У ст ой чи вост ь оболочек в п р е д е л а х у п р у го с т и |
131 |
где
О =
ЕН*
12(1 ^ 2)*
Из уравнений (7) определяют поперечные силы (?* и <3У:
(Ю )
здесь у 2 — оператор Лапласа,
|
|
|
|
„ |
а3 . |
|
а* |
|
|
(И) |
|
|
|
у-== |
|
|
|
|
|
||
Подстановка выражений (10) в уравнение равновесия (б) |
приводит |
|||||||||
к следующей |
зависимости: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
а |
о» |
. |
^ |
|
( 12) |
|
|
|
|
- г * ш= т г + т - ’ |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
где у 4 — двойной оператор |
Лапласа, |
|
|
|
а4 |
|
||||
|
У4 = 7 2Уа = |
- | г + 2 |
|
а4 |
(13) |
|||||
|
|
дх*ду* + |
ду* • |
|||||||
Исходя из соотношений (8), выразим деформации через напряжен |
||||||||||
|
|
|
= ~]7 (ст.г — \Оу)] |
|
|
|||||
|
|
&у = - ^ { а у — \ох)\ |
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = 2т (1 + |
|
у) |
|
|
|
||
ций (4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ Г &а* |
2 а ч |
. + |
|
V |
( |
дх* |
|
|
||
Е 1 ду* |
дхду |
^ |
дх2 |
|
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
а2м> |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
/? ' дх2 * |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если ввести функцию напряжений в |
срединной поверхности Ф |
|||||||||
по формулам |
а2Ф |
|
|
а*Ф |
|
|
а2Ф |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
° * = - 3 7 г ; |
аи = ~ № ’ х = ~~я7д77> |
(16> |
ду* |
дхду • |
|
132 |
Устойчивость оболочек |
|
||
то зависимости (12) и (15) можно представить в виде |
|
|||
|
|
д*Ф |
я |
07) |
Н |
|
дх2 + Л ; |
||
|
у4Ф = |
1 |
д2ьи |
(18) |
|
|
|
||
При решении задач устойчивости в уравнение (17) нужно подставить
вместо ц фиктивную поперечную нагрузку <Д равную сумме дополни тельных проекций основных усилий рх»/?«/, 5 на направление нормали (усилие рх действует вдоль оси х, усилие ру — вдоль касательной к ли нии (/, усилия 5 — касательные):
Положительными считают усилия, способствующие увеличению параметров кривизны; в отношении рх и ру положительными считают усилия сжатия. Подставляя выражение (19) в формулу (17), получим
О . |
|
1 |
д2Ф |
|
даш |
|
|
д2& |
п д2и> |
( |
20) |
||
А |
^ 10 |
~ |
7? |
дх2 |
|
^х дх2 |
|
|
ду1 |
8 дхду |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
Применим к |
уравнению |
(20) оператор |
|
V 4, а |
к уравнению (18) — |
||||||||
оператор |
|
|
тогда выражения (20) и (18) приводятся к одному |
||||||||||
разрешающему |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
й |
_в |
, |
Е |
д*м |
, |
_ _4 / |
) |
\ |
+ |
|
4 / а-ш \ |
|
|
А - у '» |
+ |
|
" з р - + |
Ч ^ |
) |
РЛ *[: щ Г ) + |
|
|
|||||
|
\ - ш |
|
+ |
РЛ* |
|
|
|||||||
+МЙ-)-«: 0. (21)
Приведем другой вариант уравнений линейной теории оболочек, относящийся к случаю слабо выраженного волнообразования по длине оболочки. В этом варианте срединную поверхность принимают не растяжимой в дуговом направлении (еу = 0); считают, что сдвиги в сре динной поверхности отсутствуют (у = 0). Поперечные силы и изгиба ющие моменты в осевом направлении, а также крутящие моменты пола
гают |
Мх = Н = |
0; учитывают |
только усилия |
0 у и |
Му. При |
|||||
таких |
условиях справедливы |
следующие |
соотношения: |
|
||||||
_ |
ди |
____/ д2ад |
|
щ \ |
|
д о ___ _ |
ди_ ___ до |
|||
х ~ |
дх 1 |
ху— |
\ ду2 ‘ |
Я2 / |
1 |
