Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Методы теории марковских процессе

541

существуют, то плотность вероятности р (х) подчиняется кинетическому уравнению

во

	р (*) = 2 -^Г (~	)1Х(х)Р <*))•	(6°)
	А= 1
Функции	(х) называют интенсивностями марковского процесса.
Из них к 1(х)	характеризует среднее	течение процесса;	х 2 (х) — его

дисперсию и т. д. Коэффициенты интенсивности связаны с корреляци онными функциями производной х(/) зависимостями

*2. *Л)= Х * (х ) б (* !-* .) б ( /! - /* ) + . . . (61)

(точками обозначены члены, содержащие более слабые особенности). Если все у./г (х) при /&> 2 равны нулю, то марковский процесс на

зывают непрерывным. Уравнение (60) принимает вид
р (х) = — - ^ г К () Р ()] + - \| - •	Iх®() р ()1	(62)

и носит название одномерного уравнения Фоккера—Планка. Оно опи^ сывает, например, случайное блуждание точки вдоль оси. Уравне ние (62) может быть обобщено на случай многомерных непрерывных

марковских	процессов
	Р(Х1,		■	Х $)
	5
	[ха (лч,	х%.	■	хв)р(х1, хг. ■	*5> ] +
	дха
5	$
	а2			$) Р (XI. 2,	*)]; (63)
	дхадхр [а0 (Ь *2.			$) Р (XI. 2,	*)]; (63)
здесь		т	(хах —ха)
		т	(хах —ха)
		->0		Т
					(64)

Уравнение (63) называют обычно уравнением Фоккера—П ланка-

Колмогорова (уравнением		ФПК).
	Пусть движение системы описывается стохастическими дифферен
циальными уравнениями			5	(65)

			2
	Ха + ёа (Х1....... хз) +			г Х$*^~ ^
			Э-1
где	(0 — независимые белые		шумы;
	Ь Ш	Ж	) =	6 (т) 6а/}.

,542 Статистические задачи колебаний и устойчивости

Кинетическое уравнение для этой системы имеет вид уравнения

ФПК (63). где
				5	3	дНд0
а(ъ		. •. *$) =	8а +	х Е0=1 Еу=\		дНд0	^07»
а(ъ		. •. *$) =	8а +	х Е0=1 Еу=\		дх$	^07»
							(66)
	Хаз	*г-	•	х*) = 2	Ла?АЭУ-
				\= 1
Вывод этих	соотношений		дан,	например, в		книге	[27].

Пусть имеющиеся в системе возмущения не являются белыми шу мами, но их спектральные плотности являются дробно-рациональ ными функциями. Тогда уравнение ФПК можно составить, добавляя к стохастическим уравнениям движения систему линейных соотноше ний, связывающих эти возмущения с белыми шумами.

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для механических си стем. Рассмотрим систему, движение которой описывается стохасти ческими уравнениями:

Р а ^ а "Ь 2Са^а + / а ( ^ ь			^	У п ) = Р а (0*	(®^)
где
Ра (0	= 0;	Ра (0 <?0 (* + Т) = Саз6 (т)«
Уравнение ФПК (63) для этой системы имеет вид
р(&1,	«2*	Ъп,	Щ, Ь2.	Vп) =

пп

Сдр .	&Р
+ ЕтЬ" диа УаР) + “Г 2 2 Рар0	д аа 6ар	(68)
		(68)

Существует два частных случая [2, 4], для которых уравнение (68)

имеет стационарное (р = 0) распределение, называемое распределением

Максвелла—Больцмана:

дУ

1) п = 1; / =	Тогда
р (о,	с!) = С ехр \| -----,	169)

где С — постоянная, определяемая из условия нормировки;

Методы теории марковских_ процессов	543
2) п^> 1; /а — дУ!дьа\ еа — е — соп$1; са$ = с6а$.	Тогда
р = Сехр	(70

Если уравнения (67) описывают колебания упругой пластинки или оболочки, то, как показано в статье [2 ], распределение (70) имеет место лишь в случае нагрузки, дельта-коррелированной в пространстве.

В остальных случаях нахождение решений уравнения ФПК свя зано, вообще говоря, со значительными трудностями. Решение в конеч ном виде молено получить для кусочно-линейных систем. Распределение получается «кусочно-гауссовским», удовлетворяющим некоторым усло виям на поверхности разрывов. Эти условия были установлены в ра

боте [34], где получены также			решения для		некоторых конкретных
кусочно-линейных систем.
В работе [15] рассмотрено уравнение
о +	2«ш0а 4-		[о + 4	^	= о (<).		(71)
Было принято, что процесс Ф (0 имеет спектральную плотность
Ф(ш) =■ А		____ 1		Ш0т0 < 1.
		1 + 0 ^		’
Приближенное выражение для совместного распределения обобщен
ной координаты, скорости и ускорения имеет вид
V) =	1	- е х Л		$ 1 2
	У(2л)3' 2		Р \|	$ 1 2
V1			/	,	дУ		(72)
			(0+ “лГ				(72)
2й>0°0			(0+ “лГ
где			А )
			А )	»
			з	»
			4есо;о
' - Й	н	Н	' - ?		[ т + Н	}	' ”-

Уравнение Понтрягина. В задачах надежности часто оказывается необходимым вычислять вероятность невыхола изображающей точки системы за пределы некоторой области фазового пространства в те чение заданного времени. Указанная вероятность подчиняется урав нению, сопряженному с уравнением (63), при заданных краевых условиях на границе области и заданных начальных условиях. Из этого уравнения получается дифференциальное уравнение в частных.

