàäà÷ îá÷èñëþâàëüíîãî õàðàêòåðó òà çàäà÷ ïðàêòè÷íîãî çì³ñòó. Òàêîæ ÿ ââàæàþ, ùî ïîòð³áíî äîïîâíèòè ìàòåð³àë çàäà÷àìè ïî÷àòêîâîãî òà ñåðåäíüîãî ð³âíÿ.

.2 Ñèñòåìè çàäà÷ ó ï³äðó÷íèêó Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î.)

ϳäðó÷íèê ì³ñòèòü ïåäàãîã³÷íî äîö³ëüíó ñèñòåìó çàäà÷ ³ âïðàâ, ÿêà ñïðÿìîâàíà íà ôîðìóâàííÿ îñíîâíèõ ïîíÿòü òåìè "Ïàðàëåëüí³òü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³", à òàêîæ íà âèðîáëåííÿ â ó÷í³â â³äïîâ³äíèõ ñïîñîá³â ¿õ ðîçâ’ÿçóâàííÿ". Ó á³ëüøîñò³ âèïàäê³â ðåàë³çîâàíî àëãîðèòì³÷íèé ï³äõ³ä äî òàêîãî âèðîáëåííÿ, ùî ïåðåäáà÷ຠéîãî ïîåòàïí³ñòü ³ â³äïðàöþâàííÿ êîæíîãî ïåðåäáà÷åíîãî â³äïîâ³äíèì àëãîðèòìîì êðîêó. Ñèñòåìà çàâäàíü ì³ñòèòü çàäà÷³ ³ âïðàâè ÷îòèðüîõ ð³âí³â ñêëàäíîñò³, ÿê³, ÿê ïðàâèëî, çãðóïîâàí³ çà â³äïîâ³äíèìè ð³âíÿìè. Çíà÷íó óâàãó ïðèä³ëåíî çàäà÷àì ïðàêòè÷íîãî õàðàêòåðó, âì³ùåíèõ ó ðóáðèö³ "Ïðèêëàäí³ çàäà÷³".

Ñèñòåìà çàäà÷ ³ âïðàâ ìຠ÷îòèðè ð³âí³ ñêëàäíîñò³. Êîæíîìó çàâäàííþ ïðèïèñàíî éîãî ð³âåíü ñêëàäíîñò³ â³äïîâ³äíî äî êëàñèô³êàö³¿, ÿêà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïîçíà÷åííÿ ð³âí³â íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü ó÷í³â: ïî÷àòêîâèé ³ ñåðåäí³é ð³âí³ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü, äîñòàòí³é ð³âåíü, âèñîêèé ð³âåíü. Öå äîïîìîæå â÷èòåëþ êðàùå îð³ºíòóâàòèñü ó ñèñòåì³ çàäà÷. Çàâäàííÿ ïî÷àòêîâîãî òà ñåðåäíüîãî ð³âíÿ ïîäàí³ ó âèãëÿä³ òåñòîâèõ çàâäàíü, ÿê³ ìîæíà âèêîíóâàòè ÿê óñíî òàê ³ ïèñüìîâî.

Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó çàäà÷ äî ìîäóëÿ "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ , ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè". Äàíèé ìîäóëü ñêëàäàºòüñÿ ³ç òðüîõ ïàðàãðàô³â, äî êîæíîãî ç ÿêèõ ï³ä³áðàí³ âïðàâè.

Ïåðøèé ïàðàãðàô äàíîãî ìîäóëÿ íîñèòü íàçâó "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³". Äëÿ çàêð³ïëåííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó äàíîãî ïàðàãðàôà àâòîðè ðåêîìåíäóþòü ðîçâ’ÿçàòè íàñòóïíó ñèñòåìó çàäà÷.

Çàäà÷³ 3.1-3.10 ïî÷àòêîâîãî òà ñåðåäíüîãî ð³âíÿ, ÿê³ íîñÿòü òåñòîâèé õàðàêòåð.

Äîñòàòí³é òà âèñîêèé ð³âåíü âêëþ÷àþ â ñåáå çàäà÷³ ïðàêòè÷íî âñ³ çàäà÷³ íà äîâåäåííÿ òà äîñë³äæåííÿ.

Ñèñòåìà çàäà÷ íàñòóïíîãî ïàðàãðàôà "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó ïðîñòîð³" ñë³äóþ÷à:

Çàäà÷³ äî ïàðàãðàôà "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè" âêëþ÷àþòü â ñåáå 19 ð³çíîð³âíåâèõ çàäà÷, çì³ñò ÿêèõ íàñòóïíèé.

Äî âèùåçãàäàíîãî ìîäóëÿ ï³ä³áðàíî ñ³ì çàäà÷ ïðèêëàäíîãî çì³ñòó. Äåÿê³ ç íèõ ìàþòü âêàç³âêè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ, à äåÿê³ ëèøå â³äïîâ³äü. Òàêîæ ó÷í³ ñàìîñò³éíî ìîæóòü ïåðåâ³ðèòè ñâî¿ çíàííÿ çà äîïîìîãîþ ñèñòåì çàäà÷ â ðîçä³ë³ "Òåñò äëÿ ñàìîêîíòðîëþ", ÿêèé ïîä³ëÿºòüñÿ íà òðè ÷àñòèíè. Ïåðøà ÷àñòèíà âêëþ÷ຠâ ñåáå çàäà÷³ ïî÷àòêîâîãî òà ñåðåäíüîãî ð³âíÿ, ³ íîñèòü òåñòîâèé õàðàêòåð. Òåñòîâà ÷àñòèíà ñêëàäàºòüñÿ ³ç çàäà÷ íà âèçíà÷åííÿ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ òà ïëîùèí., à òàêîæ çàäà÷³ íà îá÷èñëåííÿ äîâæèí òà â³äñòàíåé. Çàâäàííÿ äðóãî¿ ÷àñòèíè â³äïîâ³äàþòü äîñòàòíüîìó ð³âíåâ³ ³ âèìàãàþòü êîðîòêîãî çàïèñó õîäó ì³ðêóâàííÿ. Çàäà÷³ äàíî¿ ÷àñòèíè ðîçðàõîâàí³ íà çä³éñíåííÿ îá÷èñëþâàëüíèõ îïåðàö³é. Òðåòÿ ÷àñòèíà âêëþ÷ຠâ ñåáå ÷îòèðè çàâäàííÿ âèñîêîãî ð³âíÿ, äâ³ ç ÿêèõ íà îá÷èñëåííÿ ïåâíèõ ïàðàìåòð³â, à äâ³ ³íø³- íà äîâåäåííÿ. Äàí³ çàäà÷³ íåîáõ³äíî ðîçâ’ÿçàòè ç ïîâíèì îá´ðóíòóâàííÿì

Äàë³ ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó çàäà÷, ÿêó àâòîðè êíèãè ï³ä³áðàëè äî ìîäóëÿ "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïëîùèí". Äàíèé ìîäóëü ñêëàäàºòüñÿ ³ç òðüîõ ïàðàãðàô³â, êîæåí ç ÿêèõ ìຠïåâíó ñèñòåìó çàäà÷.

Ïåðøèé ïàðàãðàô âèùåçãàäàíîãî ìîäóëÿ "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí ó ïðîñòîð³. Ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè" âêëþ÷ຠâ ñåáå 22 âïðàâè.

Äî íàñòóïíîãî ïàðàãðàôà "Âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí" àâòîðàìè ïîäàíî 24 íàñòóïí³ âïðàâè

Çàêëþ÷íèé ïàðàãðàô ïî òåì³ "Ïàðàëåëüí³ñòü â ïðîñòîð³" ìຠíàçâó "Ïàðàëåëüíå ïðîåêö³þâàííÿ. Çîáðàæåííÿ ïëîñêèõ ³ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð íà ïëîùèí³". ³í ìຠòàêó ñèñòåìó çàäà÷.

Äî äàíîãî ìîäóëÿ â êíèç³ íàâåäåíà ëèøå îäíà ïðèêëàäíà çàäà÷à. Òàêîæ º òåñò äëÿ ñàìîêîíòðîëþ, ÿêèé âêëþ÷ຠâ ñåáå çàâäàííÿ ÷îòèðüîõ ð³âí³â ñêëàäíîñò³. Âèìîãè äî âèêîíàííÿ äàíîãî òåñòó òàê³ æ ÿê ³ äî òåñòó ïîïåðåäíüîãî ìîäóëÿ.

Ïðîàíàë³çóâàâøè ñèñòåìó çàäà÷ ï³äðó÷íèêà "Ãåîìåòð³ÿ, 10 êëàñ" àâòîð³â Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î. , íà ìîþ äóìêó, ñèñòåìà çàäà÷ äëÿ ïîâòîðåííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó íå çîâñ³ì â³äðåäàãîâàíà, òàêîæ íåîáõ³äíî óð³çíîìàí³òíèòè çàâäàííÿ, çàìàëî çàäà÷ íà ïîáóäîâó, äîïîâíèòè ñèñòåìó âïðàâ çàâäàííÿìè äëÿ ãðóïîâî¿ ðîáîòè, à òàêîæ âêëþ÷èòè âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ. Íà ì³é ïîãëÿä ïîòð³áíî çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü âïðàâ äëÿ ðîáîòè ç îáäàðîâàíèìè ó÷íÿìè.

.3 Ìåòîäèêà íàâ÷àííÿ áàçîâîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó òåìè

Ðîçãëÿä òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" çâîäèòüñÿ, âëàñíå, äî âèâ÷åííÿ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ³ ïëîùèí, çîêðåìà ¿õíüî¿ ïàðàëåëüíîñò³.

Ïðè âèâ÷åíí³ òåìè îñîáëèâó óâàãó ñë³ä ïðèä³ëèòè êëàñèô³êàö³¿ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³. Ó÷í³ ìàþòü çðîçóì³òè, ùî âñ³ íàâåäåí³ òåîðåìè ñïðÿìîâàí³ íàñàìïåðåä íà òå, ùîá äîïîìîãòè âèçíà÷àòè â³äïîâ³äíå ðîçì³ùåííÿ.

 óìîâàõ ÿâíîãî äåô³öèòó íàâ÷àëüíîãî ÷àñó ðåêîìåíäóºòüñÿ âèêîðèñòîâóâàòè íà çàíÿòòÿõ çàäà÷³, ó ïðîöåñ³ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ÿêèõ ôîðìóþòüñÿ ð³çí³ ïîíÿòòÿ, âì³ííÿ ³ íàâè÷êè â ìåæàõ îäíèõ ³ òèõ ñàìèõ ãåîìåòðè÷íèõ êîíñòðóêö³é.

