Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
176 |
Устойчивость оболочек |
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
Сферические оболочки
Во многих областях техники применяют сферические оболочки
в виде сегментов, закрепленных по краю. Следует различать сегменты
сбольшим углом охвата, стрела подъема Н которых сравнима с радиу сом кривизны срединной поверхности К (рис. 32), и пологие панели, для которых Н < Будем рассматривать устойчивость сегментов большого подъема. При потере устойчивости такого сегмента образуются сравнительно мелкие вмятины, и критические нагрузки для него будут темн же, что и для полной сферической оболочки. Поэтому будем опре делять критические нагрузки для полной сферической оболочки, на
ходящейся под действием внешнего равномерного давления 7.
Примем, что в пределах первич ной вмятины оболочка является по логой. Исходные уравнения линей ной задачи имеют вид [1]
|
° ’ 4“" = |
У2<1>+ |
Чг, |
|
|
|
||
|
1 |
, |
|
I |
„ |
( 211) |
||
|
|
|
|
|
||||
где ф — функция усилий в срединной |
поверхности; |
К — радиус |
|
сре- |
||||
динной поверхности; Н— толщина оболочки; |
О = |
|
Е№ |
|
|
у 3 |
||
—— —----- у—; |
|
|||||||
и у 4 — операторы по формулам (11) |
и |
(13). |
|
12(I— V3) • |
|
|||
Исключая функцию <р, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е1г
(212)
Найдем величину дг. Если внешнее давление <7, то нормальные усилия во всех нормальных сечениях оболочки
Сжимающие усилия N и напряжения о считают положительными, тогда
2 » |
2Л ’ |
(213) |
|
Обозначим через до0 радиальное перемещение всех точек срединной поверхности, соответствующее начальным напряжениям а. Деформа
ция укорочения вдоль дуги любого нормального сечения будет е =
с другой стороны, эта величина |
|
ст(1— у) |
? /? (! — у ) . |
Е |
2ЕН » |
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
177 |
отсюда находим
(214)
В дальнейшем через до будем обозначать дополнительный прогиб, имеющий место при выпучивании оболочки. Величина в уравне ниях (211), (212): дг= —/кту2до. Уравнение (212) принимает вид
О2
— V*® + У2'*' = 0. (215)
Примем, что решение уравнения (215) должно удовлетворять соот
ношению |
|
у2до = |
— Я,2до, |
(216) |
|
|
|
||||
где Я — неопределенный |
параметр. |
|
|
|
|
Тогда из уравнения |
(215) получим |
|
|
||
о = |
^ 12 |
г |
Е |
(217) |
|
|
|
/I |
+ |
/?2Я2 " |
|
Минимизируя о по Я2, |
находим |
|
|
||
V |
|
1 |
|
|
(218) |
= -щ - V 12(1 -V * ). |
|||||
Далее, по формуле (217) определяем величину верхнего критиче
ского напряжения |
|
|
|
|
1 |
Е 4 - |
« 0 .6 0 5 ^ 4 - . |
(219) |
|
сгв |
||||
1/3(1 - V |
2) |
К |
/я |
|
Напряжению по формуле |
(219) |
соответствует давление |
|
|
9 |
Р |
|
|
( 220) |
Я* |
|
|
||
К 3 ( 1 — V2) |
|
|
|
|
Формула (219) для верхнего критического напряжения для сфери ческой оболочки в точности совпадает с выражением (43) для верхнего критического напряжения, отвечающим случаю осевого сжатия цилин дрической оболочки.
Определяя верхнюю критическую нагрузку, мы не рассматривали форму выпучивания оболочки. Исследование формы изогнутой поверх ности, проведенное в линейной постановке, показывает, что в случае, если выпучивание является осесимметричным, потеря устойчивости должна сопровождаться появлением одной сравнительно глубокой вмя тины и ряда кольцевых складок, размельчающихся по мере удаления от центра основной вмятины [1].
Реальные сферические оболочки оказываются такими же чувстви тельными к начальным несовершенствам в форме срединной поверхно сти, как и сжатые вдоль оси цилиндрические оболочки. Выпучивание сферических оболочек, как правило, сопровождается хлопком, и истин ные значения критических усилий лежат обычно гораздо ниже значе ний, найденных по линейной теории. Как показывают испытания сфери ческих сегментов, особенность процесса выпучивания сферических
178 |
Устойчивость оболочек |
оболочек состоит в том, что в одних случаях он сопровождается появле нием одной быстро развивающейся вмятины, в других — образованием группы волн, соединяющихся затем обычно в одну глубокую вмятину. Поэтому при исследовании устойчивости сферических оболочек в боль шом возможны два подхода к задаче. Первый подход состоит в рас смотрении процесса развития одиночной вмятины и сводится к решению осесимметричной задачи; при втором подходе исследуют несимметрич ное выпучивание оболочки. Приведем результаты, полученные при использовании первого из этих подходов.
Основные нелинейные уравнения теории пологих оболочек имеют вид \\\
(221)
— у 4Ф -------- — Ь (ш,
где Ф — функция напряжений в срединной поверхности; <7— попереч ная нагрузка; Ь — оператор по формулам (32) и (36).