544	Статистические задачи колебаний			и устойчивости
производных,		определяющее среднее время		достижения	границы —
уравнение Л. С. Понтрягина:
		$	$
	2	2	2 х°рдх*>адх%		(73)
	2	2	2 х°рдх*>адх%
		0=1	0=1
Здесь	верхний		индекс у х\|} соответствует начальным		значениям
переменных ха. На границе области функция Т					х^) должна

обращаться в нуль. Если начальное состояние подчиняется распреде лению р (х®, *2, • •» *5). то среднее время Т достижения границы опре деляют по формуле

? = 1	\| Г (■ ?. “•	4 ) Р (ХЬ ?...... •?) X
	X 4х\	4х°$,	(74)
В статье [8 ]	указан эффективный метод приближенного		решения

уравнения (73). При помощи этого метода для механической системы с одной степенью свободы, имеющей две устойчивые особые точки, было вычислено среднее время пребывания внутри области, которая ограни

чена	сепаратрисой.
	ЛИТЕРАТУРА
1.	А н д р о н о в А. А., П о н т р я г и и Л. С., В к т т А. А. О ста

тистическом рассмотрении динамических систем. «Журнал экспериментальной теоретической физики». Т. 3. 1933, № 3.

2.Б о л о т и и В. В. О стационарных распределениях о статистической динамике упругих систем. Рига, изд-во АН Латвийской ССР, 1963.

3.Б о л о т и н В. В. Статистические методы в нелинейной теории упру гих оболочек. «Изо. АН СССР, ОТН», 1958, № 3.

4.	Б о л о т к к	В. В.		Статистические	методы	в строительной меха
нике. М., Стройиздат,			1961	(1-е изд ), 1965 (2-е нзд.).
5.	Б о л о т к н	В. В.		Динамический краевой эффект при упругих коле
баниях	пластинок.	Инженерный сборник. Т. 31, 1961.
6. Б о л о т и н		В.	В.	Обзор исследований по статистической динамике
упругих систем. Сб.		«Расчеты на прочность»,			М., Машгиз, 1964, № 10.
7.	Б о л о т и н	В. В.		Об упругих колебаниях,		возбуждаемых случай

ными силами с широкополосным спектром. «Изв. вузов. Машиностроение», 1963, • № 3.

8. Б о л о т и и В. В., М а к а р о в Б. П. О приближенном решении

некоторых задач статистической динамики. «Изв. АН СССР, Механика», 1965. к 3.

9. Б о л о т и н В. В. Механика твердого тела и теория надежности. Труды Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.

М., изд-во «Наука»,		1966.		Устойчивость упругих	и	упруго-пластических
10.	В о л ь м и р	А. С.
систем.	М., Физматгиз, 1962.			Статистический метод	в	теории	устойчивости
11.	В о р о в и ч	И.	И.
оболочек. ПММ. Т. 23. Вып. 5, 1959.							потери устой
12.	Г о н ч а р е н к о		В. М. К определению вероятности

чивости оболочкой. «Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение»,

13. Г о н ч а р е н к о В. М- Применение марковских процессов в тео рии устойчивости оболочек. «Украинский математический журнал», т. 24, 1962. № 2.

И. Д и м е и т б е р г М. Ф. Вынужденные колебания пластин при нагрузке, представляющей собой пространственно-временнбй случайный про цесс. «Инженерный журнал», т. 1, 1961. № 2.

					Литература					545
16.	Д и ме н т б е			р г	М. Ф.	Нелинейные			колебания	упругих панелей
при случайных нагрузках. «Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машинострое
ние». 1962. № 5.				М. Ф. Резонансные свойства системы с одной сте
16.	Д и м е и т б е р г
пенью свободы со случайно изменяющейся собственной частотой. «Инженер
ный журнал» Механика твердого тела.						1966.	№	1.
17.	Е к н м о в	В.	В.	Вероятностные методы в строительной механике
корабля. Л., «Судостроение»,					1966.					О линеари
18.	К о л о в с к и й		М. 3., П е р в о з в а и с к и й А. А.
зации по функции распределения в задачах теории нелинейных колебаний.
«Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1962, №										5.
19.	Л и п п м а и	Г.		О применении статистических методов к проблеме
бафтннга. Сб. «Механика»,				1953, М., ИЛ, № 5.				Н.	Вероятностный анализ
20.	Л и ф ш и ц	Н.	А.,		П у г а ч е в		В.
систем	автоматического		управления. М.,			«Советское			радио», 1963.