ду ~~ К ' |
ду |
дх |
||
Отсюда |
|
д2ел |
____ 1_ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ду2 |
~ |
|
У? |
дх2 |
’ |
|
|
Уравнение |
совместности |
деформаций получает вид |
|
|
||||||
|
|
о |
д*ех |
|
1 |
дЧх |
_ |
д2ку |
|
(22) |
|
|
к |
ду* |
|
/? ' |
ду2 |
~ |
дх2 " |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
устойчивость оболочек $ пределах упругости |
133 |
Приходящуюся на единицу площади внешнюю нагрузку вдо#ь оси х, касательной к линии у и оси г, обозначим через Яу> Яг. Тогда урав нения равновесия запишутся
д а , |
д т |
|
|
1 |
|
д т |
, дОу_____1 |
дМу . |
Яу |
0 . |
||||
-д Г + ~д? + — |
^ |
= 0- |
|
дх |
|
ду |
|
|
ду |
К |
' |
|||
|
|
|
|
дЧ1и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ду2 |
+ х |
0*+?*=а |
|
|
|
||||
Объединяя их, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
Ш и |
, |
*<*, |
„ |
|
(23) |
||
|
* |
ду4 |
+ |
Я |
* д</2 |
+ |
|
дх* |
~ ' |
|
||||
где |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
_ |
|
|
, |
|
|
|
, А * |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
дЯх |
|
|
|
|
|
(24) |
|||
|
|
|
^ |
" |
" д Г + |
д*, |
* |
ду* |
• |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Соотношения |
закона |
Гука |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
Я/13 |
|
|
||
|
Ох = 1 — Vт с, & Еех |
М ;,= - |
12(1— V2) |
|
(25) |
|||||||||
тч |
|
|
|
|
|
Х |
О |
|
У |
|
|
|
|
|
Вводя |
переменные а = — |
, р = |
- - и пользуясь оператором |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д4 |
, |
д2 |
|
|
|
|
(26) |
|
|
|
|
|
й |
= - ар4 |
+ |
ар3 |
’ |
|
|
|||
уравнения (22) |
и (23) приводим к виду |
|
|
|
|
|
||||||||
й<т, |
12/? |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
||
Л3 |
* |
да2 |
" |
’ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
дЦх . |
д<7у |
дгдг |
|
|
(28) |
|||
|
|
|
|
|
|
да + |
ар |
ар2 * |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Исключая ах и используя выражение (25) для Му, получаем, после
исключения оператора + 1 )• следующее дифференциальное урав
нение для решения задач устойчивости:
(29)
Уравнением (29) следует пользоваться при исследовании устойчи вости оболочек средней и особенно большой длины в случае слабо вы раженного волнообразования по длине оболочки.
Линейная теория дает возможность исследовать устойчивость обо лочки в малом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости оболочки в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории. Приведем соотношения, относящиеся к оболочке большого прогиба. Будем исходить из того варианта теории, в котором оболочка считается пологой, по крайней мере, в пределах отдельной вмятины.
134 |
Устойчивость оболочек |
Дополняя соотношения (2) нелинейными членами, получим сле дующие выражения для деформаций в срединной поверхности:
|
|
_ |
ди |
до |
дао |
дао |
|
|
|
|
|
^~~ |
ду |
' дх |
дх |
|
ду |
|
|
Уравнение совместности деформаций принимает вид |
|||||||||
дЧх |
, дЧу |
|
д2у |
|
1 |
|
|
1 |
д2ао |
ду2 |
дх2 |
дх ду |
|
~ г |
М в * |
|
(31) |
||
|
|
|
|||||||
где 1 (и;, ао) — оператор, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
С {ао, но) — 2 Г д2ао |
д2ао |
/ |
д2ю |
\ 2~| |
(32) |
|||
|
|
|
[ |
дх2 * |
ду1 |
\ |
дхду |
) ] ‘ |
|
Изменения кривизн и кручение срединной поверхности определяют по формулам (3).
