Устойчивость оболочек в пределах упругости |
141 |
Сопоставление данных статистической теории устойчивости оболочек с результатами многочисленных экспериментов приводит к следующим
значениям Ррасч при осевом сжатии (в пределах упругости) |
тщательно |
||||
изготовленных замкнутых |
цилиндрических |
оболочек: |
|
|
|
|
До 250 |
600 |
750 |
1000 |
1500 |
'ррасч |
° . 18 |
° . 14 |
° . 12 |
° . 10 |
° .°9 |
В случае, когда оболочки изготовлены недостаточно тщательно и начальные прогибы достигают величины порядка толщины Н, расчет
ные значения р следует |
снижать при |
|
||||
мерно вдвое. |
Начальные |
прогибы, за |
|
|||
метно превышающие толщину |
оболоч |
|
||||
ки, вообще недопустимы, так как жест- |
|
|||||
к'ость конструкции при этом резко |
|
|||||
снижается. |
оболочка |
при |
внешнем |
|
||
Замкнутая |
|
|||||
давлении. Рассмотрим случай круговой |
|
|||||
оболочки, |
шарнирно опертой |
по тор |
|
|||
цам и подвергающейся действию рав |
|
|||||
номерно |
распределенного по |
боковой |
Рис. 6 |
|||
поверхности внешнего давления интен |
||||||
|
||||||
сивностью |
(рис. 6). Действие попе |
|
||||
речного давления ц эквивалентно действию радиальных сжимающих напряжений ру = - ^ ~ . Задача об устойчивости в линейной поста новке сводится к интегрированию уравнения
--
Это уравнение получается из зависимости (21), если в иен учесть лишь усилия ру. Представляя прогиб ш в виде формулы (47), из урав нения (62) получим следующее выражение:
тгп2 ~ ц ~
Отсюда находим [1]
( 3 шая а
« - а д
и _ Д 1\4 . |
в |
1> |
|
|
||
|
Я2 / |
|
|
|
|
|
тгя а , |
п2 |
п? |
_ |
Л |
(63) |
|
-Ц Т - + |
/р ; |
дз |
“ |
и‘ |
||
п |
\2 |
Ек |
|
|
1 |
(64) |
В? |
) |
|
|
|
пЧ* |
|
|
|
|
|
|||
Я*ж*и*')
где т — число полуволн по образующей оболочки; п — число полных волн по окружности. Как видим, при определении критического давле ния надо принять т = 1; это подтверждается и экспериментами. В связи с этим влияние граничных условий в задачах об устойчивости
142 Устойчивость оболочек
оболочки при внешнем давлении является более заметным, чем в случае
сжатия. Будем пользоваться безразмерным |
|
параметром нагрузки |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
Выражение (64) приведем к виду |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Л |
|
л2 |
|
Л |
, |
я 2/?2 \ 2 |
, |
|
||
я ~ |
К ’ |
1 2 (1 - ^ |
а) |
Г |
"г |
|
л27.2 ) |
“г |
|
||
|
, |
|
я 4/?* |
|
|
1 |
|
|
|
|
(66) |
|
|
|
14/т« |
|
|
я»** |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если можно принять |
|
1+ ли3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
■г |
|
|
||||
|
|
|
|
У |
€ |
1. |
|
|
|
|
(67) |
будет |
|
|
1 |
|
|
|
|
я«К‘ |
|
|
|
|
|
|
|
п Ч |
|
|
|
(68) |
|||
|
Я= *12(1— V8) |
|
Я |
1 и н п * |
' |
||||||
|
|
|
|||||||||
Из условия минимизации выражения (68) по л получим |
|
||||||||||
л = у 'б л 2 Г 1 - |
V* |
|
|
4/ |
|
(69) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
или при V = 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(70) |
Подставив выражение (69) в формулу (68), находим верхнее крити |
|||||||||||
ческое значение |
для |
случая, когда выполняется |
условие |
(67): |
|||||||
|
|
|
V I |
|
яЦ / |
Л |
\0.5 |
(71) |
|||
Ч* = |
-9(1 — V2)0,75 |
|
I |
\ |
К |
} |
' |
||||
|
|
||||||||||
ИЛИ при V = 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ ' = ° - 9 2 т - у Т - |
|
|
(72) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Если условие |
(67) |
не выполняется, |
то |
для |
определения |
надо, |
|||||
исходя из полного выражения (66), найти значение п, отвечающее ми
нимуму |
<7. |
Значения |
найденные для большого диапазона отноше* |
ний — |
и |
——, показаны |
на рис 7 |
Приведенные выше данные справедливы для оболочек средней длины
при условии — 1; будем считать, что это условие выполняется при
л ^ 4. При решении задачи применительно к случаям я = 2, п = 3 нужно исходить из более общих уравнений линейной теории, приведен*
|
|
|
Устойчивость в пределах упругости |
|
143 |
||||||
ных в книге |
[1 ]; там же дано соответствующее решение. Для верхней |
||||||||||
критической |
