Корреляционные методы исследования распределенных систем 537
существует временное преобразование Фурье от пространственной кор реляционной функции нагрузки — спектр пространственной корре ляции (37). При сделанных предположениях об операторе Ь существует спектр пространственных корреляций для перемещений
Ух> гг\ х2, у2, г2\ ©) =
я Л ы){хъ уъ г1з ()и>(х2, у2, г2. * + т)е""/аугЛ .
--00
Можно показать, что функции Ф^ и Ф№связаны между собой соот ношением
|
|
Ц (т) Г2 ( — Ш) Фо, = Ф^, |
(50) |
в котором через |
(г'0 ) обозначен результат замены в выражении для |
||
оператора |
на |
х на х1%у на у1$ г на г1я Через Ь2 (—со) обозначен |
|
результат замены |
А на — /0 , х на х2, Уна у2, г на г2. Если ь является |
||
чисто временным оператором, то I (10) представляет собой передаточ ную функцию системы. Тогда уравнение (50) превращается в зависимость типа (25) между спектральными плотностями «входа» и «выхода» линей ной системы с конечным числом степеней свободы и постоянными пара метрами. Если же Ь является пространственно-временном оператором, то уравнение (50) является операторным уравнением. Так, если опера тор Ь является дифференциальным оператором по х, у, г, то уравне ние (50) превращается в дифференциальное уравнение в частных про изводных относительно функции Фц,, зависящий от семи переменных хх, Ух> г1? х2, у2, г2 и 0 . Граничные условия для этой функции вытекагот из граничных условий для функции т (х, у, г, I) и формулы (49).
Решение уравнения (50) может быть найдено по методу факториза ции. Рассмотрим частный случай оператора
1 = Ц + 2 , ± + ± , |
(51) |
где Ь0 — самосопряженный линейный оператор в пространстве коорди нат; е — положительная постоянная (коэффициент демпфирования)- Решение уравнения (51) имеет вид
_ V I |
т И Фа (*1. Ук г1> ФВ »*’ г»>. |
/« , |
|
Щ (<»п — т г + 21е<о)(и| — а>2 — 216® )’ |
|
здесь 0 а и ф0 — собственные значения и собственные функции опера тора Ь0 соответственно; аа$ (о) — коэффициенты разложения спектра пространственной корреляции нагрузки Ф^ в ряд Фурье по функциям
Фа (*1*1/г» ^1 ) ф(3 (*2 >У2 *гъ)- Решение (52) совпадает с формальным ре шением, получаемым в результате замены исходных уравнений в част ных производных бесконечной системой обыкновенных дифференци альных уравнений с последующим применением к ней стандартной
540 Статистические задачи колебаний и устойчивости
здесь | (0 — стационарная случайная функция, для которой
ш = 0; Е('0 Е(* + т)= /С (т).
Использование разложения (57) с последующим применением изло женной выше схемы вычислений дает с точностью до членов порядка р,4
а |
Г |
°>о |
1 |
ф), |
|
|
|
5Ш (<о0* + |
|
где ф — постоянная |
фаза, а |
|
|
|
^ ± = ^ К (т)е |
Рг/2 соз(о0 ± со^т Лт; |
|
||
В работе [16] показано, что если |
^ 0 при со > |
0, гдеФ (со) — |
||
спектральная плотность процесса |
— ^+^> 0. Следовательно, |
|||
при этом условии случайные изменения собственной частоты Приводят к уменьшению «в среднем» амплитуды колебаний.
Метод усреднения. Этот метод использует известные идеи Крылова— Боголюбова в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колеба тельный процесс имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за «период» колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо теорию марковских процессов. Подроб ное изложение метода усреднения применительно к случайным функ циям содержится в монографии [27], где рассмотрено большое коли чество нелинейных и параметрических задач.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Понятие о марковском процессе. Если движение системы описы вается стохастическими дифференциальными уравнениями, то эволю ция во времени совместной плотности вероятности неизвестных подчи няется, вообще говоря, некоторому дифференциальному или ннтегродифференциальному уравнению. Это уравнение будем называть кине тическим. Важный класс процессов, для которых применение кине тических уравнений позволяет получить содержательные результаты, образуют марковские процессы. Простой марковский процесс — это процесс без последействия, т. е. такой процесс, при котором распределе
ние вероятностей в момент |
зависит от распределения в предшеству |
|
ющий момент ^ |
^1 и не зависит от истории системы. |
|
Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. В качестве простей шего примера рассмотрим простой марковский процесс с одной пере
менной х (/). Введем обозначения |
х = х ( 0 и хх = |
Можно |
показать, что если пределы выражений |
|
|
«А (0 = Нш |
(*Т— *)* |
(И) |
*->о |
т |
|