Òàêèìè êîíñòðóêö³ÿìè ìîæóòü áóòè:

1)      êóá ³ òåòðàåäð;

2)äâà òðèêóòíèêè, êâàäðàòè, ïðÿìîêóòíèêè, ïàðàëåëîãðàìè, ùî ìàþòü ñï³ëüíó ñòîðîíó ³ ëåæàòü ó ð³çíèõ ïëîùèíàõ;

3)òðèêóòíèê, êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê, ïàðàëåëîãðàì, òðàïåö³ÿ, ðîçòàøîâàí³ ïàðàëåëüíî äî äåÿêî¿ ïëîùèíè, ³ ïàðàëåëüí³ â³äð³çêè, ùî ç'ºäíóþòü âåðøèíè öèõ ìíîãîêóòíèê³â ç òî÷êàìè ïëîùèíè;

4)ïðàâèëüíèé òðèêóòíèê, êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê, ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ ³ òî÷êà ïîçà ïëîùèíîþ äàíî¿ ô³ãóðè, ç'ºäíàíà ç äåÿêèìè òî÷êàìè ô³ãóðè.

Îñòàíí³ äâà âèäè êîíñòðóêö³é äàþòü çìîãó çðîáèòè ÷óäîâó ïðîïåäåâòèêó âèâ÷åííÿ òàêèõ âàæëèâèõ ïîíÿòü ñòåðåîìåòð³¿, ÿê ï³ðàì³äà, ïðèçìà.

Îñîáëèâó óâàãó íåîáõ³äíî ïðèä³ëèòè ðåàë³çàö³¿ ïðèêëàäíî¿ ñïðÿìîâàíîñò³ òåìè. Ãîëîâíèì âíåñêîì ó âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè º ôîðìóâàííÿ â ó÷í³â ÷³òêèõ óÿâëåíü ïðî âçàºìîçâ'ÿçêè ãåîìåòðè÷íèõ îá'ºêò³â ³ â³äíîøåíü ì³æ íèìè ç îá'ºêòàìè íàâêîëèøíüîãî ñåðåäîâèùà òà â³äíîøåííÿìè ì³æ íèìè.

Ó äàí³é òåì³ çàêëàäàºòüñÿ ôóíäàìåíò ïîáóäîâè ñòåðåîìåòð³¿. Òîìó âàæëèâî ç ñàìîãî ïî÷àòêó àêöåíòóâàòè óâàãó íà íåîáõ³äíîñò³ îá´ðóíòóâàííÿ êîæíîãî êðîêó ì³ðêóâàíü, ïðèñê³ïëèâî àíàë³çóâàòè çì³ñò ïîíÿòü, òâåðäæåíü. Âàæëèâèì º ïèòàííÿ ³ñíóâàííÿ ³ ºäèíîñò³ îá'ºêò³â, ïðî ÿê³ éäåòüñÿ. ²ñíóâàííÿ ÷è íåºäèí³ñòü ÿêîãîñü îá'ºêòà äîâîäÿòüñÿ êîíñòðóêòèâíî. ªäèí³ñòü ÷è íå³ñíóâàííÿ äîâîäÿòüñÿ, ÿê ïðàâèëî, â³ä ñóïðîòèâíîãî. Ö³ çàãàëüí³ ïîëîæåííÿ ó÷í³ ïîâèíí³ çàñâî¿òè ï³ä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåìè ³ çàñòîñîâóâàòè íàäàë³.

Âèâ÷åííÿ òåìè " Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ ìîæíà ïîä³ëèòè íà ÷îòèðè áëîêè:

. Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³

2.      Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè

.        Ïàðàëåëüí³ñòü ïëîùèí ó ïðîñòîð³

.        Ïàðàëåëüíå ïðîåêòóâàííÿ ÿê ñïîñ³á çîáðàæåííÿ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð íà ïëîùèí³.

Áàçîâèì äëÿ çàñâîºííÿ îñíîâíèõ ïîíÿòü ³ ðåçóëüòàò³â òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" º ïîíÿòòÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³. Íà íüîìó ´ðóíòóþòüñÿ îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè, äâîõ ïëîùèí, à òàêîæ äîâåäåííÿ á³ëüøîñò³ ôàêò³â, ÿê³ íàâîäÿòüñÿ ó ï³äðó÷íèêàõ. Íà âèâ÷åííÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ â³äâîäèòüñÿ 5 ãîäèí.

Íà ïåðøîìó óðîö³, òåìà ÿêîãî "Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³: ïðÿì³, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ, ïàðàëåëüí³, ìèìîá³æí³ ïðÿì³", íàñàìïåðåä íåîáõ³äíî ç ó÷íÿìè ïîâòîðèòè ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ íà ïëîùèí³ ³ îñíîâíó âëàñòèâ³ñòü ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Äàë³ ïåðåéòè äî ðîçãëÿäó âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³, ïðè öüîìó çâåðòàºòüñÿ óâàãà íà äâ³ âàæëèâ³ óìîâè: ïðÿì³ àáî íàëåæàòü îäí³é ïëîùèí³, àáî íå íàëåæàòü. Óñ³ òðè âèïàäêè ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ ìîæíà ðîçãëÿäàòè íà êàðêàñíèõ ìîäåëÿõ ìíîãîãðàííèê³â. Ó÷í³ çíàéîìëÿòüñÿ ç îçíàêîþ ìèìîá³æíîñò³ ïðÿìèõ. Óñíî ðîçáèðàþòüñÿ çàäà÷³ ïðàêòè÷íîãî çì³ñòó. Íåîáõ³äíî çâåðíóòè óâàãó ó÷í³â íà òâåðäæåííÿ: ÷åðåç äâ³ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíó. Íîâèì ³ íàéá³ëüø âàæêèì äëÿ ó÷í³â º ïîíÿòòÿ ìèìîá³æíèõ ïðÿìèõ. Ðîáîòà ç îçíà÷åííÿì íå çàáåçïå÷óº ôîðìóâàííÿ ïðîñòîðîâîãî óÿâëåííÿ, òîìó ³ëþñòðàö³ÿ ìíîãîãðàííèê³â ïîâèííà ïîºäíóâàòèñÿ ç ìàëþíêàìè öèõ ò³ë. Öå ñïðèÿº ïðàâèëüíîìó çîáðàæåííþ ìèìîá³æíèõ ïðÿìèõ ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ çàäà÷.        Íà íàñòóïíèõ äâîõ óðîêàõ ðîçâ'ÿçóþòüñÿ çàäà÷³ ³ âïðàâè ïî òåì³ ïîïåðåäíüîãî óðîêó . Ïåðåä âèâ÷åííÿì âëàñòèâîñòåé ³ îçíàê ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ äîðå÷íî áóëî á ïåðåâ³ðèòè , ÿê çàñâî¿ëè ó÷í³ ìàòåð³àë, íåâåëè÷êîþ ñàìîñò³éíîþ ðîáîòîþ .

Íà ÷åòâåðòîìó óðîö³ ó÷í³ îçíàéîìëþþòüñÿ ³ç îçíàêîþ òà âëàñòèâîñòÿìè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³. Îçíàéîìëåííÿ ó÷í³â ç îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ ìîæíà ïî÷àòè ç îçíàê ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ íà ïëîùèí³.

Ó÷èòåëü: ßê äîâåñòè ïàðàëåëüí³ñòü äâîõ ïðÿìèõ íà ïëîùèí³? Ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ îçíà÷åííÿì àáî îçíàêàìè ïàðàëåëüíîñò³, òîáòî òåîðåìàìè, ÿê³ äàþòü äîñòàòí³ óìîâè ïàðàëåëüíîñò³. Âè âèâ÷àëè òðè îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ íà ïëîùèí³: çà ð³âí³ñòþ ì³æ ñîáîþ âíóòð³øí³õ ð³çíîñòîðîíí³õ êóò³â ì³æ äâîìà ïðÿìèìè ³ ñ³÷íîþ, çà ð³âí³ñòþ ñóìè âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â 180°, à òàêîæ òåîðåìó, ùî äâ³ ïðÿì³, ÿê³ ïàðàëåëüí³ òðåò³é, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ. Ïåðø³ äâ³ îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ íå ìàþòü àíàëîã³â äëÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³. Îñòàííÿ îçíàêà ñïðàâåäëèâà ³ â ñòåðåîìåòð³¿. Ñôîðìóëþºìî ¿¿.Äâ³ ïðÿì³, ïàðàëåëüí³ òðåò³é ïðÿì³é, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ.

Òåîðåìó â÷èòåëü ñïî÷àòêó äîâîäèòü ñàì, à ïîò³ì ïîâòîðþº äîâåäåííÿ ç ó÷íÿìè, çâåðòàþ÷è óâàãó íà òàê³ ïèòàííÿ:

×îìó ïëîùèíè β ³ γ ð³çí³?

×îìó òî÷êà  íå ëåæèòü íà ïðÿì³é ñ?

Çàñëóãîâóþòü íà îáãîâîðåííÿ òàê³ ïèòàííÿ, ÿê³ ñòîñóþòüñÿ îçíà÷åííÿ ³ âëàñòèâîñòåé ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ:

1.×è ïðàâèëüíî, ùî ïðÿì³ ïðîñòîðó ïàðàëåëüí³, ÿêùî âîíè íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê?

2.×è çàâæäè ó ïëîùèí³ ìîæíà çíàéòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äåÿê³é ïðÿì³é?

3.Íåõàé ïëîùèíè  ³  ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é à. Äå ëåæèòü òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìî¿ b, ùî ëåæèòü ó  , ç ïëîùèíîþ  (ÿêùî âîíà ³ñíóº)?

4. ÿêîìó ðàç³ äâ³ ïðÿì³ âèçíà÷àþòü ïëîùèíó?

5.Ñê³ëüêè ïðÿìèõ, ùî íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê ç ïðÿìîþ à, ìîæíà ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó À, ÿêà ëåæèòü ïîçà ïðÿìîþ à? À ñê³ëüêè ç íèõ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é à?

Íà ñë³äóþ÷îìó óðîö³ îñíîâíà óâàãà ïðèä³ëÿºòüñÿ ðîçâ’ÿçóâàííþ çàäà÷ ³ âïðàâ íà çàñòîñóâàííÿ âëàñòèâîñòåé òà îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³.

Ðîçãëÿä âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³ çà âêàçàíîþ âèùå ñõåìîþ äຠçìîãó âèâ÷àòè âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè, äâîõ ïëîùèí íà îñíîâ³ àíàë³çó "çàïàñó" ñï³ëüíèõ òî÷îê öèõ ô³ãóð. Ïðè öüîìó ìîæëèâèé ÿê "ë³í³éíèé" âàð³àíò âèâ÷åííÿ ñïî÷àòêó âñüîãî ìàòåð³àëó ïðî âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè, à ïîò³ì - ïðî âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí, òàê ³ "çì³øàíèé": ïàðàëåëüíå âèâ÷åííÿ ³ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ òà ïëîùèíè, ³ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí íà îñíîâ³ àíàëîã³é òà â³äì³ííîñòåé.