21.М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа экспериментальных данных по устойчивости оболочек. «Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1962, № 1.

22.М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа нелинейных задач устойчивости оболочки. Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной конференции. Изд-во АН УССР, 1962.

23.М а к а р о в Б. П. Анализ нелинейных задач устойчивости оболочек

при помощи		статистического		метода.	«Инженерный журнал»,	Т.	3, 1963,
№ 1.	П у г а ч е в В.		С.	Теория	случайных функций и ее	применение
24.
к задачам автоматического управления. М., Фнзматгиз, 1960.							напряже
25.	Р ж а	и и ц ы н	А. Р. Статистические методы определения

ний прн продольном изгибе. Научные сообщения ЦНИПСа. М., Стройпздат, 1951, Л'г 3.

26.

С о л о д о в н и к о в

В.

Введение в

статистическую динамику

систем автоматического

управления.

М.,

Гостехнздат,

1960.

27.

С т р а т о к о в и ч

Р. Л.

Избранные вопросы теории флуктуаций

в радиотехнике. «Советское радио»,

1961.

проч

28-

С т р е л е ц к и й

Н. С.

Основы статистического учета запаса

ности сооружений, М.. Стройпздат,

1947.

процессов. Успехи

физи

29.

Т и х о и о п

В.

И.

Выбросы случайных

ческих

наук. Т. 77,

1962,

№ 3.

М.

Поведение

механических систем при

30.

Т о м с о н У.,

Б э р т о и

случайных возмущениях. Сб. «Механика». М., ИЛ,

1958, Ха 4.

31.

Ф а н г

И.

К статистическому расчету аэродинамических нагрузок.

Сб. «Механика».

М.,

ИЛ,

1954,

А»

32.Ф е д о р о в 10. А. Колебания замкнутой круговой цилиндрической

оболочки в поле случайных акустических давлений. «Инженерный журнал», 1963, Ае 3.

33.Ф е д о р о в Ю. А. О нелинейных колебаниях прямоугольной пла

стинки под воздействием случайных сил. «Инженерный журнал», т. IV, оып. 3, 1964.

34.X а з е и Э. М. Определение плотности распределения вероятностей для случайных процессов о системах с нелинейностью кусочно-линейного типа.

«Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика н автоматика», 1961, № 3.

35. Ч е л н а и о в И. Б. Колебания системы второго порядка при слу чайных изменениях параметра. ПММ, т. 26, 1962, Лгс 4.


36.	А г I а г а 1 п а т			5.	Т.	Резропзе о! а 1оабеб попИпеаг з1гшд 1о гап
бот ехНаИоп.		Лоигп.	Арр1.		Мес1ь,		уо1.	29,	п. 3,	1962.	5сЫ1-
37.	В а г 1	5 с И Н.		З^аЫзНзсНс			Ме1Ьобеп гиг			1Лп1егзисНипд етез
1е$ 1гп	Зеедапд. 5сЫ!Гз1есНп1к,				1959.			Р.	Мотеп15 о! Ию ои1ри! оГ		Ппеаг
38.	В о д б а п о 1		1	.1. Ь.,		К о з I п

гапбот зуз1еш$. Лоигп. Асоиз!. Зое. Атег., уо1. 34, п. 8, 1962.

39.В о I о И п V- V. ВгоабЬапб гапбот у1Ьга11оп5 о! е1азИс $уз1етз. 1п1егпа{. Лоигп. ЗоПбз 51гис1игез, уо1. 2, п. I, 1966.

40.С а и б Ь е у Т. К. Капбош ехМаНоп оГ а зуз1ет \уШ| ЫПпеаг Ьуз1еге$1з. Лоигп. Арр1. МесН., уо1. 27, п. 4. 1960.

41. С а и§[ п е у	Т. К- Е^и^VаIепМIпеаг^2а!^оп 1есНпI^^1ез. Лоигп. Асоиз(.
Зое. Атег., уо1. 35, п. 11, 1963.				К. О. ТЬе гезропзе о! а 1ур1са1 а!гсгаН
42. С I а г к з о п	В. Ь.,		Р о г б
з!гис1иге 1о ]е! по!зе. Лоигп. Роу. Аегол. Зое., уо1. 66, п. 613, 1962.
43. С г а п б а П	5.	Н.	(есШог).	рапбот у1Ъга11оп, ТесЬпо1оду Ргезз,
Мазз. 1пз1. ТесЬп., 1958.		Н.	РеНигЬаПоп 1есНшчиез !ог гапбот у1Ъга!1оп
44. С г а п б а И	3.
о! попИпеаг зуз!етз.	Лоигп.		Асоиз*. Зое. Атег., уо1. 35, п. 11, 1963.

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры