Устойчивость оболочек в пределах упругости |
171 |
Исключая из этих уравнений функцию %, получим следующее раз |
|
решающее уравнение: |
(-188> |
4И*3^ М 4 -^>=°- |
|
Уравнение (188) используют в качестве исходного.
Для случая шарнирно опертой оболочки примем функцию ф в виде
где |
ф = Ах3 (1 + ах) 51П пх, |
(189) |
|||
|
б + |
V |
|
|
|
|
а |
|
(190) |
||
|
8-1- V ’ |
|
|||
|
|
|
|
||
при V = |
0,3 а = —0,759. |
|
|
|
|
Уравнение Бубнова-Галеркина, соответствующее дифференциаль |
|||||
ному уравнению (188), имеет вид |
|
|
|
||
1 |
(* з 4 4 4 ^Л х + р * \ |
* |
1 у * а х = °- |
(,э|) |
|
О |
|
0 |
0 |
|
|
Отсюда находим выражение для ц: |
|
|
|
||
\1 = |
|
1 |
|
|
(192) |
|
|
^ ф2 с1х |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Для оболочки, жестко защемленной по краю, будет |
= 0, |
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йх |
|
|
ц = - |
|
|
|
(193) |
I**с1х
Выражение (189) подставляем в формулу (192). Из условия мини мума р, по р находим рщщ = 20,4; используя формулы (181), (182), (185), получим значение верхнего критического давления для оболочки, замкнутой в вершине:
’ « = 3 , Ш : ( А ) \ е а | / ГА |
а |
|
||
V (I — V*)» |
|
|||
|
|
|
|
|
|
•5 |
_з_ |
1 |
|
|
|
(194) |
||
= 3,1ЪЕ |
|
а) 2 |
||
|
_з_ * |
|||
(1 - V *)4
172 Устойчивость оболочек
Решение задачи |
методом конечных разностей приводит к следу |
|
ющей формуле для |
критического давления |
[11: |
|
5 |
з |
|
|
(195) |
(1 — V2) 4
Усеченная коническая оболочка (рис. 28). Докритические усилия определяют по формулам
(196)
где 10 — расстояние по образующей от вершины до меньшего основа-
ния. Вводя безразмерную |
координату х = |
, приводим эти выраже- |
||
ния к виду |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
ре3ЕЛ |
а |
; Д/2 = |
— дгр,е3ЕЛ |
а. (197) |
Величины е и р. определяют по формулам (181) и (183). Как и в слу чае оболочки, замкнутой в вершине, разрешающее уравнение после упрощений получается в виде уравнения (188). Но если в случае замкну
Рис. 28
той оболочки величина х изменялась в пределах 0 ^ х «$:• 1, то теперь
она заключена в пределах ^ х ^ 1.
В результате решения задачи по методу конечных разностей для слу
чая, |
когда усеченная оболочка по |
меньшему основанию защемлена» |
||
а по большему — шарнирно |
оперта, |
получается следующая формула |
||
для |
верхнего критического |
давления |
[1]: |
|
|
|
5 |
3 |
|
(198)
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
173 |
Коэффициент Сх берут по графику на рис. 29.
Формулы (194), (195), (198) применимы, если угол а не близок ни
лг
кнулю, ни к - у [в этом предположении получены исходные уравнения
(186)—(188)]. Как показывают эксперименты, этими формулами можно
пользоваться при значениях угла а, лежащих в пределах 20° |
^ 80°; |
||||||
если а^> 80°, то при |
вычислении |
ув кони- |
|
||||
ческую оболочку можно заменить цилиндри |
|
||||||
ческой с радиусом, равным среднему радиусу |
|
||||||
конической |
оболочки. |
|
|
|
|
|
|
Испытания тщательно изготовленных зам |
|
||||||
кнутых и усеченных конических оболочек |
|
||||||
при внешнем давлении показывают, что потеря |
|
||||||
устойчивости сопровождается |
хлопком. Для |
|
|||||
тщательно |
изготовленных |
оболочек экспери |
|
||||
ментальное |
значение |
критического давления |
|
||||
получается |
несколько |
выше |
теоретического, |
|
|||
определенного по формуле |
(195) |
для замк |
|
||||
нутых в вершине оболочек и по формуле (198) |
|
||||||
для усеченных оболочек, |
и ниже |
значения, |
|
||||
получаемого по формуле |
(194). |
В |
среднем |
|
|||
экспериментальная величина |
критического |
|
|||||
давления приблизительно |
на |
5% |
выше зна |
|
|||
чения, вычисленного по формуле (195). и |
|
||||||
примерно |
настолько |
же |
ниже |
величины, |
|
||
определенной по формуле (194). |
|
|
|
||||
Впрактических расчетах можно использовать формулы (195) и
(198)для верхнего критического давления; при этом следует вводить поправочные коэффициенты, аналогично тому, как это рекомендова лось для цилиндрических оболочек при действии внешнего давления.
