136 |
Устойчивость оболочек |
является дифференциальное уравнение (21) Для рассматриваемого случая оно принимает вид
О а . Е |
д*ха |
. / |
Я3 |
дхл |
(40) |
|
Приведем первый вариант решения, в котором предполагаем, что поверхность оболочки после выпучивания является осесимметричной, т. е. что поперечные сечения остаются круговыми. В этом случае про гиб ш будет зависеть только от х\ уравнение (40) переходит в следующее:
|
|
Л Лх» + Р |
йх* |
|
Е |
~дхг |
= |
0. |
(41) |
|
|
+ |
Ж |
||||||
|
|
В соответствии |
с граничными условия |
||||||
|
|
ми принимаем выражение для |
прогиба |
||||||
|
|
|
, |
. |
тпх |
, |
|
|
... . |
|
|
ш = / $ т — |
|
|
(41а) |
||||
|
|
где т —число полуволн изогнутой поверх |
|||||||
|
|
ности по образующей оболочки. |
в урав |
||||||
|
|
Подставляя |
выражение (41а) |
||||||
|
|
нение (41), находим |
[1] |
|
|
|
|
||
|
|
Р |
2 - |
|
I |
А |
|
|
(42) |
|
|
Л |
’ |
№ + |
X2 |
’ |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
* |
тпК |
я/? „ |
|
|
|
|
|
|
. |
здесь А = |
— |
—. Приравниваем нулю производную от р |
по Л; |
||||||
а1.Х
при этом считаем т > 1. Получаем следующее выражение для
К = У \ 2 (1 - V 3) |
(42а) |
Подстановка выражения (42а) в формулу (42) приводит к следующему значению верхнего критического напряжения рв:
|
1 |
с |
Л |
(43) |
|
Ра |
]Л }(1— V2) |
Я |
|||
|
|||||
При V = 0,3 имеем |
|
|
|
|
|
|
р, = 0,605Е А . |
|
(44) |
||
Из выражения (42а) |
получаем |
длину |
полуволны |
||
1х = |
- 5 ------- --------- У М . |
(45) |
|||
|
V 12(1 — V3) |
|
|
||
В случае весьма короткой оболочки, если |
С 1) , нужно в фор- |
||||
муле (42) принять т = 1 и пренебречь вторым членом. Тогда
лЮ
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
137 |
Рассмотрим вариант решения задачи в допущении, что поверхность оболочки после выпучивания не является осесимметричной. Для про гиба и) принимают следующее выражение, удовлетворяющее гранич ным условиям:
. . тях |
. |
пи |
(47) |
1В)= [ 51П — |
8Ш |
: |
где т — число полуволн по образующей оболочки; п — число полных волн вдоль окружности. Исходим из дифференциального уравнения (40); подставляя в это уравнение выражение (47), получим (1]
|
И ( |
т ая 2 |
п2 у |
|
|
|
Е |
гп*л4 |
|
|
|||
~ П \ |
~ |
+ 1 ? ) |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
/ т2л2 |
|
п2 \ - |
|
т2л2 |
|
(48) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем безразмерные параметры по формулам |
|
|
|||||||||||
|
РК . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2Л |
(49) |
||
Р = ЕК ’ |
|
|
|
л/, |
|
» |
|
Я |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Параметры *0* |
и г| |
выражаются |
через |
длины полуволн |
изогнутой |
||||||||
|
дуги |
^ |
|
лЯ \ |
|
и |
|
по |
образующей |
| |
|||
по формулам |
|
|
> - |
п |
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1ц . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
■&= |
|
Л |
|
|
|
|
|
(50) |
|||
|
|
|
1х ' |
|
|
~ |
|
Ч |
' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Параметр б1 характеризует |