Íà íàñòóïíèé áëîê "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè" â³äâîäèòüñÿ ëèøå òðè ãîäèíè.

Íà ïåðøîìó óðîö³ ïåðåä òèì, ÿê ðîçãëÿíóòè ìîæëèâ³ âèïàäêè ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó ïðîñòîð³, äîö³ëüíî âèêîíàòè âïðàâè: ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî ïðÿì³, ÿêùî âîíè íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê; ìàþòü îäíó ñï³ëüíó òî÷êó; ìàþòü äâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè? Îáãîâîðåííÿ æ ïèòàííÿ ïðî âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ñë³ä ðîçïî÷àòè ç³ çâåðíåííÿ äî íàî÷íèõ óÿâëåíü ó÷í³â ïðî âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìèõ ³ ïëîùèí. Âîíè â çìîç³ äàòè â³äïîâ³äü íà òàêå çàïèòàííÿ: "ßê ìîæóòü áóòè ðîçì³ùåí³ ïðÿìà ³ ïëîùèíà?", ñïèðàþ÷èñü íà âëàñíèé äîñâ³ä òà ³íòó¿ö³þ.

³äðàçó âàðòî çâåðíóòè óâàãó, ùî ç îçíà÷åííÿ ùå íå âèïëèâຠ³ñíóâàííÿ ïðÿìî¿, ïàðàëåëüíî¿ äàí³é ïëîùèí³. Öåé ôàêò ïîòðåáóº îá´ðóíòóâàííÿ.

Çàïèñóþ÷è âèäè ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó ïðîñòîð³, ó÷í³ ñóïðîâîäæóþòü ¿õ ìàëþíêàìè. Óñíî íàâîäÿòü ïðèêëàäè âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè íà ïðåäìåòàõ êëàñíî¿ ê³ìíàòè. Ïåðåâ³ðèòè çàñâîºííÿ ó÷íÿìè òâåðäæåíü â÷èòåëü ìîæå çà äîïîìîãîþ òåñòó. (Äîäàòîê 1)

Íàñòóïíèé óðîê ïðèñâÿ÷óºòüñÿ îçíàéîìëåííÿ ó÷í³â ç îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè. Íàñàìïåðåä ïîâòîðþºòüñÿ âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó ïðîñòîð³ ³ âèêîíóºòüñÿ âïðàâà: ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè, ÿêùî ïðÿìà ³ ïëîùèíà ìàþòü îäíó ñï³ëüíó òî÷êó; ìàþòü äâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè; íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê? Äàë³ äîâîäèòüñÿ îçíàêà ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çàäà÷³. Ùîá óíèêíóòè îäíîìàí³òíîñò³, áàæàíî ÷åðãóâàòè çàäà÷³ íà äîâåäåííÿ ç çàäà÷àìè íà îá÷èñëåííÿ.

Âèÿâèòè óìîâè, ÿê³ çàáåçïå÷óþòü ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè (â³äêðèòè îçíàêó ïàðàëåëüíîñò³) äîïîìîæóòü çàäà÷³ íà ïîáóäîâó òî÷êè ïåðåòèíó ïðÿìî¿ ç ïëîùèíîþ. ßêùî öèì çàäà÷àì ³ç ñàìîãî ïî÷àòêó íå ïðèä³ëèòè äîñòàòíüî óâàãè, òî ïðè ðîçâ'ÿçóâàíí³ çàäà÷ íà ïåðåð³çè ìíîãîãðàííèê³â ó÷í³ ìàòèìóòü ïåâí³ òðóäíîù³.

Íà çàêëþ÷íîìó òðåòüîìó óðîö³ öüîãî íåâåëè÷êîãî áëîêó áàæàíî âèêîíàòè ñàìîñò³éíó ðîáîòó àáî çàñòîñóâàòè íåòðàäèö³éí³ ôîðìè ïðîâåäåííÿ óðîêó: "êðóãëèé ñò³ë", "áðåéí - ðèíã", óðîê - ÊÂÊ òîùî.

ϳñëÿ îçíàéîìëåííÿ ó÷í³â ³ç ïàðàëåëüí³ñòþ ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó÷í³ ïåðåõîäÿòü äî âèâ÷åííÿ íàñòóïíîãî áëîêó "Ïàðàëåëüí³ñòü ïëîùèí ó ïðîñòîð³".

Ïåðø³ äâà óðîêè ïðèñâÿ÷óþòüñÿ âèâ÷åííþ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí: ïëîùèíè, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ, ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè. Âèêëàäàííÿ öüîãî ïèòàííÿ áàæàíî ïî÷àòè ç ïîÿñíåííÿ: ÿêùî ðîçãëÿíóòè ïðîòèëåæí³ ãðàí³ êóáà, òî ïëîùèíè, ÿêèì âîíè íàëåæàòü, íå áóäóòü ìàòè ñï³ëüíèõ òî÷îê. Òàêîæ º ãðàí³, ÿê³ ìàþòü ñï³ëüí³ òî÷êè. Íå áóäóòü ìàòè ñï³ëüíèõ òî÷îê ³ ïëîùèíè, â ÿêèõ ðîçì³ùåí³ ñòåëÿ ³ ï³äëîãà, ïðîòèëåæí³ ñò³íè ê³ìíàòè, ùî ìຠôîðìó ïàðàëåëåï³ïåäà. ßê ðîçòàøîâàí³ ñòåëÿ ³ ñò³íè, ï³äëîãà ³ ñò³íè? Äàë³ äîâîäèòüñÿ âëàñòèâ³ñòü ïëîùèí, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ ³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çàäà÷³. Ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì ïîáóäóâàòè ë³í³þ ïåðåòèíó äâîõ ïëîùèí òà ³í. Ó÷í³ íàâîäÿòü ïðèêëàäè âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ äâîõ ïëîùèí íà ïðåäìåòàõ äîâê³ëëÿ, íà çîáðàæåííÿõ ìíîãîãðàííèê³â . ϳñëÿ ðîçãëÿäó íà ìîäåëÿõ ìîæëèâèõ ïîëîæåíü äâîõ ïëîùèí ó ïðîñòîð³ , ä³òè ñàìîñò³éíî ôîðìóëþþòü îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí.

Íà íàñòóïíèõ äâîõ óðîêàõ âèâ÷àºòüñÿ òåìà "Îçíàêà ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí". Îçíàêó ïàðàëåëüíîñò³ äâîõ ïëîùèí â÷èòåëü ôîðìóëþº ñàì. Íåîáõ³äíî çâåðíóòè óâàãó ó÷í³â íà òå, ùî âèõîäÿ÷è ç óìîâè òåîðåìè, òðåáà äîâåñòè, ùî äàí³ ïëîùèíè íå ìîæóòü ïåðåòíóòèñÿ, òîáòî ï³äâåñòè ¿õ ï³ä îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí. Â÷èòåëü ìîæå ñàì äîâåñòè îçíàêó ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí , à ìîæíà çðîáèòè öå êîëåêòèâíî, êîëè çà äîïîìîãîþ íàâ³äíèõ çàïèòàíü â÷èòåëü ï³äâåäå ó÷í³â äîâåäåííÿ òåîðåìè. Äëÿ çàêð³ïëåííÿ òåîðåìè ðîçâ’ÿçóþòü çàäà÷ó: ÷åðåç ñåðåäèíè á³÷íèõ ðåáåð òåòðàåäðà ïðîâåëè ïëîùèíó, äîâåñòè, ùî öÿ ïëîùèíà ïàðàëåëüíà îñíîâ³ òåòðàåäðà.

Íà ï’ÿòîìó òà íàñòóïíîìó óðîö³ ðîçãëÿäàþòüñÿ âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí, äîâîäèòüñÿ òåîðåìà ïðî ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè ³ ñ³÷íó ïëîùèíó ³ òåîðåìà ïðî ïåðåòèí äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí ïàðàëåëüíèìè ïðÿìèìè.

Äëÿ êðàùîãî ñïðèéíÿòòÿ âëàñòèâîñòåé ë³í³é ïåðåòèíó äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí òðåòüîþ ïëîùèíîþ ó÷íÿì ìîæíà çàïðîïîíóâàòè â³äïîâ³ñòè íà òàê³ çàïèòàííÿ:

1)      Çíàéä³òü ó êëàñí³é ê³ìíàò³ ìîäåëü äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí, ÿê³ ïåðåòèíàþòüñÿ òðåòüîþ ïëîùèíîþ.

) Ïîêàæ³òü ë³í³¿ ïåðåòèíó öèõ ïëîùèí òðåòüîþ ïëîùèíîþ.

) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âçàºìíå ðîçòàøóâàííÿ öèõ ïðÿìèõ?

ϳñëÿ öüîãî ôîðìóëþºòüñÿ òåîðåìà: ÿêùî äâ³ ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè ïåðåòèíàþòüñÿ òðåòüîþ, òî ïðÿì³ ïåðåòèíó ïàðàëåëüí³. Òåîðåìó ïðî â³äð³çêè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ, ÿê³ ì³ñòÿòüñÿ ì³æ äâîìà ïàðàëåëüíèìè ïëîùèíàìè ìîæíà çàïðîïîíóâàòè äîâåñòè ñàìîñò³éíî.

Íà çàêëþ÷íîìó óðîö³ äàíîãî áëîêó óçàãàëüíþºòüñÿ ìàòåð³àë ïîïåðåäí³õ óðîê³â , ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çàäà÷³ ³ ïðîâîäèòüñÿ ñàìîñò³éíà ðîáîòà.

Çàêëþ÷íèé áëîê òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" ïðèñâÿ÷åíèé ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàííþ .

Äëÿ çàñâîºííÿ ìàòåð³àëó áëîêó äîö³ëüíî ïîâòîðèòè òàê³ ïèòàííÿ ç ïëàí³ìåòð³¿, ÿê ïàðàëåëüíå (îðòîãîíàëüíå) ïðîåêòóâàííÿ íà ïëîùèí³, ïîä³áí³ñòü ô³ãóð, à òàêîæ àêòóàë³çóâàòè âæå âèâ÷åíèé ìàòåð³àë ç³ ñòåðåîìåòð³¿.

