Устойчивость оболочек в пределах упругости |
191 |
Исследование задачи в предположении, что ребра, окаймляющие панели, остаются прямолинейными и вместе с тем свободно сближаются между собой, приводит для квадратной панели в первом приближении к следующему уравнению (при V = 0,3):
я* = 7,5^э _ 2 , 0 6 + (0,154Л*2 + 22) |
(262) |
В случае несмещающихся ребер зависимость имеет вид
Я* = 28,9^3 — 6,1 |
+ (0,56*2 + 22) |
(263) |
Для удлиненной цилиндрической панели (а > Ь) может быть полу чено точное решение задачи [2]. Окончательные результаты для верх него и нижнего критических давлении для панелей различной кри
визны н при разных условиях закрепления приведены в табл. 3. Под ^
н я*2 понимают соответственно параметры верхнего и нижнего значений критических нагрузок:
3. Критические нагрузки для удлиненных цилиндрических панелей
Параметр |
Шарнирное закрепление |
Защемление по длинным |
||
ло длинным кромкам |
|
кромкам |
||
КрП Ш 131Ш |
|
|
|
|
к |
|
|
* |
|
|
*1 |
<7о |
ч |
|
5 |
4,29 |
3.94 |
|
|
10 |
19,4 |
—2, 60 |
__ |
— |
20 |
60,6 |
—26,5 |
95,0 |
47,4 |
30 |
95.5 |
—44,5 |
— |
— |
40 |
— |
— |
255 |
65,2 |
Коническая панель
Рассмотрим случай пологой конической панели, круговой в плане
при подвергающейся действию поперечной нагрузки интен
сивностью д (рис. 43, а). Примем, что панель защемлена по контуру
а) |
I) |
6) |
Рис. 43
и точки края свободно перемещаются в плане (скользящая заделка). Особенности задачи, связанные с наличием вершины конуса, учитывать не будем.
192 |
|
Устойчивость оболочек |
Представляя |
оболочку как искривленную пластинку, возьмем |
|
за основу уравнения (250)—(251). По рис. 43, б находим г = —— = аг, |
||
где а « |
а = |
и |
Выразим уравнения (250)—(251) в полярных коор |
||
динатах г, ф (рис. 43, в).
Производные от некоторой функции Ъ по я, у выражаются через
производные от 2 по г, ф в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
дЪ__д1_, |
дЪ |
|
1 |
д! |
|
|
|
|
|
(264) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
дх ~~ дг * |
ду |
|
г |
дф 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дП |
_ |
|
д |
( \ |
|
|
дЪ \ > |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
дх1 ~~ дг2 1 |
|
дх ду |
|
дг |
\ |
г |
дц> ) |
7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
д-1 |
|
_ 1_ а2 |
|
_1_ ^ 2 |
|
|
|
|
|
|
(265) |
|||||
|
|
|
|
|
|
ду2 |
г |
’ |
дг |
' |
г2 |
дфа * |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
07 _ |
а°-2 |
|
ду- |
~ |
дг* |
+ |
г |
' |
дг |
|
|
г- |
|
аа2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
- |
Зл:3 |
+ |
|
|
|
З ф - |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
_ |
1 |
|
а |
/ |
а г \ |
, |
|
|
|
з^г |
|
|
|
|
(266) |
||
|
|
|
|
|
- |
г |
’ аг |
V |
* • ) + |
г'- ' а<ра • |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Используя |
зависимости |
(264) — (266) и вводя относительную |
|
коор - |
||||||||||||||||||
днпату |
р = |
|
приводим основные |
уравнения |
(250) — (251) |
к |
виду |
|||||||||||||||
в |
4 |
|
_ |
1 |
а |
/а® |
дм_\ . |
1 |
( |
а2Ф |
|
а^ |
|
а»Ф_ |
а2ш \ |
|||||||
л |
у |
ш - |
р |
' ар |
\ аР ‘ а р ) + |
р М |
зф2 |
‘ |
ар3 + |
зРз |
' зфз |
+ |
||||||||||
|
|
2 / |
а2Ф |
а^ |
|
аФ |
а2ву |
\ |
|
2 |
|
|
а2Ф |
_а^о_ |
|