Кручение
Приведем результаты решения задачи об устойчивости в малом усе ченной, свободно опертой конической оболочки, нагруженной равно мерно распределенными по торцовым сечениям сдвигающими усилиями. Координату 5 по-прежнему отсчитываем по образующей от вершины конуса; соответствующие расстояния от вершины до меньшего и боль шего оснований обозначим через /0 и /х, длину оболочки по образую щей — через /. Сдвигающее усилие на единицу длины контура в пло
скости меньшего основания (при 5 = |
/0) обозначим через |
а в пло |
||
скости большего основания — через |
Т |
эти усилия выражаются че |
||
рез крутящий момент Мк по формулам |
|
|
||
Т |
______ МК |
г р ______ МК |
,.дд |
|
/о |
2л (/о соз а)2» |
11 |
2л (/х со$ а )21 |
|
где а — угол наклона образующей |
к основанию. |
|
||
Приближенная формула для критического сдвигающего усилия имеет вид [1]
ДМРа- 0 Е -~ |
С0 *б4 о. |
(200) |
Т1о = 4 (я г + $ а) |
|
|
174 |
Устойчивость оболочек |
|
|||
|
|
лк |
|
Г я а + €г |
1 Т |
р = 1 + т г ; е4 = х - |
|
[ б ( р * - Ш |
(201) |
||
|
С 2 |
|
|
||
|
Е = 1п ( 1+ т ) : |
|
|
||
|
=2,61 ( ^ ) т |
[ н - ® д а ( - 5 - ) т |
« н - п > ] ; |
||
|
|
1 |
|
|
(202) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2(1 + |
*) * |
|
|
Условия |
применимости |
приведенных формул: |
|
||
|
е г ^ 0,1; 0 ,2 55^*^0,33 . |
|
|||
Ниже приведены некоторые значения коэффициента Са при V = 0,3: |
|||||
е |
0,12 |
0,10 |
0,07 |
0,ОБ |
0,03 |
Со |
3,75 |
3,87 |
3,95 |
4,08 |
4,31 |
Подкрепленные оболочки при действии внешнего давления
Конические оболочки, подкрепленные продольными и круговыми ребрами. Приведенное ниже решение задачи получено в предположе нии, что ребра расположены достаточно часто, так что жесткость ребра можно равномерно распределить по длине шага. Сечения продольных и дуговых подкрепляющих ребер, симметрично расположенных отно сительно серединной поверхности оболочки, показаны на рис. 30. Применительно к случаю симметричного расположения ребер введем
следующие обозначения:
|
|
|
24 (1 |
V2) у,,. |
||
|
|
,2 = 1 + 2 4 Я |
- у а )уР; |
(203) |
||
|
|
«>1=Ч |
2&,6? |
(1 — V»); |
||
|
|
- Л |
||||
|
|
2 Ь ^ |
-(1—V2), |
(204) |
||
|
|
<йа= 1- |
ин |
|||
где |
и |
— моменты инерции половины сечения ребра относительно |
||||
осей, лежащих в срединной поверхности,
, Р_ |
Ч * ? )3 |
+Т^в? (*+«?)*! |
^ -------- \ 2 ~ |
||
]» _ |
(й? ) 3 |
|
12 |
+ Т « ( И б ? ) г; |
|
Устойчивость оболочек в п р е д е л а х |
упругости |
175 |
|
Л — толщина оболочки; |
Ь2 — значения |
толщины |
продольных |
(рис. 30, а) и круговых (рис. 30, б) ребер соответственно; б{\ 6$ — вы
сота ребер; 1Ъ (2 — шаг ребер.
Если оболочка подкреплена односторонними ребрами (сечение кру говых ребер показано на рис. 31), то формулы (203) и (204) примут вид
(1 = 1 |
, 12 (1 — V2) |
гРт |
||
<2=1 |
+ |
12(^ |
уа)^ - . |
(205) |
|
|
|
6,6? |
|
а г = |
1+ |
6, 6? |
(206) |
|
- ^ |
- ( 1- ^ ) . |
|||
здесь У{* — момент инерции сечения продольного ребра относительно
центральной оси профиля кругового сечения оболочки; У? — момент
инерции сечения кругового ребра относительно центральной оси про филя осевого сечения оболочки.
Верхнее критическое значение внешнего давления для шарнирно
опертой замкнутой |
круговой |
конической оболочки будет |
[1] |
||
|
|
|
5 |
з |
|
|
л |
и |
; : ) 2 |
(*8 а ) 2з > |
(207) |
|
|
||||
|
|
|
|
( ( - V 2) 4 |
|
|
Р, = |
|
— V2 |
- |
(208) |
|
|
|
|
||
|
_ |
|
(1 — V2) (02 |
|
(209) |
|
На |
|
— V 2 |
|
|
|
|
|
|
||
Формула (207) |
получена |
в предположении, что угол а |
не близок |
||
ни к нулю, ни к |
В результате решения задачи с помощью метода |
||||
конечных разностей получается формула (207) с коэффициентом 2,8 вместо 3,15.
Вычисления показывают, что круговые ребра значительно повышают критическое давление, продольные ребра менее эффективны.
Для усеченной оболочки верхнее критическое давление
(1 — V2) 4
Значения коэффициентов Съможно определять по графику на рис. 29 при тех же граничных условиях.