Îñîáëèâó óâàãó ïðè ï³äãîòîâö³ ó÷í³â äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåð³àëó ñë³ä àêöåíòóâàòè íà ïîâòîðåíí³ ïîíÿòòÿ ïîä³áíîñò³ ô³ãóð. Êð³ì öüîãî, àêòóàë³çàö³ÿ ïîïåðåäíüîãî áàçîâîãî íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó ìîæå áóòè ïðîâåäåíà ïðè îáãîâîðåíí³ òàêèõ ïèòàíü:

. Ñê³ëüêè ³ñíóº ïðÿìèõ ó ïðîñòîð³, ÿê³ ïðîõîäÿòü ÷åðåç äàíó òî÷êó ³ ïàðàëåëüí³ äàí³é ïðÿì³é?

2. ×è ìîæå ïðÿìà, ïàðàëåëüíà ³íø³é ïðÿì³é, ùî ïåðåòèíຠïëîùèíó:

à) íå ìàòè ñï³ëüíèõ òî÷îê ç ö³ºþ ïëîùèíîþ;

á) ëåæàòè â ö³é ïëîùèí³?

3. ×è ïðàâèëüíî, ùî âñ³ ïðÿì³, ÿê³ ïåðåòèíàþòü äàíó ïðÿìó ³ ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ:

à) ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³;

á) óòâîðþþòü ïëîùèíó? Íàâåä³òü ô³çè÷í³ ìîäåë³ ö³º¿ ñèòóàö³¿.

4.      Ùî ÿâëÿº ñîáîþ ïåðåòèí âñ³õ ïðÿìèõ, ÿê³ ïðîõîäÿòü ÷åðåç òî÷êè á³÷íî¿ ñòîðîíè òðàïåö³¿ ïàðàëåëüíî ¿¿ îñíîâàì, ç ïðÿìîþ, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ³íøó á³÷íó ñòîðîíó?

Íà ïåðøîìó óðîö³ ó÷í³ çíàéîìëÿòüñÿ ç ïàðàëåëüíèì ïðîåêòóâàííÿì. Çàñòîñóâàííÿ òåõí³÷íèõ çàñîá³â íà óðîö³ äîçâîëÿº ïðèñêîðèòè ôîðìóâàííÿ íàî÷íîãî óÿâëåííÿ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ. Çðó÷íî âèêîðèñòîâóâàòè ò³íüîâó ïðîåêö³þ ô³ãóðè íà ïëîùèíó. Ô³ãóðó ðîçì³ùàþòü ó ñâ³òëîâîìó ïîòîö³ ³ ñïîñòåð³ãàþòü ¿¿ ïðîåêö³þ íà åêðàí³. Ïðè öüîìó äîïóñêàºòüñÿ äåÿêà óìîâí³ñòü. Ñïîñòåðåæåííÿ çà òèì, ÿê ðîçì³ùóºòüñÿ íà åêðàí³ ïðîåêö³ÿ òà îêðåì³ ¿¿ äåòàë³, äîçâîëÿº ïîñòóïîâî ï³äãîòóâàòè ó÷í³â äî ïðàâèëüíîãî óñâ³äîìëåííÿ íîâîãî ïîíÿòòÿ ³ éîãî âëàñòèâîñòåé. Áàæàíî çðîáèòè çàïèñ ó âèä³ òàáëèö³: âëàñòèâîñò³ ô³ãóð, ùî çáåð³ãàþòüñÿ ï³ä ÷àñ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ ³ âëàñòèâîñò³ ô³ãóð, ùî íå çáåð³ãàþòüñÿ. Íà öüîìó óðîö³ íå çàâàäèòü äîïîìîãà êîìï’þòåðà.

Ãîëîâíó óâàãó ñë³ä çîñåðåäèòè íå íà äîâåäåíí³ âëàñòèâîñòåé ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ, à íà âèêîðèñòàíí³ öèõ âëàñòèâîñòåé äëÿ ïîáóäîâè çîáðàæåíü.

Ðåêîìåíäóºòüñÿ ðîçãëÿíóòè îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíî¿ ïðîåêö³¿ òî÷êè, ô³ãóðè, ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ, ïîíÿòòÿ ïëîùèíè ïðîåêö³é, íàïðÿìó ïðîåêòóâàííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è ìîäåë³, íàî÷í³ çàñîáè, çîêðåìà "ïëàñòèë³íîâó" ïëîùèíó, ñïèö³ òîùî. Ó÷í³ ìàþòü óñâ³äîìèòè äîâ³ëüí³ñòü âèáîðó íàïðÿìó ïðîåêòóâàííÿ òà ïëîùèíè ïðîåêö³é.

Äîâåäåííÿ âëàñòèâîñò³ "ïàðàëåëüíîþ ïðîåêö³ºþ ïðÿìî¿ º ïðÿìà" çâîäèòüñÿ äî îá´ðóíòóâàííÿ òîãî, ùî ïàðàëåëüíîþ ïðîåêö³ºþ ïðÿìî¿ º ë³í³ÿ ïåðåòèíó ïëîùèíè ïðîåêö³é ³ ïëîùèíè, óòâîðåíî¿ ïðîåêòóþ÷èìè ïðÿìèìè, ùî ïåðåòèíàþòü äàíó ïðÿìó.

Ïåðåä ðîçãëÿäîì âëàñòèâîñò³ ïðî ïðîåêö³¿ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ìîæíà çàäàòè ó÷íÿì òàê³ çàïèòàííÿ: "×è ìîæóòü ò³í³ â³ä äðîò³â ë³í³é åëåêòðîïåðåäà÷ çá³ãàòèñÿ? Ïåðåòèíàòèñÿ?". Äîö³ëüíî òàêîæ çâåðíóòè óâàãó ó÷í³â íà òå, ùî â öåíòðàëüí³é ïðîåêö³¿ â³äïîâ³äíà âëàñòèâ³ñòü íå ñïðàâäæóºòüñÿ. Ç öèì ïîâ'ÿçàí³ íàø³ çîðîâ³ ³ëþ糿: çàë³çíè÷í³ êî볿 çá³ãàþòüñÿ.

Ïåðåä ðîçãëÿäîì âëàñòèâîñò³ ïðî â³äíîøåííÿ äîâæèí äâîõ ïàðàëåëüíèõ â³äð³çê³â ïðè ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàíí³ äîö³ëüíî äîêëàäíî îáãîâîðèòè òàêå ïèòàííÿ: "×è çáåð³ãàþòüñÿ äîâæèíè â³äð³çê³â ïðè ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàíí³?". Äîâåäåííÿ ö³º¿ âëàñòèâîñò³ òàêîæ çâîäèòüñÿ äî ðîçãëÿäó äâîõ âèïàäê³â.

Åôåêòèâíèì çàñîáîì çàêð³ïëåííÿ ðîçãëÿíóòèõ âëàñòèâîñòåé º îá´ðóíòóâàííÿ íèçêè òâåðäæåíü ïðî ïðîåêö³¿ íàéïðîñò³øèõ ïëîñêèõ ô³ãóð: êóòà, òðèêóòíèêà, ïàðàëåëîãðàìà, òðàïåö³¿, ³íøèõ ìíîãîêóòíèê³â, ¿õí³é ðîçãëÿä òàêîæ º ï³äãîòîâêîþ äî âèâ÷åííÿ ïèòàíü ïðî çîáðàæåííÿ ô³ãóð ó ñòåðåîìåòð³¿.

Íà ñë³äóþ÷îìó óðîö³ çãàäóþòüñÿ âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ, áî îñíîâíîþ ìåòîþ ¿õ âèâ÷åííÿ º íàáóòòÿ ó÷íÿìè íàâèê³â çàñòîñóâàííÿ ¿õ ïðè çîáðàæåíí³ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð íà ïëîùèí³. Ó÷í³ ïîâèíí³ çàïèñàòè ñõåìó ÿê ä³ÿòè, ùîá ïðàâèëüíî çîáðàçèòè ô³ãóðó íà ïëîùèí³. Âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ íà çîáðàæåííÿ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð íà ïëîùèí³, ó÷í³ ïîâèíí³ ìàëþíîê ñóïðîâîäæóâàòè â³äïîâ³äíèìè çàïèñàìè.

Íàñòóïí³ óðîêè - öå óðîêè óçàãàëüíåííÿ âèâ÷åíîãî ìàòåð³àëó ³ ïë³äíî¿ ï³äãîòîâêè äî êîíòðîëüíî¿ ðîáîòè. Äëÿ ï³äâèùåííÿ ³íòåðåñó â ó÷í³â äî äàíî¿ òåìè îäèí ³ç óðîê³â ìîæíà ïðîâåñòè ó âèãëÿä³ êîíêóðñó- ãðè. Äàíèé óðîê óçàãàëüíåííÿ òà ñèñòåìàòèçàö³¿ çíàíü ïîäàíèé â Äîäàòêó 2. Äîö³ëüíî ó çàâäàíí³ äëÿ êîíòðîëüíî¿ ðîáîòè ïîºäíóâàòè òåñòîâ³ çàâäàííÿ ³ çàâäàííÿ, ÿê³ ïîòðåáóþòü äîêëàäíîãî ðîçâ’ÿçêó.

ïàðàëåëüí³ñòü íàâ÷àííÿ ãåîìåòðè÷íèé ï³äðó÷íèê

2.4 Ìåòîäèêà íàâ÷àííÿ ó÷í³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàíü ïî òåì³

Ôîðìóâàííÿ ïðîñòîðîâèõ óÿâëåíü ó÷í³â º îäíèì ç îñíîâíèõ çàâäàíü òåìè. Âîäíî÷àñ öå îäíà ç íàéñêëàäí³øèõ ïåäàãîã³÷íèõ ïðîáëåì. Òîìó ç ïåðøèõ çàíÿòü íåîáõ³äíî øèðîêî âèêîðèñòîâóâàòè ñèñòåìó âïðàâ íà "â³äòâîðåííÿ" ïðîñòîðîâî¿ ñèòóàö³¿ çà ¿¿ îïèñîì ÷è ðèñóíêîì. Âàæëèâå ì³ñöå ñë³ä â³äâåñòè íàâ÷àííþ ó÷í³â çîáðàæåííþ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð ³ âèêîðèñòàííþ öèõ çîáðàæåíü ïðè ðîçâ'ÿçóâàíí³ çàäà÷.

Ðåêîìåíäóºòüñÿ òàêîæ àêòèâíî âèêîðèñòîâóâàòè ïðè âèâ÷åíí³ äàíî¿ òåìè íàéïðîñò³ø³ ãåîìåòðè÷í³ ò³ëà (õî÷à á êóá ³ òåòðàåäð), "çàá³ãàþ÷è" òð³øêè íàïåðåä. Ö³ ô³ãóðè äàþòü çìîãó ðîçãëÿäàòè íå ò³ëüêè çàäà÷³ íà óÿâí³ ïîáóäîâè, à é ïîáóäîâè íà ïðîåêö³éíîìó ðèñóíêó, çîêðåìà, ïîáóäîâó òî÷êè ïåðåòèíó ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè òà ë³í³¿ ïåðåòèíó äâîõ ïëîùèí, ïîáóäîâó íàéïðîñò³øèõ ïåðåð³ç³â.