|
||||||
|
" "рз" \ |
дрдф" ‘ аф |
“аф"4 ар аФ / |
р2 |
* ар аф ’ ар аф |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
аф |
дП) . |
с а |
|
Vа2ФVI/ |
|
|
д |
4. |
|
|
(267) |
|||||
|
|
|
|
|
р4 |
аф |
|
аф |
+ |
- |
|
ар2 |
+ |
л |
|
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
^ ( д2® \2 |
|
2 |
а^ |
|
а2ш |
|
|
|
||||||||
|
|
|
"2Г ^ |
= "р2" \ араф ) |
|
рз*'“аф |
араф |
|
|
|
||||||||||||
|
_1_ / |
д-ш |
) |
___ 1_ |
дни |
|
дгш ___ 1_ _ а2ад |
|
^ а2ср |
_ |
са_ д2ш _ |
|
||||||||||
■ |
"р4^\ |
аф |
р |
ар- * ар2 |
р2 |
ар2 |
|
|
аф2 |
|
р |
ар2 |
’ |
* |
||||||||
оператор |
Лапласа имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 _ |
а2 |
|
|
1 |
а |
|
1 |
|
а2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
^ |
ар2 "• |
р |
’ ар |
*“ |
р2 |
|
аф2 |
* |
|
|
|
||||||
В соответствии с принятыми граничными условиями, имеем |
|
|
ш = 0; |
—0; ог —0; т = 0 при р = 1. |
(269) |
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
193 |
Аппроксимируем прогиб выражением
ы) = Д (1 — р2)2 + /гр4 (1 — Р2)2 соз л<р. |
(270) |
Первый член в формуле (270) отвечает решению осесимметричной линейной задачи для защемленной пластинки, а второй — отображает изгиб по п волнам вдоль дуги с равными амплитудами к центру кри визны; эти два члена во взаимном сочетании характеризуют образова ние ряда вмятин, преимущественно направленных к центру кривизны.
В результате подстановки выражения (270) в правую часть уравне ния (268) находим
- I - у 4 ф = |
Я 0 + К п С О З Л ф - I - |
|
+ |
соз 2лф, |
(271) |
где # 0, /?Л — функции р, содер жащие параметры /ь / 2- Интег рирование равенства (271) про водим с учетом того, что в центре панели при р = 0 величина сгг должна быть ограниченной; при этом приходим к следующей за висимости:
А - ф = ф 0 -\- ф п соз Лф -|-
+ Ф-2п соз 2лф, |
(272) |
где Ф0, Фл, Ф2П — новые функции р, / ь / 2. Интегрируя, далее, уравне ние (267) по методу Бубнова-Галер кина, получим
7* = |
€&• + |
+ |
Сз^ + |
С ^ + |
СЙБ: |
(273) |
ВД* + |
В& + |
В Ц + |
ВД* + |
Бвр + |
5 в й а = 0; |
(274) |
здесь введены параметры
Коэффициенты С*, . . С6 и В1г . . Вв зависят от числа волн п. Исключая | из системы (273)—(274), определяем зависимость параметра поперечной нагрузки <7* от безразмерной величины Ё, характеризующей прогиб центра панели. Случай п = 0 соответствует осесимметричной форме прогиба.
Зависимость <7* (0 для -|г- = 100 при а = 0,1 и /1 = 0 (сплошная
линия) приведена на рис. 44. Кривые для п Ф 0 до 5 = 7,5 распола гаются выше кривой, отвечающей осесимметричной форме равновесия, а при I, > 7,5 — ниже этой кривой. На рис. 44 для примера приведена штриховая линия, соответствующая несимметричной форме выпучива ния при п = 10. Следовательно, несимметричная форма должна иметь место при прогибе в центре, равном 7,5 толщинам оболочки. В
приведенном примере Гпри-“ = 100^ огибающая семейства кривых,
194 |
Устойчивость |
оболочек |
соответствующих различным л, при К,> |
7,5 мало отличается от кривой, |
|
соответствующей осесимметричной форме. Нижнее критическое давле
ние оказывается близким к нулю. |
|
|
При |
жесткой заделке панели, когда точки кромки не смещаются, |
|
нижнее |
критическое давление при |
= 100 принимает отрицательное |
значение.