очертания |
вмятины; |
т| — длину полу |
||||||||||
волны 1У. Тогда вместо формул (48) можно записать |
|
|
|||||||||||
Р ~ |
|
1 |
|
(1 + |
Ф2)2 |
|
Л + |
б 2 |
(51) |
||||
|
|
|
(1 + |
■&*)* V |
|||||||||
12(1— -V2) |
|
№ |
|
|
|
|
|||||||
Считая числа т и п достаточно |
большими, находим |
минимум р |
|||||||||||
из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
др_ |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
др |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(1 + |
б 2)3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Р = |
Л- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
||||
Из этого условия находим значение р: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
р = |
К 1 2 (1 — V2) |
|
|
|
||||||
и верхнее критическое значение |
параметра р |
|
|
||||||||||
|
Ре = |
|
|
1— |
■■ |
|
0,605. |
|
(52) |
||||
|
^3 (1 — V2) |
|
|
|
|
|
|
||||||
138 |
Устойчивость оболочек |
Приведенным решением не устанавливается однозначно форма волнообразования оболочки; вытекает лишь следующее условие, которому должны удовлетворять величины т| и д :
(53)
В случае выпучивания оболочки с образованием квадратных волн (д = 1) получаем г\ = 0,825; тогда
(54)
Верхнее критическое напряжение рв, определяемое в соответствии с формулой (52), в точности совпадает с формулой (43). Следовательно, потеря устойчивости оболочки в малом с образованием вмятин, распо ложенных в шахматном порядке, происходит при том же напряжении, что и в случае осесимметричного выпучивания.
Все приведенные выше формулы относятся к случаю п ^ 4. Прак тически это соответствует выпучиванию оболочки средней длины. Границы применимости теории оболочек средней длины в случае сжатия определяют, исходя из следующего условия, уточненного по сравнению с выражением (1):
(55)
Выражением (55) определяется область значений I для которых
можно считать справедливой формулу (43).
Рассмотрим случай |
слабо выраженного волнообразования (л = 2, |
п = 3), когда оболочка |
выпучивается с образованием длинных волн. |
При получении расчетных формул для этого случая используют урав нение (29). В выражении (28) следует положить
Принимая
где
из уравнения (29) получим [1]
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
139 |
|
здесь обозначено е = |
и введен прежний параметр к = |
. в |
Из условия минимизации р по к находим к2 — е1/2л2 (п2— 1)/(1 — у2)1/2 и величину
|
Л _______ I_____ |
|
п8 — 1 |
(57) |
|
Р" ~ УЗ (1 — у‘) ' |
"2 + 1 |
||
|
|
|||
При V = 0,3 |
будет |
|
|
|
|
Р .* 0,605 |
~ |
| . |
(58) |
В случае п = |
2 находим рв = 0,363, что составляет 0,6 |
от «класси |
||
ческого» значения, определяемого по формуле (43). При /1 = 3 верхнее критическое напряжение составляет 0,8 от «классического» значения.
При |
п2 > 1 получаем |
значение ра 0,605, что совпадает с результа |
том |
по формуле (43). |
|
Следовательно, для весьма длинных оболочек получаются понижен ные, по сравнению с формулой (43), значения критического напряжения.