Ìåòîäèêà ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàíü ïðîõîäèòü â ï’ÿòü åòàï³â:

1.      Àíàë³ç çì³ñòó çàäà÷³.

2.      Ïîøóê ñïîñîá³â ðîçâ’ÿçêó.

.        Îôîðìëåííÿ ð³øåííÿ çàäà÷³.

.        Ïåðåâ³ðêà ð³øåííÿ ³ çàïèñ â³äïîâ³ä³.

5.    Äîñë³äæåííÿ çàäà÷³.

׳òêèõ àëãîðèòì³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïî äàí³é òåì³ íåìàº. Äëÿ âèð³øåííÿ çàâäàíü íåîáõ³äíî çíàòè ïîïåðåäí³é òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë, òîìó ùî â³í øèðîêî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ , ÿê áàçîâèé ìàòåð³àë.

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ¹3.55 (ñ.102) ç ï³äðó÷íèêà Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î.) ³ ñêëàäåìî äî íå¿ àëãîðèòì ðîçâ’ÿçóâàííÿ.

×åðåç îäèí ê³íåöü Î â³äð³çêà ÎÀ ïðîâåäåíî ïëîùèíó. ×åðåç äðóãèé ê³íåöü À ³ òî÷êó  öüîãî â³äð³çêà ïðîâåäåíî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³, ÿê³ ïåðåòèíàþòü ïëîùèíó â òî÷êàõ À1 ³ Â1.Çíàéä³òü äîâæèíó â³äð³çêà ÀÀ1, ÿêùî ÂÂ1=12 ñì, ÎÂ:ÀÂ=3:2

Äàíî:,

ÂÂ₁=12 ñì, ÎÂ:ÀÂ=3:2 .

Çíàéòè: ÀÀ₁

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ.

Â÷èòåëü: Ñïî÷àòêó íåîáõ³äíî äîâåñòè, ùî òî÷êè Î,À₁ ³ Â₁ ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é. ßêó ïëîùèíó áóäåìî ðîçãëÿäàòè? (³äïîâ³äü:ïëîùèíó ÎÀÀ₁)       

       Ïîçíà÷èìî öþ ïëîùèíó β. (ÎÀÀ₁)= β.  ÿê³é ïðÿì³é  (³äïîâ³äü:ÎÀ₁)

-        Äàë³ íåîáõ³äíî äîâåñòè, ùî . ßêèì ñïîñîáîì ìè öå çìîæåìî çðîáèòè?( ³äïîâ³äü: Íåõàé )

          ÿê³é òî÷ö³ ïðÿìà ÂÂ₁ áóäå ïåðåòèíàòè ïëîùèíó β?( ³äïîâ³äü: â òî÷ö³ Â)

         Àëå â óìîâ³ çàäà÷³ íàì äàíî, ùî  ³ . ßêèé âèñíîâîê ìîæíà çðîáèòè â³äíîñíî ïðÿìî¿ ÀÀ₁ ³ ïëîùèíè β?( ³äïîâ³äü: . Àëå öå ñóïåðå÷èòü óìîâ³, ùî )

         Çâ³äñè .Íàñòóïíèé êðîê: çíàéäåìî ÀÀ₁. ßêèì ÷èíîì? (³äïîâ³äü:  ïîä³áíèé , çà ð³âí³ñòþ äâîõ êóò³â ( <Î - ñï³ëüíèé, <ÎÂÂ₁=<ÎÀÀ₁, ÿê â³äïîâ³äí³ êóòè ïðè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ÂÂ₁ ³ ÀÀ₁ òà ñ³÷í³é ÀÂ) , çâ³äñè êîåô³ö³ºíò ïîä³áíîñò³ áóäå =0,6, îòðèìàºìî ÀÀ₁=20 ñì)

         Çàäà÷à ðîçâ’ÿçàíà. Âèä³ëèìî àëãîðèòì:

1.      Äîâåëè, ùî òî÷êè Î, Â₁ ³ À₁ ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é.

2.        Îá÷èñëèëè äîâæèíó ñòîðîíè òðèêóòíèêà òðèêóòíèêà.

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ¹ 233( ñ.78) ç ï³äðó÷íèêà Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (Áóðäà, Òàðàñåíêîâà) α ³ β- ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè. Òî÷êà À ëåæèòü ó ïëîùèí³ α. Äîâåä³òü, ùî áóäü- ÿêà ïðÿìà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ïàðàëåëüíî ïëîùèí³ β, ëåæèòü ó ïëîùèí³ α.

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ.

×åðåç äàíó òî÷êó À ïðîâåäåìî äâ³ äîâ³ëüí³ ïðÿì³ à ³ b, ïàðàëåëüí³ ïëîùèí³ β. Ïðÿì³ à ³ b âèçíà÷àþòü ïëîùèíó a. Ïëîùèíà a ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b. Áóäü-ÿêà ïðÿìà ñ, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ³ ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b, ëåæèòü â ïëîùèí³ b, áî â ñóïðîòèâíîìó âèïàäêó ïðÿìà ñ ïåðåòèíàëà á ïëîùèíó a , à îòæå, ³ ïëîùèíó b.

Çàïèòàííÿ äî êëàñó ùîäî ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷³

1)      Íà ï³äñòàâ³ ÷îãî ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ïðÿì³ à ³ b âèçíà÷àþòü ïëîùèíó a?

2)      Ñê³ëüêè ïëîùèí ìîæíà ïðîâåñòè ÷åðåç ïðÿì³ à ³ b?

)        Ïîÿñí³òü, ÷îìó ïëîùèíà a ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b .

)        Íà ï³äñòàâ³ ÷îãî ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ïðÿìà ñ, ÿêùî ïåðåòèíຠïëîùèíó a , òî ïåðåòèíຠ³ ïëîùèíó b?

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ¹ 276( ñ.88) ç ï³äðó÷íèêà Ãåîìåòð³ÿ (àêàäåì³÷íèé ð³âåíü) (àâò. Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À.)

Äàíî äâ³ ïàðàëåëüí³ ïëîùèíè. ×åðåç òî÷êè À ³  îäí³º¿ ç íèõ ïðîâåäåíî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³, ùî ïåðåòèíàþòü äðóãó ïëîùèíó â³äïîâ³äíî ó òî÷êàõ D ³ Ñ. Äîâåä³òü, ùî ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD- ïàðàëåëîãðàì.

Äàíî: a₁ || a₂; À Î a₁, Â Î a₁, Ñ Î a₂, DÎ a_{2 ;} ÀD || ÂÑ.

Äîâåñòè: ÀÂÑD- ïàðàëåëîãðàì

Äîâåäåííÿ. Ïðîâåäåìî ïëîùèíó ó ÷åðåç ïðÿì³ ÀD ³ ÂÑ.

ÀD || ÂÑ (çà óìîâîþ), À ||DÑ (çà òåîðåìîþ ïðî ïàðàëåëüí³ñòü ë³í³é ïåðåòèíó äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí òðåòüîþ ïëîùèíîþ). Îòæå,÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD - ïàðàëåëîãðàì.

Çàäà÷ó äîâåäåíî.

Ðîçãëÿíåìî çàäà÷³ , íà ôîðìóâàííÿ âì³íü áóäóâàòè çîáðàæåííÿ ô³ãóð, ÿê³ íåîáõ³äí³ äëÿ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ.

Çóïèíèìîñÿ íà çîáðàæåíí³ íàéá³ëüøå âæèâàíèõ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð, ç êîìá³íàö³é ÿêèõ ñêëàäàºòüñÿ, ÿê ïðàâèëî, çîáðàæåííÿ áóäü-ÿêî¿ ñêëàäíî¿ ïðîñòîðîâî¿ ô³ãóðè.

Çîáðàæåííÿ òðèêóòíèêà

Áóäü-ÿêèé òðèêóòíèê ìîæå áóòè çîáðàæåííÿì òðèêóòíèêà äîâ³ëüíî¿ ôîðìè, çîêðåìà: ïðàâèëüíîãî, ð³âíîáåäðåíîãî, ïðÿìîêóòíîãî.

Äîâåäåííÿ

Íåõàé çàäàíî òðèêóòíèê ÀÂÑ äîâ³ëüíî¿ ôîðìè ³ íà ïëîùèí³ ïðîåêö³¿ α çàäàíî òðèêóòíèê À₁Â₁Ñ₁. Çàâæäè ìîæíà ðîçòàøóâàòè òðèêóòíèê ÀÂÑ ³ âèáðàòè íàïðÿì ïðîåêòóâàííÿ òàê, ùî òðèêóòíèê ñïðîåêòóºòüñÿ â òðèêóòíèê, ïîä³áíèé äî òðèêóòíèêà À₁Â₁Ñ1 (ðèñ. 92). Ïîáóäóºìî òðèêóòíèê AB₂C, ÿêèé ïîä³áíèé äî òðèêóòíèêà À₁Â₁Ñ₁ âèáðàâøè çà íàïðÿì ïðîåêòóâàííÿ ïðÿìó BB₂, îäåðæèìî, ùî ΔÀÂÑ ïðîåêòóºòüñÿ â ΔÀÂ₂Ñ òàêèé, ùî ΔÀÂÑΔÀ₁Â₁Ñ₁.

Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî ìåä³àíè ³ ñåðåäí³ ë³í³¿ òðèêóòíèêà çîáðàæàþòü â³äïîâ³äíî ìåä³àíàìè ³ ñåðåäí³ìè ë³í³ÿìè çîáðàæåííÿ.

Çàäà÷à.

Íà çîáðàæåíí³ ð³âíîñòîðîííüîãî òðèêóòíèêà ïîáóäóéòå çîáðàæåííÿ éîãî öåíòðà.

Ðîçâ'ÿçàííÿ

Íåõàé ÀÂÑ- äàíå çîáðàæåííÿ ð³âíîñòîðîííüîãî òðèêóòíèêà. Öåíòð ïðàâèëüíîãî òðèêóòíèêà - òî÷êà ïåðåòèíó éîãî ìåä³àí. Òîìó, ïîáóäóâàâøè ìåä³àíè ÀÊ ³ CM íà çîáðàæåíí³, ÿê³ ïåðåòíóòüñÿ â òî÷ö³ Î, îäåðæèìî: òî÷êà Î - öåíòð ïðàâèëüíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑ.

