16 |
Устойчивость стержней |
|
приведены |
в готовом виде на стр. 17— 18. |
Критическая сила пред- |
ставлена в |
виде |
|
|
Я'2Е^тш |
(8) |
|
Ркр = |
|
|
< И а |
’ |
где ц — коэффициент, зависящий от устройства опор и способа нагру жения стержня и называемый коэффициентом длины. Произведение ц,/ называют приведенной длиной.
Формулой (8) можно пользоваться при условии, что гибкость
стержня, определяемая выражением |
|
|
1 - |
^ |
(9) |
удовлетворяет неравенству
( 10)
V
В формулах (9) и (10) Р — площадь сечения стержня; стЛЧ — предел пропорциональности. Если условие (10) не выполняется, то потеря устойчивости наступает при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, и критическую силу определяют по указаниям, приведенным на стр. 80—88.
Формулу (9) представляют также в виде |
|
Р д а - Ч - ? ? - . |
и » |
причем коэффициент г| связан с коэффициентом длины р. соотношением
*П= - |
я 2 |
( 12) |
|
||
Однопролетные стержни |
постоянного сечения |
|
Действие сосредоточенных нагрузок. Значения коэффициентов р.ит] для различных случаев нагружения стержней приведены в табл. 1—4.
Критическое |
соотношение |
между сжимающими силами, |
прило |
|
Рг Рг |
Рп |
женными в |
промежуточных сечениях |
|
консольного |
стержня, можно |
найти |
||
|
|
по приближенной формуле (рис. 1) |
||
-Оп-1---- |
Ч *),+*(*)'+ |
-02- |
|
Рис. 1 |
+ • • • +Рп= я2^ г ° - . (13) |
|
Для устойчивости стержня необходимо, чтобы левая часть соотно шения (13) была меньше правой части.
Действие распределенных нагрузок. Если внешняя продольная на грузка приложена непрерывно, то дифференциальное уравнение задачи записывают так:
Упругие стержни на жестких опорах |
17 |
1. Значения коэффициента д для стержня, нагруженного на концах
Схем |
Характер закрепления |
концов |
стержня |
Ц |
!= = ^ У '
Н - т -
Оба |
конца шарнирно оперты |
1 |
Один |
конец заделан, второй ко |
0,699 |
нец шарнирно оперт |
|
|
Один конец заделан, второй конец |
2 |
|
свободен |
|
|
|* ___ . ' |
р |
Один конец заделан, на |
втором |
1 |
|||||
|
|
|
конце подвижная заделка |
|
|
||||
) Г ----------- 1 - |
|
Оба |
конца заделаны |
|
|
|
0,5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2, |
Значения коэффициента д для двухопорных стержней; |
||||||||
|
|
нагруженных на концах и в пролете |
|
|
|
||||
Схема |
|
Р> |
И |
|
Схема |
|
и |
||
|
Р 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,00 |
2 |
Р |
I |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,25 |
0,95 |
|
|
|
|
0,773 |
1 |
1I? |
Р> |
0,50 |
0,91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,75 |
0,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,00 |
0,87 |
з |
р |
р |
|
га |
|
|
|
|
|
Л | |
у |
0,858 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,00 |
0,82 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
Устойчивость стержней |
|
|
|
|||||
|
3, Значения коэффициента |
т] для консольного стержня, |
|
||||||||
|
|
нагруженного двумя сжимающими силами |
|
|
|
||||||
|
|
[в формуле |
(11) |
Ркр — (Р 1+ Рг)кр] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рг |
|
|
|
|
|
|
|
Н -—--------1--------- И |
|
|
|
|
|
|||
а |
|
|
|
|
|
Рг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0.1 |
0,2 |
0,5 |
| |
1,0 |
| |
2,0 |
5,0 |
10,0 |
|
|
|||||||||||
0 |
2.467 |
2.714 |
2,961 |
3,701 |
4,935 |
|
7,402 |
14,80 |
27,14 |
||
0,1 |
2.467 |
2.714 |
2,960 |
3,698 |
4,930 |
|
7,377 |
14,68 |
26,66 |
||
0,2 |
2.467 |
2,710 |
2.953 |
3,679 |
4,880 |
|
7,207 |
13,78 |
23,19 |
||
0,3 |
2.467 |
2,703 |
2.936 |
3,622 |
4,712 |
|
6,769 |
11,70 |
16,82 |
||
0,4 |
2.467 |
2,688 |
2.904 |
3,525 |
4,470 |
|
6.074 |
9 |
187 |
11,57 |
|
0,5 |
2.467 |
2,665 |
2:856 |
3,384 |
4,136 |
|
5,268 |
7,060 |
8,210 |
||
0,6 |
2.467 |
2,635 |
2,793 |
3,211 |
3,759 |
|
4,497 |
5,504 |
6,048 |
||
0,7 |
2.467 |
2,599 |
2,715 |
3,020 |
3,385 |
|
3,830 |
4,376 |
4,660 |
||
0,8 |
2.467 |
2,557 |
2,636 |
2,821 |
3,040 |
|
3,280 |
3,551 |
3,685 |
||
0,9 |
2.467 |
2,513 |
2,551 |
2,641 |
2,734 |
|
2,832 |
2.936 |
2,986 |
||
1,0 |
2.467 |
2,467 |
2,467 |
2,467 |
2,467 |
|
2,467 |
2,467 |
2,467 |
||
4. Значения коэффициента ц для двухопорного стержня с консолью
|
|
|
|
I ----------1 |
И-----------1- |
|
|
|
||
|
|
|
|
0} |
|
|
6} |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
0.1 |
0.2 |
0,3 |
0,4 |
0.5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 | |
0,9 |
и |
||||||||||
а |
2,00 |
1,87 |
1,73 |
1,60 |
1,47 |
1,35 |
1,23 |
1,13 |
1,06 |
1,01 |
6 |
2,00 |
1,85 |
1,70 |
1,55 |
1,40 |
1,26 |
1,11 |
0,975 |
0,852 |
0,75 |
где N обозначает продольную сжимающую силу в текущем сечении.