Характер выпучивания реальных оболочек средней длины не со ответствует ни одному из этих вариантов. В действительности, вместо вмятин прямоугольного очертания, расположенных в шахматном по рядке и обращенных к центру и от центра кривизны, образуются ромбо видные вмятины, глубина которых уже в первоначальный момент
сравнима с |
толщиной оболочки. Эти вмятины появляются обычно |
в процессе |
резко выраженного хлопка оболочки. Отсюда вытекает |
необходимость решения задачи с позиции нелинейной теории. |
|
В книге |
[1] изложено несколько вариантов решения нелинейной |
задачи. Решение по методу Ритца состоит в выборе аппроксимирующего выражения для прогиба до, содержащего несколько варьируемых пара метров, и подстановке этого выражения в уравнение (39). В результате
интегрирования этого уравнения определяют функцию |
напряжений |
в срединной поверхности Ф. Находят полную энергию системы |
|
Э = 11е + 1)и - Ш , |
(59) |
где 1!с — потенциальная энергия деформации срединной поверхности;
Уи — потенциальная |
энергия изгиба; 117— работа внешних |
сил. Ве |
|
личины Ци и Ус определяют по формулам |
|
||
11с = |
| |
[(V2®)2 - (1 + V) Ц Ф , Ф)1 йх Лу, |
(60) |
|
| |
|(у 2о03 — (1 — V) Ц ш . ш)| (1х <1у, |
(61) |
|
Р |
|
|
где р = 2я/?/, — площадь поверхности оболочки. Далее полную энер гию системы варьируют по параметрам прогиба и находят диаграмму равновесных форм оболочки. В процессе выпучивания оболочки число н размеры вмятин являются переменными, поэтому диаграмма равно весных форм представляет собой огибающую серии кривых, отвечающих
140 |
Устойчивость оболочек. |
тем или иным числам воли. Из сопоставления различных вариантов
диаграммы находят наименьшую величину р — нижнее критическое
значение рн. Подобно тому, как реальные оболочки резко реагируют на малые возмущения, что приводит к большому разбросу эксперимен тальных значений критических напряжений (см. ниже), результаты ре шения по методу Ритца сильно меняются при незначительном изменении принимаемого выражения для прогиба. Данные различных решений
по методу Ритца приводят к значениям параметра рн, лежащим в пре делах 0,182—0,334; позднее получены более низкие значения, доходя
|
|
щие до 0,0427. |
|
|
|
|
|||
|
|
Во всех решениях по методу |
|||||||
|
|
Ритца нижнее |
критическое |
напря |
|||||
|
|
жение |
не |
зависит |
от |
отношения |
|||
|
|
4 с . |
А. Алексеев, |
пользуясь |
|||||
|
|
методом |
последовательных |
прибли |
|||||
|
|
жений, |
пришел к выводу, что вели- |
||||||
|
|
чина рн падает с возрастанием |
/? . |
||||||
|
|
Обратимся к экспериментальным |
|||||||
|
|
данным |
[1 ]. |
Область |
эксперимен |
||||
|
|
тальных значений ркр показана на |
|||||||
рис. 5. Величина рв = 0,605 |
действительно |
является верхней |
грани |
||||||
цей для реальных критических напряжений. Большая |
часть |
опытов |
|||||||
приводит к значениям |
ркр, лежащим выше 0,18. |
Некоторые экспери |
|||||||
ментальные значения |
лежат |
ниже этой величины; иногда снижение |
|||||||
Л |
|
|
|
также явную тенденцию |
|||||
Ркр достигает 0,06—0,15. Рис. 5 показывает |
|||||||||
к падению ркр с увеличением |
, что вытекает |
из решения С. А. |
|||||||
Алексеева. С увеличением |
вероятность появления начальных про |
||||||||
гибов должна повышаться, а это приводит |
к снижению |
средней |
вели |
||||||
чины реальных критических напряжений. Это подтверждается также результатами статистической обработки экспериментальных данных. Если, например, определять нижнюю границу критических напряже ний, исходя из условия, чтобы вероятность попадания эксперимен тальной точки в вышележащую область составляла 90 или 99%,
получаются значения р, |
приведенные в табл. 1. |
Из таблицы |
следует, |
|||||
что с увеличением |
значение р |
резко падает. |
|
|
|
|||
I. Значения р при осевом сжатии замкнутой |
цилиндрической оболочки |
|||||||
Вероятность попа |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
дания эксперимен |
|
|
|
|
|
|
|
|
тальной точки |
|
|
|
|
А |
|
|
|
в вышележащую |
250 |
| |
500 |
750 |
1000 |
1500 |
2000 |
2500 |
область в % |
||||||||
90 |
0,18 |
1 |
0,16 |
0,14 |
0,13 |
0,11 |
1 0,09 |
0,08 |
99 |
0,14 |
| |
0,12 |
0,10 |
0,08 |
0,07 |
| 0,065 |
0,06 |