Çîáðàæåííÿ ïàðàëåëîãðàìà

Çîáðàæåííÿì ïàðàëåëîãðàìà (ïðÿìîêóòíèêà, ðîìáà, êâàäðàòà) ìîæíà ââàæàòè äîâ³ëüíèé ïàðàëåëîãðàì, ùî íàëåæèòü ïëîùèí³ ïðîåêö³é.

ijéñíî, íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì, ùî ïðîåêòóþòü, òîä³ äîâ³ëüíèé òðèêóòíèê À₁Â₁Ñ₁ ìîæíà ââàæàòè ïðîåêö³ºþ òðèêóòíèêà ÀÂÑ . Óðàõîâóþ÷è, ùî ïðè ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàíí³ ïàðàëåëüí³ â³äð³çêè ïåðåõîäÿòü â ïàðàëåëüí³ â³äð³çêè, òà ïðîâ³âøè A₁D₁ || Â₁Ñ₁ ³ C₁D₁ || À₁Â₁, îäåðæèìî A₁B₁C₁D₁ - ïàðàëåëîãðàì, ÿêèé º çîáðàæåííÿì ïàðàëåëîãðàìà ABCD (çîêðåìà ïðÿìîêóòíèêà, ðîìáà, êâàäðàòà).

Çàäà÷à.

Ïîáóäóéòå çîáðàæåííÿ ðîìáà ç êóòîì 120° òà çîáðàæåííÿ âèñîòè ðîìáà, ÿêó ïðîâåäåíî ç âåðøèíè öüîãî êóòà.

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ

Íåõàé ïàðàëåëîãðàì ABCD º çîáðàæåííÿì ðîìáà A₁B₁C₁D₁, ó ÿêîãî <B₁ = 120°.

Îñê³ëüêè ΔÀ₁Â₁D₁ - ð³âíîñòîðîíí³é, òî éîãî ìåä³àíà Â₁K₁ º îäíî÷àñíî ³ âèñîòîþ öüîãî òðèêóòíèêà, à îòæå, ³ ðîìáà.

Òàêèì ÷èíîì, ïîáóäóâàâøè ñåðåäèíó ñòîðîíè AD ³ ç'ºäíàâøè öþ òî÷êó ç âåðøèíîþ Â, îäåðæèìî ÂÊ - çîáðàæåííÿ âèñîòè.

Çîáðàæåííÿ òðàïåö³¿

²ç âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíîãî ïðîåêòóâàííÿ âèïëèâàº, ùî çîáðàæåííÿì òðàïåö³¿ º òðàïåö³ÿ, ó ÿê³é â³äíîøåííÿ äîâæèí îñíîâ çîáðàæåííÿ äîð³âíþº â³äíîøåííþ äîâæèí îñíîâ òðàïåö³¿, ÿêó ïðîåêòóþòü.

Çàäà÷à.

Ïîáóäóéòå çîáðàæåííÿ ð³âíîá³÷íî¿ òðàïåö³¿ ç îñíîâàìè 3 ³ 9 ñì òà çîáðàæåííÿ ¿¿ âèñîòè.

Ðîçâ'ÿçàííÿ

Íåõàé A₁B₁C₁D₁ - ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ, ó ÿê³é À₁D₁ || Â₁Ñ₁, A₁D₁ = 9 ñì, Â₁Ñ₁ = 3 ñì. Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî âèñîòà Ñ₁Ê₁ ïàðàëåëüíà îñ³ ñèìåò𳿠Ì₁N₁ (òî÷êè Ì₁ ³ N₁ - ñåðåäèíè îñíîâ òðàïåö³¿) . Àëå ïðè ïàðàëåëüíîìó ïðîåêòóâàíí³ çáåð³ãàþòüñÿ ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ â³äíîøåííÿ äîâæèí ïàðàëåëüíèõ â³äð³çê³â. Çâ³äñè âèïëèâຠïîáóäîâà: òðàïåö³ÿ ABCD, ó ÿê³é AD || ÂÑ ³ AD = 3 ÂÑ , º çîáðàæåííÿì òðàïåö³¿ ; ïîáóäóâàâøè òî÷êè Ì ³ N - ñåðåäèíè ñòîð³í ÂÑ ³ AD ³ ÑÊ || MN, îäåðæèìî â³äð³çîê ÑÊ - çîáðàæåííÿ âèñîòè òðàïåö³¿.

Çîáðàæåííÿ ÷îòèðèêóòíèêà

Çîáðàæåííÿì äîâ³ëüíîãî ÷îòèðèêóòíèêà (íå ïàðàëåëîãðàìà ³ íå òðàïåö³¿) º äîâ³ëüíèé ÷îòèðèêóòíèê.

Çîáðàæåííÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèêóòíèêà

Ðîçãëÿíåìî ïðàâèëüíèé øåñòèêóòíèê ABCDEF. Òî÷êà Î ïåðåòèíó ä³àãîíàëåé AD ³ FC - éîãî öåíòð ñèìåòð³¿, òîìó ðîìáè ÀÂÑÎ ³ DEFO ñèìåòðè÷í³ â³äíîñíî òî÷êè Î. Ðîìá ÀÂÑÎ çîáðàæàºìî ó âèãëÿä³ äîâ³ëüíîãî ïàðàëåëîãðàìà A₁B₁C₁D₁. Äëÿ ïîáóäîâè îñòàíí³õ âåðøèí çîáðàæåííÿ äîñòàòíüî ïîáóäóâàòè òî÷êè D₁, E₁, F₁, â³äïîâ³äíî ñèìåòðè÷í³ â³äíîñíî òî÷êè Î₁ òî÷êàì À₁, B₁, Ñ₁.

Çîáðàæåííÿ êîëà

Çîáðàæåííÿì êîëà ç öåíòðîì â òî÷ö³ Î₁ º åë³ïc ç öåíòðîì â òî÷ö³ Î, ÿêèé íàëåæèòü ïëîùèí³ ïðîåêö³¿ α. Êîæíèé ä³àìåòð åë³ïñà À ä³ëèòü ïîïîëàì õîðäè MN, M₁N₁, M₂N₂ ..., ïàðàëåëüí³ äî ñïðÿæåíîãî ç íèì ä³àìåòðà CD.

Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî ñïðÿæåíèìè ä³àìåòðàìè åë³ïñà íàçèâàþòüñÿ çîáðàæåííÿ äâîõ ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ä³àìåòð³â êîëà, ùî ïðîåêòóºòüñÿ.

Çîáðàæåííÿ òåòðàåäðà

Ðîçãëÿäàþ÷è ò³íü, ùî äàþòü íà åêðàí³ êàðêàñíà ìîäåëü òåòðàåäðà, ìîæíà ñôîðìóëþâàòè ïðàâèëî éîãî çîáðàæåííÿ. Çîáðàæåííÿì ðåáåð äàíîãî òåòðàåäðà ìîæóòü áóòè ñòîðîíè ³ ä³àãîíàë³ äîâ³ëüíîãî îïóêëîãî àáî íåîïóêëîãî ÷îòèðèêóòíèêà ABCD.

Çîáðàæåííÿ ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåï³ïåäà

Íåõàé çàäàíî ïðÿìîêóòíèé ïàðàëåëåï³ïåä ABCDA₁B₁C₁D₁. Âèáåðåìî òðè éîãî ðåáðà ÀÂ, AD ³ ÀÀ₁, ùî ìàþòü ñï³ëüíèé ïî÷àòîê. Ðîçãëÿíåìî òåòðàåäð A₁ABD. Êîðèñòóþ÷èñü ïðàâèëîì çîáðàæåííÿ òåòðàåäðà, ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ðåáðà ÀÂ, AD, AA₁ ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ òðüîõ äîâ³ëüíèõ â³äð³çê³â, ùî âèõîäÿòü ³ç îäí³º¿ òî÷êè . Îñòàíí³ éîãî ðåáðà ñë³ä çîáðàçèòè âèçíà÷åíèìè â³äð³çêàìè, êîæíèé ³ç íèõ ïàðàëåëüíèé îäíîìó ç ïîáóäîâàíèõ â³äð³çê³â ³ äîð³âíþº éîìó ïî äîâæèí³.

Âèñíîâîê

Ñó÷àñíà ïåäàãîã³÷íà íàóêà ñòâåðäæóº, ùî äëÿ ïðîäóêòèâíîãî çàñâîºííÿ ó÷íÿìè çíàíü ³ äëÿ ¿õíüîãî ³íòåëåêòóàëüíîãî ðîçâèòêó âàæëèâî âñòàíîâëþâàòè çâ’ÿçêè, ÿê ì³æ ð³çíèìè ðîçä³ëàìè êóðñó, òàê ³ ì³æ ð³çíèìè äèñöèïë³íàìè â ö³ëîìó. Äëÿ ÷îãî ïîòð³áíî âèâ÷àòè ïàðàëåëüí³ñòü ó ïðîñòîð³? Âèâ÷åííÿ òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" º îäí³ºþ ç îñíîâíèõ ôóíäàìåíòàëüíèõ òåì â øê³ëüíîìó êóðñ³ ñòåðåîìåòð³¿. Çíàííÿ ö³º¿ òåìè ñòàíîâëÿòü îñíîâó çíàíü ó÷í³â.

 êóðñîâ³é ðîáîò³ ïîäàí³ ìàòåð³àëè ïî âèêëàäàííþ òåìè, à òàêîæ êîðîòê³ òåîðåòè÷í³ ìàòåð³àëè ³ ïðàêòè÷í³ çàâäàííÿ íà êîæíå çàíÿòòÿ. Òàêîæ òóò º ðîçâ’ÿçîê îêðåìèõ çàâäàíü ïî âèùåçãàäàí³é òåì³. Êóðñîâà ðîáîòà â ñîá³ âì³ùຠðÿä ñõåì, ÿê³ â÷èòåë³ ìîæóòü âèêîðèñòîâóâàòè ÿê íàî÷íèé ìàòåð³àë äëÿ ïîÿñíåííÿ ìàòåð³àëó ïî äàí³é òåì³. Öå äîïîìîæå ó÷íÿì á³ëüø çðîçóì³òè ³ óñâ³äîìèòè òåìó.

Îïèñàí³ â êóðñîâ³é ðîáîò³ ïëàí òà ìåòîäè ï³äõîäó äî âèêëàäàííÿ òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³" äîïîìîæå â÷èòåëÿì ó ¿õ ï³äãîòîâö³ äî ïðîâåäåííÿ óðîê³â ïî ö³é òåì³.