Воспользуемся полярными координатами г, ср. Совместим начало радиуса-вектора с центром вмятины. Если функции ш и Ф не зависят
от ф, то получаем |
следующие выражения для операторов, входящих |
в уравнения (221) |
[1]: |
|
_ 1 _ д _ / й т _ Л Ф \ # |
|
= ~ 7 ' йг \ йг * йг ) * |
|
(222) |
Уравнения |
(221) |
примут вид |
|
|
_ |
1 |
Л ( 4Ф\ йЛ /( йФА |
йюш \ , |
дг |
|
Ж'Чг\г Лг)+ йЛ йг ' |
4г / |
А ’ |
|
(223)
|
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
|
179 |
||||||||||
Интегрируя эти уравнения по г, |
получим после деления на г |
|||||||||||||
|
й |
й . 0 , |
1 |
|
йФ_ |
йш |
|
^Ф |__ у . |
|
|
||||
|
|
|
|
Я |
|
йг |
йг |
|
йг |
+ |
Л |
|
(224) |
|
|
|
й |
. в |
|
Г |
1 |
йт |
[ |
/ |
йш |
\2."1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
~ й г^ ^ ~~ |
[ |
/? ’ |
йг ~т" |
2г |
( |
йг |
) |
] 9 |
|
|
||
под 4е |
понимают функцию нагрузки, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ^ - у ^ Ч г й г . |
|
|
|
|
|
|
(225) |
|||
|
|
|
|
|
|
г |
О |
|
|
|
|
|
|
|
Напряжения |
в срединной |
|
поверхности |
в общем |
случае |
[I] |
||||||||
- |
г |
дг |
о- _!_ |
&2ф . |
|
_ |
д*ф . |
|
_ |
д |
/ |
\ |
дФ \ |
|
°г ~ |
г3 |
дф2 * |
|
С(р ~~ |
дг2 * |
Т ~ |
|
дг |
\ |
г |
дф ) ' |
|||
В осесимметричных задачах бу- |
. ____ |
|
|
|
с |
|
|
_____ , |
||||||
Найдем выражение для радиального перемещения и точек срединной поверхности. При этом используем следующую формулу для деформации удлинения в кольцевом направлении:
|
_ |
1 |
( й2Ф _ |
V |
йФ \ |
|
|
|
|
|
|
Т ’Ч Г ) ' |
|
||
„ |
„ |
|
и |
|
находим |
|
|
С другой стороны, еф = |
-р-, отсюда |
|
|||||
|
|
г |
( й2Ф ___ йФ \ |
|
(227) |
||
|
и ~~ |
Е |
\ йг2 |
г |
йг |
/ |
|
|
|
||||||
Рассмотрим результаты различных решений нелинейной задачи, основанные на исследовании изменения стрелы прогиба одной вмятины, образующейся в полной сферической оболочке, в зависимости от давле ния. Трудность задачи состоит в установлении граничных условий на контуре вмятины, так как остальная часть оболочки также подвергается деформации. В одном из вариантов решения по методу Ритца в качестве первого приближения принималось, что на контуре вмятины (рис. 33) выполняется условие полного защемления:
ш = 0; |
= 0 при г = с, |
(228) |
где с — радиус вмятины. Предполагалось, далее, что по краю вмятины отсутствуют радиальные перемещения:
и = 0 при г = с. |
(229) |
180 |
Устойчивость оболочек |
|
|
|||
С учетом выражения (227) эго условие можно записать в виде |
||||||
^2Ф |
у |
^Ф |
0 при г = |
с. |
(230) |
|
йг* |
г |
57" |
||||
|
|
|
||||
В полюсе при г -> 0 радиальные напряжения должны быть огра ничены по величине; отсюда из формул (226) вытекает четвертое гранич
ное условие |
|
ЛФ |
|
|
|
|
|
0 при г = 0 . |
|
(231) |
|
|
|
—Т— = |
|
||
Выражение для |
прогиба аппроксимируется в виде |
|
|||
|
|
|
|
|
(232) |
' |
|
___ —• л |
Эта функция удовлетворяет гранич- |
||
0,2 - |
|
ным условиям |
(228). Выражение (232) |
||
-----— * |
|
|
подставляют в |
правую |
часть второго |
10 |
15 |
20 |
из уравнений (224). Интегрирование |
||
результата подстановки |
ведут с учетом |
||||
Р и с. |
34 |
|
условий (230) |
и (231), |
Далее исполь |
зуют метод Ритца: определяют полную энергию системы и полученное выражение для полной энергии варьи руют по двум параметрам. В окончательном результате решения нахо
дят зависимость а (&), |
показанную |
на рис. 34 [1]. |
Под ^ и с пони |
||||
маются безразмерные величины: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ЯН2 |
(233) |
|
ь |
А |
’ |
° |
ЕН |
2ЕН2 |
||
|
|||||||
Минимальное значение |
напряжения |
|
|
||||
ан = 0,155, |
или |
о* = 0,155Е-^- |
(234) |
||||
при стреле прогиба ^ = |
9,16. Нижнему критическому напряжению по |
||||||
(234) соответствует давление |
|
|
|
|
|||
|
? « = 0 ,3 1 * |
( - ^ |
) 2 |
(235) |
|||
Полученное значение ан почти в 4 раза меньше верхнего критического напряжения ств.
В результате другого, уточненного решения задачи по методу Ритца нижнее критическое напряжение оказалось
0,193
0,203.
Граничные условия, принятые при получении формулы (234), не вполне соответствуют истинному характеру сопряжения зоны вмя тины с остальной частью оболочки: защемление по контуру вмятины надо считать не жестким, а упругим. Решение задачи в таком предполо жении по методу Бубнова-Галеркина в первом приближении приводит