Например, |
если |
исследуется устойчивость |
консольного стержня и |
|
<7= сопб!, |
то N = |
«7(I — г) (начало координат совмещено с защемлен |
||
ным сечением, / — длина консоли). Даже в простейшем случае, |
когда |
|||
Я = сопб!, |
дифференциальное уравнение (14) |
имеет переменные |
коэф |
|
фициенты и не интегрируется в элементарных функциях. При решении подобных задач приходится обращаться к какому-либо приближенному методу решения; ниже на стр. 24—25 изложены пригодные здесь
методы |
Рэлея, Тимошенко н |
Ритца (они применены |
к случаю |
стержня |
переменной жесткости), |
а здесь поясним метод |
Галеркина. |
Упругие стержни на окестких опорах |
19 |
Согласно этому методу задаются предполагаемой формой изгиба в виде |
|
суммы функций с неопределенными множителями }1ш /г, |
/я |
V = Ло, (2) -1- /2о2 (гН -------- \-!поп (г). |
|
Каждый член этой суммы должен удовлетворять граничным усло |
|
виям задачи (геометрическим и силовым). |
|
Далее образуются уравнения типа |
|
1 [ в ; - з ? - + - г 4(г л' ) Ь |
л = о |
(* = 1 - 2’ |
’ я) |
о |
|
|
|
(число таких уравнений равно числу членов принятой суммы). После |
|
||
интегрирования получается система однородных уравнений относи |
|
||
тельно неопределенных параметров (19 |
. . ., /я. Для того чтобы все |
|
|
эти параметры одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы |
|
||
равнялся нулю определитель, составленный из коэффициентов указан |
|
||
ной системы уравнений; это дает уравнение, определяющее критическую |
|
||
нагрузку. В простейшем случае задаются одной функцией у, (г). |
|
||
Значения коэффициентов р приведены в табл. |
5 и 6. |
|
|
Значения коэффициента р в формуле критической нагрузки
(а[\ |
— Я2^ П 11П |
^ )кр |
(р/)2 |
при нагрузке, равномерно распределенной по осей длине стержня
Схем |
Характер |
закрепления концов |
|
|
стержни |
|
|
|
|
|
|
|
Оба конца |
шарниры |
0,715 |
|
Один конец заделан, второй конец |
0,433 |
|
|
шарнирно оперт |
0,576 |
|
Д .
Один конец заделан, второй конец свободный
Д 1; |
Один конец заделан, на втором |
0,725 |
|
конце подвижная заделка |
|
Оба конца заделан |
0,364 |
2 0 |
|
|
|
Устойчивость стержней |
|
|
|
||
6. Значения |
коэффициента ц при нагрузке, |
неравномерно |
распределенноА |
||||||
|
|
|
|
по длине стержня |
|
|
|
||
|
|
Схема |
|
м |
| |
Схема |
|
м |
|
|
|
|
|
1,48(3 |
з |
|
|
— |
^ | 7 |
Ь |
- |
1т - |
Ъ |
1----------- г |
|
|
1,388 |
||
« |
|
|
|
||||||
|
|
* |
г — |
|
|
|
|||
2 |
|
1? |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
0,560 |
|
|
|
|
0,782 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
' |
* |
г— |
^ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,694 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 Т |
|
|
|
|
|
К — 2 |
|
2^ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е ч а я не. Для всех |
схем ( - ^ 0 |
= ---- ;—,”11п . |
||||||
|
|
|
|
|
\ |
2 )кр |
|
(цО* |
|
Пример 3. Определить критическую нагрузку для консольного стержня
постоянного поперечного сечення, нагруженного равномерно распределен ноА сжимающей нагрузкой ^ = сопзС.
Задаемся формой изогнутой оси стержня в виде
Г
Принятое выражение удовлетворяет геометрическим граничным усло виям на защемленном конце (о = 0; р' = 0 при г = 0) н силовым граничным условиям на свободном конце (р" = 0; о"' = 0 при 2 = I).
Подставляем в уравнение Галеркина (15) принятое выражение формы изогнутой оси
I
отсюда находим
="ТГ--
Этот результат |
отличается на 38% от точного решения, полученного |
с помощью функций |
Бесселя (табл. 5, схема 3). |