Îòæå, â ðåçóëüòàò³ äîñë³äíèöüêî¿ ä³ÿëüíîñò³ ³ îïðàöþâàííÿ íàóêîâî¿ òà ìåòîäè÷íî¿ ë³òåðàòóðè, ïîêàçàíî ìåòîäèêó âèêëàäàííÿ òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ó ïðîñòîð³" ó 10 êëàñ³. Ðîçãëÿíóòèé ìàòåð³àë ìîæå ñòàòè ó ïðèãîä³ â÷èòåëþ ìàòåìàòèêè ÿê ìåòîäè÷íà ë³òåðàòóðà.

˳òåðàòóðà

1.      Ñëºïêàíü Ç.². Ìåòîäèêà íàâ÷àííÿ ìàòåìàòèêè. - Ê.,: "Çîä³àê-ÅÊÎ", 2000.

2.      Áóðäà Ì.²., Òàðàñåíêîâà Í.À., "Ãåîìåòð³ÿ",ï³äðó÷íèê, 10 êë.,Êè¿â, "Çîä³àê - ÅÊÎ", 2010.

3.      www.mon.gov.ua

4.      Á³ëÿí³íà Î.ß., Á³ëÿí³íà Ã.²., Øâåöü Â.Î. "Ãåîìåòð³ÿ" ï³äðó÷íèê,10 êë., Êè¿â,"¥åíåçà",2010.

5.     

6.      Àëåêñàíäðîâ Ä.À., Âåðíåð À.Ï., Ðûæèê Â.È. "Íà÷àëà ñòåðåîìåòðèè",ó÷. ïîñîáèå äëÿ ó÷àùèõñÿ, Ìîñêâà "Ïðîñâåùåíèå", 1992.

.        Áåâç Ã.Ï., Áåâç Â.Ã. "Ìàòåìàòèêà", ï³äðó÷íèê äëÿ ÇÍÇ, Êè¿â "Ãåíåçà", 2010.

.        Òèìîøåíêî Í.Ì. "Ïî÷àòêîâ³ ïîíÿòòÿ ñòåðåîìåòð³¿", Ìàòåìàòèêà, 2003.

Äîäàòîê 1

Òåñò

) ßêùî a || b , òî áóäü-ÿêà ïðÿìà ïëîùèíè a ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b. [+]

) ßêùî a || b, òî áóäü-ÿêà ïðÿìà ïëîùèíè a ïàðàëåëüíà êîæí³é ïðÿì³é ïëîùèíè b. [-]

) ßêùî a || b, òî áóäü-ÿêà ïðÿìà ïëîùèíè a ìèìîá³æíà êîæí³é ïðÿì³é ïëîùèíè b. [-]

) ßêùî a || b, òî äëÿ áóäü-ÿêî¿ ïðÿìî¿ à ïëîùèíè a ³ñíóº ïðÿìà b â ïëîùèí³ b òàêà, ùî à || b. [+]

) ßêùî a || b, òî äëÿ áóäü-ÿêî¿ ïðÿìî¿ à ïëîùèíè a ³ñíóº ïðÿìà b â ïëîùèí³ b òàêà, ùî ïðÿì³ à ³ b - ìèìîá³æí³. [+]

) ßêùî a || b, òî áóäü-ÿêà ïðÿìà, ÿêà ïåðåòèíຠïëîùèíó a, ïåðåòèíຠ³ ïëîùèíó b . [+]

) ßêùî a || b, òî áóäü-ÿêà ïðÿìà, ÿêà ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ a, ïàðàëåëüíà ³ ïëîùèí³ b. [-]

) ßêùî äâ³ ïðÿì³ ïëîùèíè a ïàðàëåëüí³ â³äïîâ³äíî äâîì ïðÿìèì ïëîùèíè b, òî a || b. [-]

) ßêùî äåÿêà ïðÿìà ïëîùèíè a ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b, òî a || b. [-]

) ßêùî êîæíà ïðÿìà ïëîùèíè a ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ b, òî a || b. [+]

) ßêùî äâ³ ïðÿì³, îäíà ç ÿêèõ ëåæèòü ó ïëîùèí³ a , à äðóãà - â ïëîùèí³ b, íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê, òî a || b. [-]

) ßêùî êîæí³ äâ³ ïðÿì³, îäíà ç ÿêèõ ëåæàòü ó ïëîùèí³ a, à äðóãà - â ïëîùèí³ b, íå ìàþòü ñï³ëüíèõ òî÷îê, òî a || b. [+]

Äîäàòîê 2

Òåìà: Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³

Ìåòà: Óçàãàëüíèòè, ñèñòåìàòèçóâàòè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ó÷í³â ç òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³". Ïðèâåðíóòè óâàãó äî òåìè. Ðîçâèâàòè ïðîñòîðîâó óÿâó ó÷í³â, ìàòåìàòè÷íó ìîâó, òâîð÷å ìèñëåííÿ. Ôîðìóâàòè âì³ííÿ çàñòîñîâóâàòè âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷.

Âèõîâóâàòè ëîã³÷íå òà àíàë³òè÷íå ìèñëåííÿ, óâàæí³ñòü ³ àêóðàòí³ñòü ï³ä ÷àñ âèêîíàííÿ ãðàô³÷íèõ ðîá³ò. Ðîáîòà â ãðóïàõ ìຠíà ìåò³ ïåðåâ³ðèòè òâîð÷³ñòü ó÷í³â, ñïðîìîæí³ñòü ïðàöþâàòè â íåñòàíäàðòíèõ ñèòóàö³ÿõ.

Òèï óðîêó: óçàãàëüíåííÿ, ñèñòåìàòèçàö³ÿ çíàíü, óì³íü, íàâè÷îê.

Ôîðìà ïðîâåäåííÿ: êîíêóðñ - ãðà.

Îáëàäíàííÿ: ³íäèâàëüí³ êàðòêè, ïëàêàòè.

Õ³ä óðîêóÎðãàí³çàö³éíèé åòàï

Ó÷í³ çàéìàþòü ñâî¿ ðîáî÷³ ì³ñöÿ çã³äíî ïîïåðåäíüî¿ äîìîâëåíîñò³ (äâà ðÿäè - äâ³ êîìàíäè). Êîìàíäè ìàþòü ñâî¿ íàçâè ³ åìáëåìè.

Ó÷èòåëü ïðåäñòàâëÿº êîìàíäè α ³ ß, ïîâ³äîìëÿº òåìó ³ ìåòó óðîêó. Ñüîãîäí³ ìè ïîâòîðèìî â³äîìîñò³ ç òåìè ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³ ó âèãëÿä³ êîíêóðñó -ãðè. Êîæíèé ïåð³îä ãðè (òàéì) - ãðà çà ïåâíèì ïðàâèëîì. Ñïîñ³á îö³íþâàííÿ êîæíîãî ó÷íÿ - öå ñàìîîö³íêà ï³ä êåð³âíèöòâîì àñèñòåíòà. Ïðàâèëüíà â³äïîâ³äü îö³íþºòüñÿ â îäèí áàë.

Â÷èòåëü çíàéîìèòü ó÷í³â ç ïîðÿäêîì âåäåííÿ ãðè: "Ðîçìèíêà", "Áë³öòóðí³ð", "Äîìàøíº çàâäàííÿ", "Òåñòîâèé êîíêóðñ". Îáèðàºòüñÿ æóð³.

²² Ìîòèâàö³ÿ íàâ÷àëüíî¿ ä³ÿëüíîñò³. Àêòóàë³çàö³ÿ îïîðíèõ çíàíü.

Ïåðøèì òàéì -"Ðîçìèíêà" (6 õâèëèí). Íà äîøö³ âèñèòü ïëàêàò ç ìàëþíêîì (àáî ïðîåêòóºòüñÿ). Ó÷í³ íà àðêóøàõ âèêîíóþòü çàâäàííÿ. Òðåáà âèçíà÷èòè:

. Ïðÿì³, ÿê³ ïåðåòèíàþòüñÿ. 2.Ïàðàëåëüí³ ïðÿì³. 3.Ìèìîá³æí³ ïðÿì³. 4.Ïðÿì³, ÿê³ ïàðàëåëüí³ ïëîùèíàì. 5.Ïðÿì³, ÿê³ ïåðåòèíàþòü ïëîùèíè. 6.Ïðÿì³, ÿê³ íàëåæàòü ïëîùèíàì. 7. Ïëîùèíè, ÿê³ ïàðàëåëüí³. 8. Ïëîùèíè, ÿê³ ïåðåòèíàþòüñÿ

Ðîáîòè çáèðàþòü ÷ëåíè æóð³ ³ ïåðåâ³ðÿþòü, êîæíà ïðàâèëüíî âèêîíàíà ðîáîòà ïðèíîñèòü êîìàíä³ 1 áàë. Äðóãèé òàéì "Áë³öòóðí³ð" (5 õâèëèí). Ó÷àñíèêè êîìàíä â³äïîâ³äàþòü íà çàïèòàííÿ "Òàê" ÷è "ͳ". Çà êîæíó ïðàâèëüíó â³äïîâ³äü êîìàíäà îòðèìóº 1 áàë. Ïèòàííÿ ïåðø³é êîìàíä³.

1.      Òî÷êè À, Â, Ñ ³ D íå ëåæàòü íà îäí³é ïëîùèí³. Ïðÿì³ À ³ ÑD ïåðåòèíàþòüñÿ.( ͳ).

2.      ×åðåç êîæíó ç äâîõ ìèìîá³æíèõ ïðÿìèõ ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ïàðàëåëüíó äðóã³é ïðÿì³é.(Òàê).

.        ×åðåç äîâ³ëüíó òî÷êó ïðîñòîðó ìîæíà ïðîâåñòè ò³ëüêè îäíó ïðÿìó, ÿêà ïàðàëåëüíà äàí³é ïëîùèí³.(ͳ).

.        ßêùî ïðÿìà ïàðàëåëüíà äàí³é ïëîùèí³, òî âîíà ïàðàëåëüíà êîæí³é ïðÿì³é, ÿêà íàëåæèòü ö³é ïëîùèí³.(ͳ).

.        Äâ³ ïëîùèíè ïàðàëåëüí³, ÿêùî äâ³ ïðÿì³, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ, îäí³º¿ ïëîùèíè ïàðàëåëüí³ äâîì ïðÿìèì äðóãî¿ ïëîùèíè.(Òàê).