Исследование осесимметричного выпучивания конической панели со скользящей заделкой по контуру, испытывающей действие сосредо точенной в центре силы Р, направленной вдоль оси, приводит к сле дующей зависимости между нагрузкой Р и стрелой прогиба /:
Я* = 0,294^ — 0,332- у - г;2 + |
[о ,16 |
+ 1.47^ |
(276) |
|
где |
Р<? |
|
|
|
Я* = |
й = - |
|
|
|
|
ЯАа |
|
|
|
Сферическая панель
Рассмотрим устойчивость пологого сферического сегмента, нагружен ного равномерно распределенным внешним давлением ? (рис. 45).
Величины //, |
Р, |
с связаны соотношениями |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
с* * 2РЯ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р р а |
Н |
|
(277) |
|
|
|
|
|
|
н |
* |
2 Т - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решим |
осесимметричную |
задачу |
||||
|
|
|
о выпучивании |
пологой |
сферической |
||||
|
|
|
оболочки. В уравнениях (248а)—(249а) |
||||||
|
|
|
примем |
доо= 0 . Вводя полярные |
коор |
||||
Рис. |
45 |
динаты, |
считая |
до = |
ш (г), |
Ф = |
Ф (г), |
||
ний. При |
д = |
сопз! |
определяем первый интеграл этих урав- |
||||||
из уравнений (224) |
получим |
|
|
||||||
|
В |
а |
1 |
4 |
*/до |
/ а® |
' |
\ |
4Ф |
, |
(/Г2 |
|
Н |
йг |
г |
»Й |
1 V. |ТЗ |
\ “ 5 Г + |
Я |
) |
"й Г + |
2Л |
|
|
1 |
а |
1 |
а |
йФ |
|
йдо |
. г |
\ |
(/до |
|
|
Е |
йг |
г |
йг Г Аг ” |
( 2 ‘ |
|
|
+ Т Г ] йг |
|||
|
Вводя |
безразмерные |
параметры |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
. . |
|
|
1 |
М> |
|
|
|
|
|
Яр3 ' <Ш + в ; у * |
Е1ф }/"т' |
|
’ |
||||
Р |
1 |
|
|
Я = |
|
|
|
|
|
1 |
|
К т ‘ Л ’ |
|
|
|
т |
12 (1 — V3 ) |
||||||
|
|
|
2 Я |Л п |
|
|
||||||
(278)
(279)
(280)
(281)
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
155 |
||||||||
приводим уравнения |
(278)—(279) |
к виду |
|
|
|
||||
|
и |
(а) = |
р ' (ау + |
Р 02); |
(282) |
||||
|
|
(V) = |
|
Р' (О3— а4), |
(283) |
||||
где С — линейный оператор, |
Л |
1 |
1 |
|
|
||||
|
1* _ |
0 — |
, _ . |
|
- |
0 |
(284) |
||
|
Ь ~ |
|
40 |
0 |
М |
|
|
||
Введем параметр к -- |
№ |
|
и величину |
а по формуле (233); |
вели |
||||
чины р' и Р связаны с |
этими |
параметрами |
соотношениями |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
(285) |
|
Р' |
Ут |
к' |
V т |
|||||
|
|
||||||||
Если панель защемлена по контуру и радиальные смещения точек |
|||||||||
контура отсутствуют, |
граничные |
условия |
получают вид |
|
|||||
|
а = |
О, |
у = |
0 при |
0 = |
0; |
(286) |
||
а = |
1, |
|
---- Vу = 0 |
при |
0 = 1. |
(287) |
|||
Ниже приведены окончательные результаты решений, полученных с помощью электронных цифровых машин. Данные, относящиеся копределению верхней критической нагрузки ?в». показаны на рис. 46. Кри
вая 1 соответствует жесткому защемлению по контуру» кривая 2 — шар нирному закреплению с несмещающдмися в плане точками контура, кривая 3 — случаю шарнирного, опирання со свободно смещающимся в плане контуром. По оси абсцисс отложена величина
р = |
Г2р' = |
V 12 (I— |
V2) |
= (^12(1 - V 2) |
* . |
(288) |
|
Используя |
условия |
(269), |
параметр р выразим в виде |
|
|
||
р = 2 ^ 1 2 (1 — V2) |
; |
при |
V = 0,3 будет р р*6,6 |
(289) |
|||