Статья: Параллельность 3 прямых в пространстве

В объёмном мире возможно три основных типа отношений прямых относительно друг друга:

1. Прямые по отношению к друг другу скрещиваются, то есть лежат в непересекающихся плоскостях и не имеют ничего общего в отличие от пересекающихся прямых. Хорошим примером будет расположение развязки на дороге, когда над одной дорогой, которая лежит на уровне земли, сверху другая. Другая иллюстрация к этому типу отношений — река и проходящая над ней железная дорога.
2. Две прямые являются параллельными и в этом случае они лежат в одной плоскости. Здесь в качестве иллюстрации из мира вспомним железнодорожные рельсы, идущие параллельно друг другу. Также параллельны друг другу, например, две вертикальные грани дома.
3. Две прямые пересекаются друг с другом и также лежат в одной плоскости. Иллюстрация из реальной жизни — это перекрёсток обычной дороги. Также одна горизонтальная, а другая вертикальная грани дома являются примером пересекающихся прямых.

Под параллельными прямыми следует понимать прямые, лежащие в одной и той же плоскости и не имеющие каких-либо точек соприкосновения друг с другом.

Рисунок 1. Типы отношений прямых в объёмном мире

В этой статье мы более подробно познакомимся с теоремой о трёх параллельных прямых в евклидовом пространстве и её доказательством.

Теорема о параллельности 3 прямых в евклидовом пространстве

Доказательство теоремы о параллельности трех прямых в пространстве

Рисунок 2. Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство

Рассмотрим прямые $a$, $b$ и $c$, причём $a$ параллельна $c$, и $b$ параллельна $c$. Отметим на прямой $b$ точку $N$.

Как известно, прямая и не возлежащая по её длине точка достаточны для задания единственной плоскости, то есть прямая $a$ и точка $N$ являются достаточными для задания некой плоскости $α$. Теперь рассмотрим нашу вторую подопечную $b$.

Предположим, что она встречается с плоскостью $α$ в каком-то месте пространства, например, в точке $N$, тогда воспользовавшись леммой о двух параллельных прямых (см. ниже) получается, что её подруга $c$ также должна пересекать плоскость $α$.

Из этого можно сделать ошибочный вывод, что прямая $a$ тоже пересекает плоскость $α$, так как она также параллельна прямой $c$. Но это совсем не так, так как прямая $a$ возлежит в плоскости $a$.

$a$ и $b$ не имеют общих точек, так как если бы они имели их, то ситуация, при которой каждая из них при этом оставалась бы параллельна прямой $c$ была бы не реализуема, следовательно, $a$ и $b$ также параллельны друг другу.

Лемма о двух параллельных прямых, использовавшаяся для доказательства теоремы о трёх параллельных прямых