Ïèòàííÿ äðóã³é êîìàíä³. 1.ßêùî äâ³ ïðÿì³ íå ïåðåòèíàþòüñÿ, òî âîíè îáîâ’ÿçêîâî ïàðàëåëüí³.(ͳ). 2.×åðåç äîâ³ëüíó òî÷êó ïðîñòîðó ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é ïëîùèí³. (Òàê). 3.×åðåç äîâ³ëüíó òî÷êó ïðîñòîðó ìîæíà ïðîâåñòè ò³ëüêè îäíó ïëîùèíó, ÿêà ïàðàëåëüíà äâîì ïðÿìèì, ÿê³ ïåðåòèíàþòüñÿ. (Òàê). 4.ßêùî ïðÿìà íå ïàðàëåëüíà äðóã³é ïðÿì³é, ÿêà íàëåæèòü ïëîùèí³, òîä³ äàíà ïðÿìà ïåðåòèíຠöþ ïëîùèíó. (ͳ). 5.×åðåç áóäü-ÿêó ïðÿìó ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ÿêà ïàðàëåëüíà äàí³é ïëîùèí³. (ͳ). Òðåò³é òàéì "Äîìàøíº çàâäàííÿ". (17 õâèëèí).

Êîæíà êîìàíäà ïîâèííà ï³äãîòóâàòè äîïîâ³äü ïðî çàñòîñóâàííÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí ó ïðîôåñ³ÿõ ³ ïðîäåìîíñòóâàòè öå íà ìîäåëÿõ: øâà÷êà - ïðîêëàäàííÿ ïàðàëåëüíî¿ ñòðî÷êè, ìóëÿð - âèêëàäàíí³ öåãëÿíî¿ ñò³íè, òðàêòîðèñò - ïðîêëàäàííÿ ïàðàëåëüíèõ ð³âö³â, ïëèòî÷íèê - âèêëàäàíí³ êàôåëþ, ïëèòêè, ñòîëÿð - âèãîòîâëåííÿ â³êîí, äâåðåé, êóõàð - íàð³çàííÿ õë³áà.

²²² Çàñòîñóâàííÿ çíàíü òà âì³íü.

×åòâåðòèé òàéì - òåñòîâèé (8 õâèëèí) Ó÷í³ âèêîíóþòü òåñòîâ³ çàâäàííÿ.

Ïåðøà êîìàíäà α - âàð³àíò 1

Ó çàâäàííÿõ 1-4 ïîçíà÷òå îäíó ïðàâèëüíó, íà âàøó äóìêó, â³äïîâ³äü. 1. Îäíà ç³ ñòîð³í ïàðàëåëîãðàìà ABCD ëåæèòü ó ïëîùèí³ α, à éîãî ñòîðîíà CD íå ëåæèòü ó ö³é ïëîùèí³. ßê ðîçì³ùåíà ïðÿìà CD â³äíîñòî ïëîùèíè α?

. Òî÷êè A i B ëåæàòü â îäí³é ç ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí, òî÷êè C i D - â ³íø³é. ³äð³çêè AC i BD ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷ö³ Ê. ßê ðîçì³ùåí³ ïðÿì³ AB i CD?

. Òî÷êà S ëåæèòü ïîçà ïëîùèíîþ òðèêóòíèêà ABC . Òî÷êè A1, B1 i C1 º ñåðåäèíàìè â³äð³çê³â SA, SB i SC â³äïîâ³äíî. Âèçíà÷òå âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïëîùèí ABC I A1B1C1.

4. Ïëîùèíè ñ ïåðåòèíàþòüñÿ ïî ïðÿì³é ñ. Ó ïëîùèí³ α ïðîâåäåíî ïðÿìó α ïàðàëåëüíî ïðÿì³é ñ. ßêå âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ à ³ ïëîùèíè ß?

. Äàíî ïàðàëåëîãðàì ABCD. Ïëîùèíà α ïðîõîäèòü ÷åðåç éîãî âåðøèíè À ³  òàíå ïðîõîäèòü ÷åðåç âåðøèíó Ñ. ßê ðîçì³ùåíà ïðÿìà CD â³äíîñíî α? ³äïîâ³äü:_____________________

. Ïëîùèíè α ³ ß ïàðàëåëüí³. ×åðåç òî÷êó  ïëîùèíè ß ïðîâåäåíî ïðÿìó b, ïàðàëåëüíó ïëîùèíû α. ßê ðîçì³ùåíà ïðÿìà b â³äíîñíî ïëîùèíè ß? ³äïîâ³äü:____________________

Äðóãà êîìàíäà ß - âàð³àíò 2

. Ïðÿìîêóòíèê ABCD íå ëåæèòü â ïëîùèí³ α, à éîãî ñòîðîíà CD ëåæèòüó ö³é ïëîùèí³. ßê ðîçì³ùåíà ïðÿìà AB â³äíîñíî ïëîùèíè α?

. ×åðåç òî÷êó Ì, ùî ëåæèòü ì³æ ïàðàëåëüíèìè ïëîùèíàìè α ³ ß, ïðîâåäåíî äâ³ ïðÿì³, ÿê³ ïåðåòèíàþòü ïëîùèíè α ³ ß â òî÷êàõ À ³ À1,  ³ Â1 â³äïîâ³äíî (À1ºα, Àºα). ßê ðîçì³ùåí³ ïðÿì³ À ³ À1Â1?

. Ó òåòðàåäð³ SKMN òî÷êà F - ñåðåäèíà MN, òî÷êà Ð - ñåðåäèíà SN, òî÷êà Î - ñåðåäèíà KN. Âèçíà÷òå âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïëîùèí KSM ³ OPF.

. Òðèêóòíèêè ABC i ABD ëåæàòü ó ð³çíèõ ïëîùèíàõ. Òî÷êè M i N - ñåðåäèíè ñòîð³í ÀÑ ³ ÂÑ òðèêóòíèêà ÀÂÑ â³äïîâ³äíî. ßêå âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ ïðÿìî¿ MN ³ ïëîùèíè ABD?

. Ïëîùèíà α ïåðåòèíຠíåïàðàëåëüí³ ñòîðîíè À ³ ÑD òðàïåö³¿ ABCD â òî÷êàõ â³äïîâ³äíî Ì ³ N òàê, ùî ÀÌ=ÂÌ i CN=ND. ßê ðîçì³ùåí³ îñíîâè òðàïåö³¿ â³äíîñíî ïëîùèíè α? ³äïîâ³äü:______________________ 6. Ïëîùèíà α, ó ÿê³é ëåæèòü ïðÿìà à, ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ ß. ×åðåç òî÷êó  ïëîùèíè ß ïðîâåäåíî ïðÿìó b, ïàðàëåëüíó ïðÿì³é à. ßê ðîçì³ùåíà ïðÿìà b â³äíîñíî ïëîùèíè ß? ³äïîâ³äü:_____________________

Ï’ÿòèé òàéì - êîíêóðñ êàï³òàí³â Ó òîé ÷àñ, êîëè ó÷í³ âèêîíóþòü òåñòîâ³ çàâäàííÿ, êàï³òàíè ðîçâ’ÿóþòü çàâäàííÿ

. Ïðî ÿê³ ô³ãóðè éäå ìîâà? Ïèòàííÿ ïåðøîìó êàï³òàíó. ß îñíîâíà ô³ãóðà, õî÷ íåâèäèìêà ÿ! (òî÷êà). Ïèòàííÿ äðóãîìó êàï³òàíó. Ïî í³é äîâãî ìîæíà éòè, ê³íöÿ - êðàþ íå çíàéòè. (ïðÿìà).

2. ßê³ òåîðåìè çàøèôðîâàí³ ó â³ðøàõ?

Ïèòàííÿ ïåðøîìó êàï³òàíó. Îäíà ïðÿìà êàæå äðóã³é: Òåîðåìà: "ßê äâ³ ñåñòðè, çàâæäè ìè ïîðó÷ ³äåìî, "×åðåç áóäü-ÿêó òî÷êó ïðîñòîðó,  Ìàíäðóºìî ìè â ïëîùèí³ îäí³é. ÿêà íå ëåæèòü íà äàí³é ïðÿì³é, Òî÷êà À ïîòð³áíà äóæå, ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó - Âîíà íàì äîïîìàãຠïàðàëåëüíó äàí³é, ³ ò³ëüêè îäíó". ³ðíèé íàïðÿì ïðîêëàäຠ² â³ä ç³òêíåíü çáåð³ãàº!" Ïèòàííÿ äðóãîìó êàï³òàíó. Ïðîòÿã äâåð³ â³äõèëèâ, Òåîðåìà: Áî òè ¿õ íå çà÷èíèâ. "×åðåç ïðÿìó ³ òî÷êó, ùî íå Ìåðù³é á³æè ïëîùèíó áóäóâàòè ëåæèòü íà äàí³é ïðÿì³é, Òîáòî çàìîê çàêðèâàòè! ìîæíà ïðîâåñòè ïëîùèíó, ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíó".

. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷.

Çàäà÷à ïåðøîìó êàï³òàíó. Òðè ìóõè ñ³ëè íà â³êíî, Íà ñîíö³ òåïëî ¿ì áóëî. "Òðè òî÷êè çàâæäè çíàõîäÿòüñÿ Òà êîòèê Ìóðç³ê íå äð³ìàâ - â îäí³é ïëîùèí³". Øâèäåíüêî ¿õ óñ³õ ïðîãíàâ! À ìóõè äóìàþòü ñâîº: "Ñê³ëüêè æ ÷àñó ïðîìèíå Ïîêè Ìóðç³ê òîé çàñíå ² â ïëîùèíó ïîòðàïèòü íå çàâàäèòü?" Çàäà÷à äðóãîìó êàï³òàíó. Ïðÿìà çâåðíóëàñÿ äî ïëîùèíè ç ïðîõàííÿì: "ßêùî äâ³ òî÷êè ïðÿìî¿ "Íå â³äìîâëÿé ìî¿ì áëàãàííÿì, íàëåæàòü ïëîùèí³, òî ³ ³çüìè äî ñåáå ìî¿õ òî÷îê, íåáàãàòî, âñÿ ïðÿìà íàëåæèòü ö³é Îäíó, ÷è äâ³, ÷è òðè…" ïëîùèí³". "Îäíó àáî í³ æîäíî¿, à á³ëüøå - íå ïðîñè!" - ³äïîâ³ëà ïëîùèíà áåç âàãàííÿ. Ïðÿìà ñâ³é ëåïåò øâèäêî ïðèïèíèëà - Ñåíñ ¿¿ ñë³â âîíà íå çðîçóì³ëà. IV ϳäáèòòÿ ï³äñóìê³â êîíêóðñà-ãðè Åêñïåðòè ï³äáèâàþòü ï³äñóìêè ãðè êîìàíä. Ó÷èòåëü êîìåíòóº ð³âåíü ñêëàäíîñò³ çàäà÷, äÿêóº ó÷íÿì çà ðîáîòó íà óðîö³, âèñòàâëÿº îö³íêè.Äîìàøíº çàâäàííÿ

Ñêëàñòè ðåáóñ äî òåìè "Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí ó ïðîñòîð³".

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru