Корреляционные методы |
527 |
возникает вопрос об определении точности получаемых оценок. Погреш ность здесь связана, во-первых, с конечной длиной реализации Т Во-вторых, практическое вычисление интегралов (18), (19) для реали заций я (/), заданных в графической или табличной форме, связано с переходом от интегрирования к суммированию. Как правило, эти вычисления выполняются автоматически, при помощи механических, фотоэлектрических и электронных корреляторов.
Кроме того, иногда для некоторого улучшения оценок (18), (19) в подынтегральные выражения вводят специальным образом подбирае мые весовые функции а (*), а. (/, т).
Точность оценки я* математического ожидания ц характеризуется ее среднеквадратическим отклонением о т. Эта сценка является несме
щенной, т. е. |
математическое ожидание |
величины |
«7* совпадает с |
Для величины а2т справедлива формула |
[20] |
|
|
" |
+ Т |
Т |
|
о2т _ |
= - г |
! |
(20) |
. |
10 |
о |
|
Задаваясь допустимой величиной огп и подставляя в формулу (20) вместо Кдд (т) ее оценку (19), получаем минимальную длину реализа ции 71, обеспечивающую принятую степень точности оценки математи ческого ожидания.
При определении точности оценки корреляционной функции (19) могут встретиться два случая: 1) когда я известно и 2)_когда я неиз-
вестно и в выражении (19) вместо я используется оценка я*. В случае 1 оценка (19) для (т) является несмещенной. Выражение для ее сред
него квадрата о\ отклонения приведено в работе [20]; из этого выраже
ния получается |
следующая |
простая оценка |
сверху: |
|
< |
2^ , ( 0) V |
< 2^ |
( 0) ] / | ^ ; |
(21) |
здесь Тх — такой интервал времени, что для т> - Тх корреляционную функцию Кдд (т) можно считать практически равной нулю. В случае 2 оценка (19) для при отсутствии специальных поправок оказы вается смещенной. Выражения для математического ожидания и сред него квадрата отклонения этой оценки приведены в книге [20]. В этой же книге приведены аналогичные формулы для оценки точности замены интегрирования суммированием, а также формулы для оценки точности определения взаимных корреляционных функций двух случайных про цессов.
Определение спектральной плотности стационарной эргодической случайной функции по опытным данным. Спектральные плотности слу чайных процессов определяют либо по экспериментально найденной корреляционной функции, либо непосредственно при помощи системы узкополосных фильтров. Формулы, определяющие точность оценки
528 Статистические задачи колебаний и устойчивости
по первому способу, приведены в книге [20]. При практическом вы числении интеграла (18) интегрирование заменяют суммированием. Максимально допустимая величина промежутка АГ, на которые разби вается интервал времени 7\ может быть определена согласно теореме В. А. Котельникова
Д Г ^ — ; |
(22) |
здесь со0 — такое значение со, что при |®| ^ |
функцию Ф (со) можно |
практически считать равной нулю. |
|
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Реакция линейной системы на действие случайных сил. Пусть урав нения движения линейной системы с т степенями свободы приведены к главным координатам, в которых неизвестные разделяются. Обозна чим через (?а (0 входы, через оа (/) — выходы линейной системы (а = = 1, 2, . ., т), а через На (0 — реакции на единичные импульсы, при ложенные в момент / = 0. Решение стохастических уравнений, удовле
творяющее нулевым начальным условиям при I = |
записывают в виде |
||
I |
|
|
|
(0 = [ На V ~ т) <?« (т) й т (а = 1, |
2.......... т). |
(23) |
|
Отсюда получаем формулы |
|
|
|
^ а ° в |
^з) = |
|
|
/. и |
|
|
|
= | ] Иа (< 1 — т1 ) Н’№ ~ т*) %,<?„ <т1 - |
тг)* 1 |
(24) |
|
*0 |
|
|
|
и аналогичные формулы для корреляционных функций более высоких порядков (звездочки означают комплексно сопряженные величины). Для стационарных случайных процессов из соотношения (24) получаем
формулу, связывающую спектральные плотности входа |
и выхода |
|
Ф< у У а > |
(25) |
|
р а ('<■>) («*>) |
||
|
||
здесь Ра (Ш) ( а = 1, 2...........т) — передаточные функции |
линейной |
системы. Формула (25) и входящие в нее функции имеют прозрачный физический смысл и весьма удобны для вычислений; эта формула имеет многочисленные технические приложения в области теории автоматиче ского управления, теории связи и т. п.
Корреляционные методы исследования линейных систем |
529 |
Колебания систем с конечным числом степеней свободы под дей ствием случайных сил. Допустим, что движение механической системы описывается уравнениями
Оа+ 2гаыаиа + “аиа= СО(а= 1 , 2 , .. .), |
(26) |
где еа — коэффициенты демпфирования; юа — частоты |
свободных |
колебаний; точками обозначено дифференцирование по времени. Фор мула (25) принимает вид
Ф„ ’Э (©) |
|
Ф, |
(27) |
|
(са2 + 2*еасоюа — (О2) (о)р — 2ш&рй>р — со2) |
||||
|
||||
По санкции |
^ |
(со) можно определить вторые моменты обобщен |
||
ных координат. |
Учитывая, |
|
||
получим, применяя |
обратное преобразование Фурье, |
|
||
|
|
оо |
|
|
|
|
^ = 4 1 ®к,в.в (т ) л в - |
(28) |
|
Формула для вторых моментов производных обобщенных коорди
нат имеет вид |
|
|
|
|
ис1^а1/ц ас11ип{ |
| |
г |
. . . |
(29) |
-------------= |
-1 |
ф.( |
(СО) (ш)*+/ Асо. |
|
А1к Л11 |
2 |
^ |
|
|
Вычисление интегралов (28) и (29) для случаев, когда Ф -,^ (ш)
определяется соотношением (27), а спектральные плотности обобщен ных сил Ф0 0 (со) являются дробно-рациональными функциями,
может быть выполнено при помощи теоремы вычетов. В приложении к книгам [24, 26) содержатся таблицы интегралов вида
1 - 1 &.(»*>) ^
где кп (х) и дп (*') — полиномы. При помощи этих таблиц можно опре делять средние квадраты обобщенных координат и их производных.
Изложенная схема решения может быть использована и для опреде ления моментов высших порядков. Если распределение обобщенных сил является нормальным, то распределение обобщенных координат и их производных также является нормальным. Поэтому их моменты высших порядков могут быть выражены через моменты второго порядка.