нагрузки |
получается выражение |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
!(|г + Тр-)’ + |
|
|
||||
|
|
|
+ тН|- 2(''-!1г1+",)]}+ |
|
|||||||
|
|
|
Ек |
я* |
|
|
|
|
|
(73) |
|
|
|
+ |
К |
' V ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для весьма длинной оболочки, когда / ,> / ? , |
выражение (73) пере |
||||||||||
ходит в следующее: |
|
(л2 — 1) 1) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(74) |
|||
|
|
|
|
|
Ч в = -— т^г2— - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/?3 |
|
|
|
|
|
Минимальное |
значение <7 получается |
при |
п = |
2: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9с- |
Зй |
|
|
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
Д3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (74) можно получить также, исходя из уравнения (29) |
|||||||||||
полубезмоментной теории. Для этого следует |
в |
выражении |
(28) |
||||||||
принять |
= |
|
= |
0; |
цг = —?Д |
+ |
|
|
в |
Уравнение |
(29) |
подставляют |
прогиб |
ш, — |
- з т |
Тогда выражение для д |
|||||||
принимает вид |
|
|
1>л4(л2—I)2+ |
ЕПЯ2г4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(76) |
||||
|
|
|
|
|
/?*л4(я* — !) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т ~ * |
|
|
|
|
при г -> 0 |
приходим к выражению |
|||||
Для весьма длинной оболочки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Я (л2— 1) |
|
|
|
|
(77) |
|
|
|
|
|
|
|
Я3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в формуле |
(76) л2 > |
1, приходим |
к |
выражению (68) для |
||||||
оболочек средней длины. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Испытания оболочек на устойчивость при внешнем давлении показы вают, что в этом случае выпучивание оболочек происходит в виде резко выраженного хлопка с образованием глубоких вмятин, обращен ных к центру кривизны; при этом каждая выпучина распространяется на всю длину оболочки. Поэтому и здесь надо обратиться к решению нелинейной задачи об устойчивости оболочки в большом. Решение не линейной задачи по методу Ритца в первом и во втором приближениях рассмотрены в книге [1]. Окончательные значения критического давле-
ьр
ния <7* для различных отношений -3 - и — даны на рис. 8. Для фикси- |
||||
|
О |
г\ |
Л |
|
рованного отношения |
соотношение |
между нижним и верхним |
||
|
||||
144 |
Устойчивость оболочек |
Рис. 7
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
145 |
|||
критическими давлениями будет зависеть от |
к |
Значения а = — в зави- |
||
|
г> |
|
Яе |
|
симости от нескольких фиксированных значений |
показаны на рис. 9. |
|||
В случае весьма длинных оболочек ^ -—- > 4 ^ , |
а также |
коротких |
||
(х<м )значения да и дн близки между собой. При значениях « *
заключенных в пределах 0,8—2, происходит резкое снижение отноше
ния а. С увеличением |
минимум а сдвигается в сторону меньших зна- |
П
. ^ ченни
Зависимость коэффициента а от параметра
(78)
характеризующего форму волнообразования, показана на рис. 10.
Здесь нанесены зависимости по результатам различных решений. Кри-
О
вуюа (Ф) можно считать независимой от отношения |
. Кривая 1 отве |
чает решению задачи во втором приближении; соответствующее зна чение а т1п = 0,73 и относится к 0* = 0,3. Кривая 4 соответствует дан ным первого приближения. Другие решения показаны кривыми 2 и 3.
Следовательно, влияние нелинейности в случае внешнего давления
значительно слабее, чем в случае осевого сжатия. Уровень дн состав
ляет около 70—75% от дв, в то время как при сжатии нижняя критиче ская нагрузка составляет 30—35% от верхнего критического значения.
Из экспериментальных данных, полученных различными авторами при разнообразных условиях изготовления и испытания образцов, следует, что для оболочек, имеющих значительные начальные непра вильности, разброс экспериментальных точек оказывается большим, а уровень критического давления — гораздо ниже, чем в случае тща тельно изготовленных оболочек (подробно о поведении оболочек, име ющих начальную погибь, см. в книге (1 ]). Для тонких оболочек (1000 <
= 5 - |- « 1 5 0 о ) критическое давление падает особенно сильно из-за