Соотношения Гука (8) остаются прежними. Первые два уравнения равновесия отвечают соотношениям (5), третье уравнение равновесия
принимает форму |
|
|
|
|
|
дОх , |
д()у . |
, д2ао |
{ 1 |
д2ао \ |
|
~дГ + |
+ |
Ь ё + |
а* \~ К |
+ ~ д ^ ) + |
|
|
+ |
2 т й - Ц |
г + |
‘' = ° - |
(33) |
|
|
Для поперечных сил справедливы соотношения (10). Подставим эти выражения в уравнение (33), а соотношения (14) — в уравнение (31),
тогда, вводя функцию напряжений по формулам |
(16), уравнения (33) |
и (31) приводим к следующему виду: |
|
= ^ (® . |
(34> |
= - 4 - 1. |
(35) |
Оператор 1 в применении к функциям ао, Ф:
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
135 |
|
||||||||||
Если оболочка до нагружения имеет начальные прогибы щ (х, у), |
|
||||||||||||
то выражения для деформаций получают вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ди . \ ( дш у |
1_ / дщ \ 2 |
|
|
|||||||
|
*■* |
_ |
дх + |
2 \ |
дх |
) |
2 \ |
дх |
) |
• |
|
|
|
|
до |
1 |
|
. |
1 |
/ дш \2 |
|
1 |
/ |
дщ \2 |
( |
||
|
= - — |
|
|
ди) |
дни |
дщ |
|
|
|
(37) |
|||
|
_ |
|
|
|
дщ |
|
|
|
|||||
|
^ |
ду "*™дх |
*’ "дх™ ’ |
ду |
дх |
|
|
ду |
|
|
|
||
здесь |
ш — полный |
прогиб. |
Повторяя |
вывод |
|
основных |
уравнен |
|
|||||
вместо |
выражений |
(34) и |
(35) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
— |
(ге — а>о)=Ц |
|
. |
1 |
д2Ф |
(38) |
|
|||||
|
|
ф) +!«?■ |
; |
|
|||||||||
-^Г V 4® = — - у - (*• (“ >, ю) — |
(а»«, “ >„)] — |
|
|
|
(ш — |
а»0). (39) |
|
||||||
При интегрировании приведенных выше линейных или нелинейных уравнении необходимо удовлетворить граничным условиям. Для тор цовых сечений замкнутой оболочки эти условия формулируются так: при шарнирном опирании оболочки по краям х = 0, х = /, (направле ние координатных осей соответствует рис. 3) для точек краев должно выполняться условие
при защемлении оболочки по краям
ш = 0, ^дх= 0.
Приведем условия, касающиеся перемещений и, о, а также усилий в срединной поверхности. Если точки краев свободно смещаются вдоль образующей и по дуге, то в этих точках должно быть
ох = 0; т = 0.
В случае несмещающнхся кромок следует положить и = 0; о = 0.
Замкнутые круговые оболочки
Сжатие замкнутой оболочки вдоль образующей. Рассмотрим замкну тую круговую цилиндрическую оболочку длиной I , шарнирно опертую * по торцам, подвергающуюся сжатию вдоль образующей усилиями р, равномерно распределенными вдоль дуговых кромок (рис. 4).
Об о з н а ч е н и я : К — радиус срединной поверхности оболочки;
к— толщина оболочки. Исследуя устойчивость оболочки в малом, определяем верхнее критическое напряжение; при этом исходным
• Обозначения на схемах закрепления краев см. рнс. 2, гл. 2.